2025-2026学年北师大版高二数学上学期期末必刷常考题之组合问题

20252026学年上学期高二数学北师大版期末必刷常考题之组合

问题

一.选择题(共6小题)

I.已知-4W笛W9(i=1,2,…，10),AI+X2+---+A-IO=5O,则当好+%；+…+瓷o取得最大值时，在月、

JV2、…、XIO这10个数中等于-4的数共有()个.

A.1B.2C.3D.4

2.某校举办运动会，某班级打算从5名男生与4名女生中选两名男生和两名女生去参加跑步接力比赛，

则不同的选派方法数为()

A.20B.35C.50D.60

3.长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，其当地美食也独具特色.某个假期期间，一名游客

前往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油耙耙这6

种美食中随机选择2种品尝(选择的2种美食不分先后顺序)，若三天后他品尝完这6种美食，则这三

天他选择美食的不同选法种数为()

A.90B.120C.150D.180

4.某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审I篇，每篇论文由1名

专家独立评审，则不同的分配方式共有()

A.60种B.90利।C.120种D.150种

5.设正整数〃=。0・2°+。|・2+3+浓-1・2人1+。92”,其中山€{0,1},记3(〃)=ao+a\+-+akf则下列说法

错误的是()

A.3(10)=2.

B.a)(16n+5)=a)(4n+3).

C.0)(8〃+5)=3(4〃+5).

D.若〃V256且3(n)=3,则符合条件的〃有56个.

6.运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到A,B,C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去

一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方

法种数为()

A.72B.96C.114D.124

二,多选题(共3小题)

(多选)7.小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件4为“恰有两人所去景

点相同”，事件8为“只有小张去甲景点”，则（）

A.这四人不同的旅游方案共有64种

B.“每个景点都有人去”的方案共有72种

C.P（8M）=t

14

D.“四个人只去了两个景点”的概率是不

（多选）8.在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一笔奖的学生排

成一排合影，则（）

A.3名男生排在一起，有6种不同排法

B.2名女生排在一起,有48种不同排法

C.3名男生均不相邻，有12种不同排法

D.女生不站在两端，有108种不同排法

（多选）9.为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、

御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程.则（）

A.甲乙丙三人选择课程方案有120种方法

B.甲乙丙三人选择同样课程有6种方案

C.恰有三门课程没有被三名同学选中的选课方案有120种

D.若有A,B,C,D,E五名教师教这6门课程，每名老师至少教一门，且A老师不教“数”，则有

1440种排课方式.

三,填空题（共4小题）

10.分会场模式是央视春晚的长期传统，旨在扩大节目覆盖面，增加观众互动性，同时展示各城市独特的

历史人文亮点，今年央视春晚的四个分会场分别是武汉、重庆、无锡和拉萨，中央电视台选派6名记者

去四个分会场进行现场报道，每个分会场至少分配一名记者，则所有不同的分配方案有种.

11将9个互不相同的向量々=（»yi）,xi,2.4）,/=1,2.…，9埴入如图所示3X3的方格

中，每个方格填一个向量，使得每行、每列的三个向量之间两两都不共线，则不同的填法种数

是.

12.一个项数为6的正整数数列佃〃｝满足m=3,且四+i2G（1后火W5,依N）,若。6为不大于10的偶数,

则符合条件的数列｛〃〃｝共有个.

13.2025年，上海合作组织峰会、2025夏季达沃斯论坛双主场齐聚天津！现需将6名工作人员安排到“内

宾接待”、“会议保障”、“媒体宣传”三项工作，每人必须安排且只能安排一项工作，若“内宾接待”安

排2名工作人员,“会议保障”、“媒体宣传"至少安排I名工作人员，则不同的安排方法有种

（用数字作答）；若三项工作各安排2人，则甲和乙安排相同工作的概率为.

四.解答题（共2小题）

14.组合恒等式是一类含有组合数的恒等式，其结构工整精美，是数学园林中的一组瑰宝.其证明方法有

很多，有构造计数模型法（算两次），构造函数法及数学归纳法等等.

请根据条件解决以下问题：

（1）求证：Ch+C*+i=C脏;

（2）设求证：£储C，C；=C112n一4

（3）求证：4+3哈+1+5喘+2+…+（加+1）缁+n=（2m+l）$郭+1+储丸+2,"?，

（提示：证明过程中，可能会用到以下公式：（。・力（/"+明…从7）,以旄R,

nGN*）.

15.甲乙丙丁戊五个同学

（1）排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同的排列方法？

（2）排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？

（3）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？

（4）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？

20252026学年上学期高二数学北师大版（2019）期末必刷常考题之组合

问题

参考答案与试题解析

一,选择题（共6小题）

题号123456

答案CDADCC

二.多选题（共3小题）

题号789

答案CDBCBCD

一.选择题（共6小题）

1.已知-4WxW9（z=l,2,•,,,10）,xi+x2+…+.wo=5O,则当*+底+…+*（）取得最大值时，在川、

X2、…、X1O这1（）个数中等于-4的数共有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】C

［分析］根据题意可得要使平方和君+以+…+Ho最大，则应让尽可能多的数取区间端点（-4或9）,

从而，建立不等式，即可求解.

【解答】解：要使平方和好+据+…+竹。最大，在固定和的情况下，根据平方和的性质，应让尽可能

多的数取区间端点（・4或9）,

因为端点处的平方值更大，且数之间差距越大平方和越大.

假设k个数取-4,10-k个数取9,则总和为：・41+9（10-&）=90-132=50,

解得上=告k3.07,非整数，说明无法全取端点，需调整1个数为中间值M-4<r<9）,使总和为50.

设％个数取-4,9-A个数取9,1个数取/,

则-必+9(9-4)+/=50,所以1=13八31,

由-4<f<9,得-4C13A-31V9,所以27<13左<40,所以女=3,

此时，=13X3・31=8,符合芸件.

故取・4的数有3个.

故选：C.

【点评】本题考查不等式的综合应用，属中档题.

2.某校举办运动会，某班级打算从5名男生与4名女生中选两名男生和两名女生去参加跑步接力比赛，

则不同的选派方法数为（）

A.20B.35C.50D.60

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】对应思想：定义法；排列组合：运算求解.

【答案】D

【分析】利用分步乘法原理结合条件即得.

【解答】解：根据分步乘法原理由题可得不同的选派方法数为或x废=60（种）.

故选：

【点评】本题考查分步乘法计数原理的应用，是基础题.

3.长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，其当地美食也独具特色.某个假期期间，一名游客

前往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油耙耙这6

种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三

天他选择美食的不同选法种数为（）

A.90B.120C.150D.180

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】对应思想：定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】A

【分析】将6种美食平均分成3组，再排到3天去品尝即可.

【解答】解；现要每天分别从6种美食中随机选择2种品尝且三天后他品尝完这6种美食，

将6种美食平均分成3组，有空咨=15种不同的分法，

该游客每天选择其中一组美食进行品尝，有房=6种不同的范法，

所以这三天他选择美食的不同选法种数为15X6=90种.

故选：A.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

4.某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名

专家独立评审，则不同的分配方式共有()

A.6()种B.90种C.120种D.15()种

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】计算题；方程思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】D

【分析】先将论文分成3组，再分配给专家.

【解答】解：根据题意，先将5篇论文分成3组且每组至少一篇，只有两种分组方法：3,1,1和2,2,

1,

由此分2种情况讨论：

若5篇论文分成3,1,I三份.总共有或=10种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计废x

Aj=60种方法；

若5篇论文分成2,2,1三份.总共有竿=15种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计

15=90种方法.

则共有60+90=150种分配方式.

故选：D.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.

5.设正整数〃=。0・2"+。|・2+…+以-1+伙・2”,其中。作{0,1},记3(〃)=ao+ai+-+ak^则下列说法

错误的是()

A.co(10)=2.

B.co(16〃+5)=u)(4〃+3).

C.co(8/7+5)=3(4〃+5).

D.若〃V256且3(〃)=3,则符合条件的〃有56个.

【考点】其他组合形式及计算.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】C

【分析】利用的定义可判断小B的正误，用特殊值代入可判断C,列举法可判断D的正误，即可得正

确答案.

【解答】解：对于A,10=2匚23,所以3(10)=2,故A正确；

对于B,因为正整数〃=ao・2°+m・2+…+以.1・2*1+以・2*,

245k+3k+4

所以16〃+5=204-2+a0-2+a1-2•••+ak^-2+ak-2,

所以3(16/2+5)=3(〃)+2,

123Mk+2

又因为4几+3=2°4-2+a0-2+flj-2-+ak_x-2+ak•2,

所以3(4〃+3)=3(/?)+2,

所以co(16n+5)=co(4〃+3),故8正确；

对于C,13=2°+22+23,9=2C+23,故3(13)=3,a>(9)=2,

即〃=1时，o)(8n+5)工3(4/i+5),故C错误;

k_1

对于D,若〃V256且3(〃)=3,由ri=a。♦2°+%•2+…+ak_x-2+ak-2”,

可知；<7(4WN),攵=2时，芍废个，2=3时，有废个，2=4时，

有废个，…，k=7时，有戏个，

共有戏+虑+或+程+或+费=1+3+6+10+15+21=56,故。正确.

故选：C.

【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于中档题.

6.运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到A,B,。三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去

一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方

法种数为()

A.72B.96C.114D.124

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】C

【分析1根据题意，用间接法分析：先求所有可能的安排方法，分类计数和分步计数原理可得所有可能

的安排方法有150种.甲、乙安排到同一个部门方法有36和，相减可得结论.

【解答】解；先将5人分二组，再将分成的二组分别安排到三个不同的部门工作.

间接法：先求所有可能的安排方法，

①第一种分法：有一组3人，另外两组各1人，共底・a=60种不同的安排方法，

②第二种分法：有一组I人，另外两组各2人，共废C32•a=90种不同的安排方法.

，所有可能的安排方法有60+90=150种.

然后计算甲、乙安排到同一个部门，

把甲、乙看作1人，总共4人，可能的安排方法有：仁•阳=36种，

，满足上述要求且甲、乙不安排到同一个部门，则不同的安排方法种数为150-36=114.

故选：C.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题.

二.多选题（共3小题）

（多选）7.小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件4为“恰有两人所去景

点相同”，事件8为“只有小张去甲景点”，则（）

A.这四人不同的旅游方案共有64种

B.“每个景点都有人去”的方案共有72种

C.P（B\A）=l

14

D.“四个人只去了两个景点”的概率是二

27

【考点】排列组合的综合应用；古典概型及其概率计算公式；条件概率.

【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；逻辑思维.

【答案】CD

【分析】A选项，根据分步乘法计数原理求出答案；4选项，根据部分平均分组方法计算出答案；。选

项，利用排列组合知识得到〃（A）=36,〃（AA）=6,利用条件概率公式求出答案；力选项，求出四

个人只去了两个景点的方案数，结合A中所求，求出概率.

【解答】解：4选项，每个人都有3种选择，故共有34=81种旅游方案，A错误;

8选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人,

故有.禺=36种方案，B错误;

Al

C选项，恰有两人所去景点相同，印有1个景点去了2个人：另外两个景点各去1人,

由8选项可知，/?（A）=36,

又事件A3,即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点

故"AZ?）=C与GA弓=6,

所以P（8H）=粤祟=〈，。王确；

71（/11O

。选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，

第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有底盘房=24种方案，

第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另一个景点，故有塞•洛=18种方案，

由人选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种,

故''四个人只去了两个景点”的概率为^=不，。正确.

8127

故选：CD.

【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键.

（多选）8.在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一笔奖的学生排

成一排合影，则（）

A.3名男生排在•起，有6种不同排法

B.2名女生排在一起,有48种不同排法

C.3名男生均不相邻，有12种不同排法

D.女生不站在两端，有108种不同排法

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】

【分析】利用捆绑法可判断人、&利用插空法可判断C；利用分步计数法可判断。.

【解答】解：由题意得：

对于选项4：3名男生排在一起，先让3个男生全排后再作为一个整体和2个女生做一个全排，

共有题.题=36种，

A错误；

对于选项"2名女生排在一起，先让2个女生全排后再作为一个整体和3个男生做一个全排，

共有心.川=48种,

B正确；

对于选项C：3名男生均不相邻，先让3个男生全排后，中间留出两个空位让女生进行插空，

共有房•福=12种,

。正确：

对于选项。：女生不站在两端，先从三个男生种选出两个进夕亍全排后放在两端，共有或•度=6种，然

后将剩卜.的3人进行全排后放中间，

共有廉・阕•用=36种，

错误.

故选：BC.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属中档题.

（多选）9.为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、

御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程.则（）

A.甲乙丙三人选择课程方案有120种方法

B.甲乙丙三人选择同样课程有6种方案

C.恰有三门课程没有被三名同学选中的选课方案有120种

D.若有4,B,C,D,E五名教师教这6门课程，每名老师至少教一门，且A老师不教“数”，则有

1440种排课方式.

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】BCD

【分析】根据分步计数原理即可求解A,根据分类加法计数原理可求解从根据排列组合，结合分类即

可求解CD.

【解答】解：对于4甲乙丙三人每人都有6种选择，共有6X6X6=216种，故4错误，

对于8,甲乙丙三人选择同样课程有6种方案，故B正确，

对于。，恰有三门课程没有被三名同学选中即3名学生选择了不同的三门，故有煦=120种方案，故C

正确，

对于，若A老师教2门课程，则有《力：=240种，

若人老师教I门课程，且教2门课的老师教“数力则有玛盘用=480种，

若A老师教1门课程,且教2门课的老师不教“数”,则有C缠屐房=720种，

因此一共有240+480+720=1440种方案，故D正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查了计数原理，排列数、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

三.填空题（共4小题）

10.分会场模式是央视春晚的长期传统，旨在扩大节目覆盖面，增加观众互动性，同时展示各城市独特的

历史人文亮点，今年央视春晚的四个分会场分别是武汉、重庆、无锡和拉萨，中央电视台选派6名记者

去四个分会场进行现场报道，每个分会场至少分配一名记者，则所有不同的分配方案有」种.

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】对应思想；定义法；排列组合：运算求解.

【答案】见试题解答内容

【分析】先将6名记者分成4组，再分配到四个会场，利用分步分类计数原理即可得解.

【解答】解：已知中央电视台选派6名记者去四个分会场进行现场报道，每个分会场至少分配一名记者,

先将6名记者分成4组，有3,1,1,1和2,2,1,1两种分法，

22

共索+专rr=65种，

42

再将4组分配到四个会场，共用=24种，

则有(或+g£)•题=65x24=1560种.

故答案为：1560.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

11.将9个互不相同的向量由=(刈yi)fxi,yiE{1,2,4),i=1,2,…，9填入如图所示3X3的方格

中，每个方格填一个向量，使得每行、每列的三个向量之间两两都不共线，则不同的填法种数是

10368..

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用；排列组合；运算求解.

【答案】10368.

【分析】先分析共线的向量，再分步排入九宫格中，利用分步乘法计数原理求解即可.

【解答】解：由题意)，作11,2,4},因此每个分量有3种选择，所以共有9个不同的向量，

所有可能的向量为：(1，1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4),

其中(1,1),(2,2),(4,4)三个共线；

(1,2),(2,4)两个共线；

(2,I),(4,2)两个共线；

第一步排(1,1),(2,2),(4,4),第一个放入有9种方案，

一旦放入，该行该列不能再放其他两个，

则第二个放入有4种方案，第三个放入有1种方案，则第一步共有9X4X1=36种；

第二步排(1,2),(2,4),第一步结束后，每行每列都有一个向量，

则第一个放入有6种方案，第二个放入有3种方案，则第二步共有6X3=18种；

第三步排(2,1),(4,2),排位第一、第二步后剩余4个宫格，

剩余的宫格排布主要有三种情况，

情况h

4

3

12

按序号排入共有4X2!=8种，

情况2,

3

4

12

按序号排入共有4X2!=8种，

情况3,

23

4

1

按序号排入共有4X2!=8种，

所以第三步共有8种；

第四步排(1,4),(4,1)共有2种；

综上，共有36X18X862=10368种.

故答案为：10368.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及向量共线的判断，属于中档题.

12.一个项数为6的正整数数列｛如｝满足m=3,且个分(1W&W5,依N),若为不大于10的偶数,

则符合条件的数列｛m｝共有496个.

【考点】排列组合的综合应用；数列的单调性；组合及组合数公式.

【专题】计算题：方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解.

【答案】496.

【分析】根据题意，先确定数列中。6的值，再利用组合知识，即可得到结论.

【解答】解：根据题意,正整数数列｛m｝中，若小=3,且次+12以(IWAW5,&WN),

而46为不大于10的偶数，则46可取的值为4、6、8、10,

分4种情况讨论

当46=4时，。1=3,则02,43,04,45可以取3或4,且逐项不减小,

此时满足条件的数列仅“｝的个数有5个；

当46=6,41=3,则“2，43，（14,45可以取3或4或5或6,且逐项不减小，

此时满足条件的数列｛〃〃｝的个数有缠+盘x3+Gx3+盘=35个；

当“6=8,6/1=3,则42，。3,44,。5可以取3或4或5或6或7或8,且逐项不减小，

此时满足条件的数列｛〃〃｝的个数有以+/x3+鬣x3+废=126个；

当46=10,41=3,则42,43,44,。5可以取3或4或5或6或7或8或9或10,

且逐项不减小，此时满足条件的数列｛〃“｝的个数有噂+或x3+或x3+己=330个；

综上，满足条件的数列（“〃｝共有5+35+126+330=496.

故答案为：496.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及数列的单调性，属于基础题.

13.2025年，上海合作组织峰会、2025夏季达沃斯论坛双主场齐聚天津！现需将6名工作人员安排到“内

宾接待”、“会议保障”、“媒体宣传”三项工作，每人必须安排且只能安排一项工作，若“内宾接待”安

排2名工作人员，“会议保障”、“媒体宣传”至少安排1名工作人员，则不同的安排方法有210种

（用数字作答）；若三项工作各安排2人，则甲和乙安排相同工作的概率为.

【考点】排列组合的综合应用：古典概型及其概率计算公式.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】210,i

【分析】若“内宾接待”安排2名工作人员，“会议保障”、“媒体宣传”至少安排1名工作人员，则分

为两类；一类：每项工作各有两人，二类：内宾接待”安排2名工作人员，另外两项工作人数为1和3,

结合排列组合即可求解；

先三项工作各安排2人，再甲和乙安排相同工作的情况，结合古典概率公式即可求解.

【解答】解：将6名工作人员安排到“内宾接待”、“会议保隙”、“媒体宣传”三项工作，每人必须安排

且只能安排一项工作，

若“内宾接待”安排2名工作人员，“会议保障”、“媒体宣传”至少安排1名工作人员，

则不同的安排方法有分为两类；

一类：每项工作各有两人，则共有此底戏=90种，

二类：内宾接待”安排2名工作人员，另外两项工作人数为1和3,则有四嵬心二120种，

故有90+120=210种；

若三项工作各安排2人，则安排的方法有底戏废=90种，

则甲和乙安排相同工作的情况有玛盘戏=18种，

甲和乙安排相同工作的概率为总=

1

故答案为：210,

【点评】本题主要考查了排列组合的应用，还考查了古典概率公式，属于中档题.

四,解答题(共2小题)

14.组合恒等式是一类含有组合数的恒等式，其结构工整精美，是数学园林中的一组瑰宝.其证明方法有

很多，有构造计数模型法(算两次)，构造函数法及数学归纳法等等.

请根据条件解决以下问题：

(1)求证：C7+C7+1=C器？；

(2)设区力求证：£%=C112f

(3)求证：4+3%+i+SC,+…+(2n+1)印+〃=(2m+1)C^+1+制修+2,，〃，〃WN：

(提示：证明过程中,可能会用到以下公式:/(a・b)(L]+明”加0厂3户+…*1),—R,

〃6N*).

【考点】组合及组合数公式.

【专题】对应思想：归纳法：排列组合：运算求解.

【答案】证明：⑴因为管+C产

=S+l)f』)!(m+l+i)

一(m+l)!(n-7n)!("+D

_(九+1)!—/m+l

一(m+l)!(n-m)!-4+i'

所以。7+毓+1=

(2)因为C、C；=

_汨1

一亘(/一》(-—/)!

_川.(九-i)！_('i「JT

一i!-(n-i)!G-i)b(n-j)!—nn-i，

即c7C=c}1c二.

则琳C何=琳eke*(:皿

令尸八力则尸0,1,2,…，〃-i,可得以2%*二=以手n心_,二以2日可

所以E%以C=>2Z.

(3)设S(n)=%+3*+]+5维+2+…+(2n+l)%+“，nEN\

利用数学归纳法证明该等式，过程如下:

当〃=1时，左边为eg+3%+]=l+3(m+1)=3m+4；

右边为(2巾+1)。黑及+C黑普=2m+l+m+3=3m+4,即左边=右边，等式成立:

假设当〃=k,依N*时,等式成立,即S(k)=(2m+1)嗡:公1+C密公2；

当〃=&+l时，则S(HI)=S(&)+(2k+3)c*%+1

=(2m+l)著+i+C?翟+2+(2&+3)GX+k+i，

FF1兴1rm+11rm+2一r*m+2曰[]「m+2—「m+2「m+l

⑷十Lm+k+i—匕9+"+2'r|J^ni+〃+1-cm4-k4-2—cm4-k4-l>

则S(k+1)=(2〃?+1)(缁肾+2一。料卷1)+C落ez+(2"3)C辨卷1

=(2m+1)C整+2-(2m+1)党晶】+党意+2+(2k+3)C。

=(2m+1)啸晨包+Cm+k+i+C麒+i+C常公2+2(〃+l«+k+1-2(m+1)C^+1=(2m+

l)CHl投+2+^m+k+2+C!H：K+2+2[(k+1)C幕+k+,—(m+1)C凿"+1]

=(2〃?+l)C群工2+CM品+2[(HI)C-m+1)C制+J,

(A+l)(m+k+l)!

又囚为(k+l)C/+ai=m!«+l)!

=(m+l)(m+k+l)!1)C黜+1,

(m+l)!/c!=(m+

可得S(/c+1)=(2m+1)%野+2+。黑真+3；

综上所述：对任意〃6N*均有S(n)=(2m+1)(:制+i+党?记+2,

所以C-十5G4+2+…+(2n+1)C3rl=(2m+1)C；雷十]+C^+2.

【分析】(l)根据题意结合组合数公式分析证明即可;

(2)整理可得以。=或结合二项式系数和的性质分析证明即可;

(3)利用数学归纳法，根据(1)中的结论以及(k+DCM+n】=(m+l)(■笈+i分析证明.

n!n!

【解答】证明：(1)因为制+CTI=+(m+i)!(「m_i)!

n!

(m4-1+n-m)

一(m+l)!(n-m)!

n!

-(m+l)!(n-m)!5+1)

(九+1)!_「m+l

"(m+l)!(n-7n)!-Ln+1'

所以优+C『+i=。黏】.

⑵因为的=取用」!

〃0T)!

n!1

7!"(j-i)l(n-jy.

n!(n-i)!

f!-(n-i)!'Q-O!(n-y)!=以。仁・

即以G=4cM.

则2%期=E%ci1c口=c}1a=t以二,

令，=j-3则，=0，1，2,…，可得42'c/'zj=QC：_i=以2吁，,

所以£片cWc/=c/2i.

⑶设S(九)=*+3叫+1+5鬣+2+・一+(2八+1)邙+八，畿”,

利用数学归纳法证明该等式，过程如F：

当〃=1时，左边为C2+34+1=1+3(m+1)=3m+4；

右边为(26+1)。£3+。盟3=2m+1+租+3=3血+4,即左边=右边，等式成立；

假设当〃=匕幺N*时,等式成立,即S(k)=(2m+1)C寤认+C常公2；

当〃=k+l时，则S(A+I)=S(k)+(2火+3)

=(2〃?+1)C^+1+C^+2+(2k+3)C*+k+],

出平rm+1I_rrn+2nn/-m+2_rm+2

1/^m+2LfuJLLpm+1

⑷々^m+k+it^m+k+l—m+k+2lm+/c+l-m+k+2~^m+k+l'

则SJ+l)=(2〃?+l)(制擒2-缁M+i)+缁输2+(2计3)C麒+1

=(2m+DC膝+2-Qm+1)C^+1+C^+2+(2k+3)C-+k+1

=(2m+1)C黑公2+缁，+1+C累晨+C寤邕+2(k+l«+fe+1-2(m+1)C黑3]=(2机4-

1)C黑窘2+C黑心2+C寤我+2l(/c+-(m+1)喘湿+J

=<2m+l)C界公2+党暴+3+2[(Hl)CJH+k+1-(m+1)C爵。+J,

(k+l)(m+k+l)!

又因为(k+i)q?+k+i=

m!・(k+l)!

(m+l)(?n+k+l)!

(m+l)!永!=(m+1)案"+1

可得S(k+1)=(2m+，)C/投+2+骁+3；

综上所述：对任意区N*均有S(n)=(2m+1)C制+1+CS；+2,

所以G%+3皓+1+5篇+2+…+（2n+l）Q+n=（2m+1）C^+1+C^+2.

【点评】本题考查组合数公式的证明、组合数的性质等，采用数学归纳法证明，属于中档题.

15.甲乙丙丁戊五个同学

（1）排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同的排列方法？

（2）排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？

（3）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？

（4）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】（1）72；

（2）78；

（3）243；

（4）150.

【分析】（1）根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式计算即得.

（2）求出无限制条件的排列数，去掉甲在首位或者乙在末位的排列数即可.

（3）根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得.

（4）把5人按1：1：3或2：2：1分组，再把每一种分组方法安排到三个城市即可得解.

【解答】解：（1）排成一排，甲乙不相邻，先将丙丁戊排成一列有属种方法，再将甲乙插空隙中，有种

方法，

所以共有不同排法数为题&=6x12=72（种）.

（2）排成一排，无限制条件的排列有鹿，甲不在首位，乙不在末位的反面是甲在首位或乙在末位，共

有2川-北，

则甲不在首位，乙不在末位的不同排法有庵-2川+屑=7B（种）.

（3）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，因此每个人都有3种选择，

所以不同游览方法有3$=243（种）.

（4）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，则先把5人按1：1：3分组，有或种分组方法，

C2c2z>2

按2：2：1分组，有专种分组方法，因此不同分组方法数为底+专，

A2展

再把每一种分组安排到三个城市，有心种方法，

43O+X6

所以不同分配方法种数是（母+2350

25)

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属中档题.

考点卡片

1.数列的单调性

【知识点的认识】

数列的单调性是指数列是递增还是递减的性质.

由于数列俗〃｝中的每一项与它的序号〃是一一对应的，所以数列｛4〃｝是从正整数集N*(或它的有限子

集［1,2,…，〃｝)到实数集R的函数，其自变量是序号〃，对应的函数值是数列的笫〃项4〃，记为4〃=

/(〃).也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值/(I)，/

(2),/(〃)，…就是数列｛m).

【解题方法点拨】

-定义判断：根据数列的定义或通项公式判断其单调性.

-递推关系：利用数列的递推关系分析其单调性.

-数列差：分析数列相邻两项的差-an的符号判断单调性.

【命题方向】

常见题型包括利用定义、递推关系、数列差判断数列的单调性，结合具体数列进行分析.

下列通项公式中，对应数列是递增数列的是()

A.(ln=1-〃

1

BDg=不

C.an=2n2-5n+l

(n+3,n<2,

12〃一1,n>2

解：根据题意，依次分析选项:

对于A,加=1-〃,有。〃+1■曲=1-(/?+1)-l+n=-1,是递减数列,不符合题意,

对于8,an=<0,是递减数列，不符合题意,

对于C,〃〃=2/尸-5〃+1,Wan+i-an—2(n+1)2-5(n+1)+1-2«2+5n-1=4n-3,由于〃21,则a〃+i

-an=4n-3>(),是递增数列,符合题意,

对于。，%,=『+?'n"2,,则“2=5,“3=4,不是递增数列，不符合题意,

n>2

故选：C.

2.古典概型及其概率计算公式

【知识点的认识】

1.定义：如果一个试验具有下列特征：

（I）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；

（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的.

则称这种随机试验的概率模型为古典概型.

*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就

可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.

2.古典概率的计算公式

如果一次试验中可能出现的结果芍〃个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率

都是匕

n

如果某个事件A包含的结果有个，那么事件A的概率为P（A）=?=，］？纥要"

【解题方法点拨】

1.注意要点：解决占典概型的向题的关键是：分清基本事件个数〃与事件A中所包含的基本事件数.

因比要注意清楚以下三个方面：

（I）本试验是否具有等可能性；

（2）本试验的基本事件有多少个；

（3）事件A是什么.

2.解题实现步骤：

（I）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料•，加深理解题意；

（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；

（3）分别求出基本事件的个数〃与所求事件A中所包含的基本事件个数也

（4）利用公式P（4）=m求出事件A的概率.

3.解题方法技巧：

（I）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率

<2）利用分析法求解古典概型.

3.条件概率

【知识点的认识】

I、条件概率的定义：对于任何法个事件A和从在已知事件A发生的条件下，事件/发生的概率叫做条

件概率，用符号P(W)来表示.

(2)条件概率公式：称为事件A与8的交(或积).

(3)条件概率的求法：

①利用条件概率公式，分别求出P(A)和尸(AB),得P(8|A)=锣黑，其中P(4)>0；

②借助占典概型概率公式，先求出事件4包含的基本事件数〃[4),再在事件A发生的条件下求出事件4

包含的基本事件数，即〃(AGB1,得尸(8|A)=当黑

71vv

【解题方法点拨】

典例I：利用计算机产生I到6之间取整数值的随机数a和仇在为偶数的条件下，|〃-司>2发生的

概率是:.

解:由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数"和儿基本事件的总个数是6X6=36,即

(小b)的情况有36种，

事件为偶数”包含基本事件：

(I,1),(1,3),(L5),(2,2),(2,4),(2,6),

(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6)

(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)共18个,

“在"6为偶数的条件下，|a-目>2”包含基本事件：

(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)共4个，

4

故在a+b为偶数的条件下，-b\>2发生的概率是尸=需='

36

故答案为：|

9

典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班由3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，

321

答对则为本队得1分，答错不答都得。分，已知甲队3人每人答对的概率分别为:，乙队每人答对

432

的概率都是|.设每人回答正确与否相互之间没有影响，用彳表示甲队总得分.

(I)求随机变量《的分布列及其数学期望E(?);

(II)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.

分柝：(I)由题设知1的可能取值为0,1,2,3,分别求出产解=0),P(^=1),尸解=2),P(^=3),

由比能求出随机变量f的分布列和数学期望E0).

(II)设“甲队和乙队得分之和为4”为事件4,“甲队比乙队得分高”为事件B,分别求出P(A),P(A8),

再由P(4/4)二夕翳，能求出结果.

解答：(I)由题设知彳的可能取值为0，1,2,3,

3711

P(2=0)—(1-