2025-2026学年北师大版高二数学上学期期末常考题之一元线性回归

20252026学年上学期高二数学北师大版期末必刷常考题之一元

线性回归

一.选择题（共6小题）

1.某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量（百本）的情况

进行了调研，并统计得到如表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到关于x的线性回归方程为

y=12r+1.6,则下列说法不正确的是（）

x3456

y56.27.4in

A.变量k、y之间呈正相关

B.预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本

C.in—8.8

D.拟合误差。=0.48

2.已知变量x,），的4组相关数据分别为（1,8）,（2,7）,（3,5）,（4,4）,则），关于x的线性回归直线

必经过点（）

A.（2,7）B.（2.5,6）C.（3,5）D.（3.5,4.5）

3.某同学用收集到的6组数据对（r,V）（/=1,2,3,4,5,6）制作成如图所示的散点图（点旁的数

据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线人的方程：y=b,x+alf相关系数为门，相关指

数为瞪；经过残差分析确定点E为“离群点”（对应残差过大的点），把它去掉后，再用剩下的5组数

据计算得到回归直线/2的方程：y=b2x+a2,相关系数为2相关指数为疑.则以下结论中，不正确

的是（）

酩5）

y•

•DB3）"，4.〃

.•C22.3）

------------------------------------------------------------------►

OX

A.r\>0,rz>0B.瓦>0,b2>0

C.bi>b2D.Rl>Rj

4.2023年第5届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量,

如表所示：

时间X12345

销售量W万瓶5.74.83.83.22.5

若），与x线性相关，且线性回归方程为y=-0.8x+a,则下列说法不正确的是（）

A.由题中数据可知，变量y与x负相关

B.样本中心点为（3,4）

C.可以预测当x=6时销量约为1.8万瓶

D.线性回归方程、二-0.8%+。中。=6.4

5.下列命题中错误的是（）

A.在回归分析中，相关系数，•的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强

B.若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为y=2%+Q,样本

点中心为（3,6.5）,则样本点（2.5,7）的残差为1.5

C.在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好

D.对分类变量x与匕它们的随机变量K的观测值上越小，说明“x与y有关系”的把握越大

6.已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表:

年份20202021202220232024

年份代号/12345

成交额y（万50607080100

元）

若y关于/的线性回归方程为y=12£+a,则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额

是（）

A.84万元B.96万元C.108万元D.120万元

二.多选题（共3小题）

（多选）7.下列说法正确的是（）

A.若随机变量X服从正态分布X（3,co2）,且P（XW4）=0.7,则P（3<XV4）=0.2

B.一组数据10,11,11,12，13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14

C.若线性相关系数H越接近1,则两个变量的线性相关性越强

D.对具有线性相关关系的变量x,），，其线性回归方程为y=0.3x-m,若样本点的中心为（m,2.8）,

则实数的值是・4

（多选）8.下列说法正确的是（）

A.对丁独立性检验，随机变量x2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小

B.以模型y=c3”去拟合一组数据时，为了求出回归方程,设2=。?），,将其变换后得到线性方程z=3x+l,

则c,々的值分别是e,3

C.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，日最小二乘法求得其回归直线方程为

y=0.4x+a,若其中一个散点坐标为（-4,5.4）,则4=9

D.将两个具有相关关系的变最X,1y的一组数据（XI,>,1）,（X2,”），…，（xn,川）调整为（XI,>,1+3）,

（.V2,*+3）,…，（X”，州+3）,决定系数不变

（多选）9.下列说法正确的是（）

A.数据1,8,9,4,5,5,8,2,3,10的下四分位数是3

B.若随机变量X服从正态分布N（ao2）,P（X<-2）=P（X>4）=0.14,则P（1V>V4）=0.36

C.变量x,y满足经验回归方程为y=0.4x-2m,若样本点中心为（〃?，3.2）,则/〃=-4

D.已知数据耳，.⑵…，册的平均数为6,方差为10,现加入5和7两个数，则这8个数的方差S2二¥

三.填空题（共4小题）

10.已知变量x和y的统计数据如表

X12345

y467m8

若x,y线性相关，且经验I可归方程为y=1.2x+〃，则5n-m=

II.马鞍山市某月连续四天的最低气温如下表所示:

第x天1234

最低气温y（单位C）14171514

由最小二乘法得到经验回归方程y=-0.2x+a,则a的值为

12.根据变量丫和工的成对样本数据，由一元线性回归模型｛1；)匕;°；(：)=》得到经验回归模型y=

bx+。对应的残差如图所示，下列表述正确的有.(填序号)

①变量y和x之间关系可以用一元线性函数模型描述.

②模型误差满足一元线性回归模型的E(e)=0的假设.

③模型误差不满足一元线性回归模型的。(e)=。2的假设.

④模型误差不满足一元线性回归模型的E(e)=0和D(e)=。2的假设.

残差

3・

2

0•・・・・・・・・,・・・：••・：・、

0-0.51.0*：\1.5..*2.0••24...3.0*x

-2・*

-3

13.红铃虫(PeciinophoragossypMlla)是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃

虫的产卵数)，(个)和温度x(C)的8组观测数据，制成图I所示的散点图.现用两种模型①)，=*计"，

②y=c/+〃分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.

A产卵数W个

140-

120-•

100-

80-•

60-

40-•

20-.•

0(一♦fT；111111A

182022242628303234温度

图1产卵数散点图图2两种模型的残差图

根据收集到的数据，计算得到如下值:

XZEsf=i(阳•sf=ia「z：=]⑵-

可?)22)1二)

y)(q-0

252.964616842268850.470308

表中zi=lnya布ti=xf；t=gSf=1

（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型比较合适？

（2）根据（1）中所选择的模型，求出），关于x的回归方程.

附：对于一组数据（31,VI）,（32,V2）,…，（0）/1,V/»）»其回归直线U=。+的斜率和截距的最小

211（3「豆）（《一切

二乘估计分别为/?=a=v-/?0>.

%3「砌2'

四.解答题（共2小题）

14.某奶茶连锁店研制了新品，在五个店按不同的价格进行试销售，通过一天的试销售得到的数据如表：

单价x（元/杯）1010.51111.512

销售量y（杯/店）3028252220

通过分析，发现该新品的销化:量y（杯/店）与单价x（元/杯）具有线性相关关系.

（1）根据上表提供的数据，月最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；

（2）已知此奶茶连锁店一共有50（）家奶茶店，若为了提高销量，此奶茶连锁店规定该新品的单价是9

元/杯，根据（1）所得的回归直线方程，请估计此奶茶连锁店关于此新品一天的总销售量.

,，,*VXiy:-nxy，*

附：在回归直线方程、=匕％+。中，匕=号------------,a=y—bx,xf=607.5.

x?—nx2

Z—i=1

15.近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新

能源汽车销量（单位：千辆）

年份2021202220232024

年份代号X1234

销量），336993129

22i（阳一动（y19）

附rIJ・•1相1-1关八系K数如r--

y（-2(y-y)2

\=i=]

回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b=a，i=y-bx.

说is-乃

E：=ixtyi=966,k=i（y：-y）2=4896,V170«13.04.

（1）试根据样本相关系数「的值判断该地汽车销量），与年份代号X的线性相关性强弱（0.75WWW1,

则认为），与x的线性相关性较强，MV0.75,则认为），与工的线性相关性较弱）：（精确至IJ0.001）

（2）建立），关于x的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量.

20252026学年上学期高二数学北师大版（2019）期末必刷常考题之一元

线性回归

参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题）

题号123456

答案CBDCDC

二.多选题（共3小题）

题号789

答案ACDBDABD

一.选择题（共6小题）

I.某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况

进行了调研，并统计得到如表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到,，关于x的线性回归方程为

y=L2r+1.6,则下列说法不正确的是（）

x3456

y56.27.4m

A.变量x、之间呈正相关

B.预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本

C.77?—8.8

D.拟合误差Q=0.48

【考点】经验回归方程与经验回归直线：一元线性回归模型.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】C

【分析】根据线性回归方程的性质可判断ABC,根据拟合误差公式可判断Q.

【解答】解：对于4由线性回归方程为y=1.2x+1.6可知，变量X、），之间呈正相关，故A正确；

对于8,预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为1.2X2+16=4（百本），故8正确；

—3+4+5+6/u-5+6.2+7.4+77118.6+m

对于c,由题意可知,%=-4—=457=--------4--------=-4-

因为线性回归方程y=1.2x+L6过点(匕y),

18.6+m

所以=1.2X4.5+1.6,

4

解得〃?=9.4,故C错误;

对于。，拟合误差。=[5-(1.2X3+1.6)]2+[6.2-(1.2X4+L6)]2+[7.4-(1.2X5+1.6)]2+[9.4-(1.2

X6+1.6)12=0.48,故。正确.

故选：C.

【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题.

2.已知变量x,)，的4组相关数据分别为(1,8),(2,7),(3,5),(4,4),则y关于x的线性回归直线

必经过点()

A.(2,7)B.(2.5,6)C.(3,5)D.(3.5,4.5)

【考点】经验回归方程与经验回归直线.

【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】B

【分析】根据线性回归直线方程性质可解.

【解答】解：己知变量x,y的4组相关数据分别为(1,8),(2,7),(3,5),(4,4),

则5=1+2*4=25,»=8+7[5+4=6,

则其中心点为(2.5,6),

而,，关于x的线性同归直线必经过中心点.

故选：B.

【点评】本题考查线性回归直线方程性质，属于基础题.

3.某同学用收集到的6组数据对(H,y)(/=1,2,3,4,5,6)制作成如图所示的散点图(点旁的数

据为该点坐标)，并由最小二乘法计算得到I可归直线人的方程：y=b1X+alf相关系数为门，相关指

数为储；经过残差分析确定点£为“离群点”(对应残差过大的点)，把它去掉后，再用剩下的5组数

据计算得到回归直线/2的方程：y=匕2工+的，相关系数为⑵相关指数为账.则以下结论中，不正确

的是()

E（55）

y•

•DB3）*”,4.0

••CQ23）

.4/0,1.5）（B，12）

------------------------------------------------►

O---------------------------X

AA

A.r\>0»rz>0B.bx>0,b2>0

AA

C.bx>b2D.Rf>Rj

【考点】经验回归方程与经验回归直线.

【专题】对应思想；转化法；概率与统计.

【答案】D

【分析】根据图象上升，判断正相关，根据拟合效果的优劣判断相关指数的大小，代入点的坐标到直线

方程判断是否在直线匕根据图象判断相关系数的大小.

【解答】解：结合图象，呈正相关，A,4正确：

显然已<6，c正确；

去掉离群点，解约趋向于1,故及2〈42,。错误；

故选：D.

【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查r相关指数的应用问题.

4.2023年第5届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，

如表所示：

时间X12345

俏售量w万瓶5.74.83.83.22.5

若），与/线性相关，且线性回归方程为y=-0.8x+a,则下列说法不止确的是（）

A.由题中数据可知，变量,，与x负相关

B.样本中心点为（3,4）

C.可以预测当x=6时销量约为1.8万瓶

D.线性回归方程y=-0.8x+Q中Q=6.4

【考点】经验回归方程与经验回归直线.

【专题】函数思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】C

【分析】对于A,利用表中的数据变化情况分析判断，对于以利用计算平均数即可求出样本中心点,

对于C,利用回归方程可求出预测值，对于。，利用回归方程一定过样本中心点即可求解.

【解答】解：对于选项A,由表中数据可知，随x的增大而减小，所以变量），与X负相关，故A正确；

对于选项以由表中数据可知,受=1+2+7+4+5=3,歹=5.7+4.8+3；8+3.2+2.5=4,

则样本中心点为（3,4）,故B正确；

对于选项C,因为线性回归方程、=-0.8%+。过样本中心点为（3,4）,

所以4=-0.8X3+。，

解得a=6.4,

所以线性回归方程为y=-0.8.r+6.4,

当x=6时，y=-0.8x6+6.4=1.6,

所以可以预测当x=6时销量约为1.6万瓶，故C错误：

对于选项D,由选项C可得Q=6.4,故。正确.

故选：C.

【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题.

5.下列命题中错误的是（）

A.在回归分析中，相关系数/•的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强

B.若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为y=2%+a,样本

点中心为（3,6.5）,则样本点（2.5,7）的残差为1.5

C.在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好

D.对分类变最x与匕它们的随机变晶片的观测值A越小，说明“x与丫有关系”的把握越大

【考点】经验回归方程与经验回归直线；独立性检验；样本相关系数.

【专题】转化思想：综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】D

【分析】根据经验回归方程的性质即可求解.

【解答】解：4相关系数/•的绝对值越接近I,线性相关性越强，正确；

B：将样本中心点(3,6.5)代入y=2x+a,得6.5=2X3+m解得〃=0.5,方程为y=2x+0.5,

样本点(2.5,7)的预测值为2X2.5+O.5=5.5,残差7-5.5=1.5,正确/

C：残差平方和越小，模型对数据的拟合效果越好，正确；

D：分类变量x与y的K2观测值k越大，"x与y有关系”的把握才越大，女越小，把握越小，错误.

故选：D.

【点评】本题考查了经验回归方程，属于基础题.

6.己知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表:

年份20202021202220232024

年份代号/12345

成交额y(万50607080100

元)

若y关于/的线性回归方程为y=12£+a,则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额

是()

A.84万元B.96万元C.108万元D.120万元

【考点】经验回归方程与经验回归直线.

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】C

【分析】求出39根据I可归直线方程必过样本中心点求出明即可求出回归直线方程，再代入/=6计

算可得.

【解答】解：根据题意可知，t=1(14-2+3+4+5)=3,y=1(50+60+70+80+100)=72,

线性回归方程为y=12t+Q必过点(3y),

所以72=12x3+Q,解得Q=36,所以y=12t+36,

2025年的年份代号为6,所以当/=6时，y=12x6+36=108,

故根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是108万元.

故选：C.

【点评】本题考查了回归方程，属于基础题.

二,多选题(共3小题)

（多选）7.下列说法正确的是（）

A.若随机变量X服从正态分布X（3,a?）,且尸（XW4）=0.7,则尸（3VXC4）=0.2

B.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14

C.若线性相关系数m越接近1,则两个变量的线性相关性越强

D.对具有线性相关关系的变量x,），，其线性回归方程为y=0.3%-m,若样本点的中心为（加，2.8）,

则实数，〃的值是-4

【考点】经验回归方程与经验回归直线；命题的真假判断与应用；正态分布曲线的特点及曲线所表示的

意义；百分位数；样本相关系数.

【专题】综合题；对应思想；分析法；概率与统计；逻辑思维；运算求解.

【答案】ACD

【分析】由题意，根据正态分布曲线的对称性即可判断选项A；结合百分位数的定义即可判断选项B：

利用相关系数的概念即可判断选项C;根据线性方程必过样本点中心，将坐标代入即可判断选项D.

【解答】解：对于选项A：若随机变量X服从正态分布X（3,co2）,且P（XW4）=0.7,

WJP（3<X<4）=P（X<4）-0.5=0.2,故选项A正确；

对于选项8：已知一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22,

该组数据共有10个数，

因为10X60%=6,

所以第60百分位数为竺竺二15,故选项3错误；

对于选项C若线性相关系数越接近1,

则两个变量的线性相关性越强，故选项C正确；

对于选项。：已知线性回归方程为y=0.3%-m,

因为样本点的中心为（〃［，2.8）,

所以2.8=0.3，〃in,

解得m=-4,故选项。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查线性回归方程，相关系数、正态曲线以及百分位数，考查了逻辑推理和运算能力.

（多选）8.下列说法正确的是（）

A.对于独立性检验，随机变量x2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小

B.以模型1y=c*士拟合一组数据时，为了求出回归力程，设，将其变换后得到线性方程z=3x+l,

则c,2的值分别是e，3

C.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，口最小二乘法求得其回归直线方程为

y=0.4x+a,若其中一个散点坐标为（-〃，5.4）,则〃=9

D.将两个具有相关关系的变量x,y的一组数据（xi,yi）,（X2,只），…，（x〃，y/i）调整为（xi,yi+3）,

（X2,*+3）,…,（XM,y“+3）,决定系数R?不变

【考点】经验回归方程与经验回归直线；独之性检验.

【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】BD

【分析】根据独立性检验相关知识可解A,根据线性回归直线方程知识可判断B,C,根据决定系数相

关知识可判断D.

【解答】解：对于A,对于独立性检验，随机变量乂2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率

越大，故A错误；

对于从以模型），=比日去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设2=/〃），，Mz=lnce^=!a+lnc,

乂变换后得到线性方程z=3户1,则4=3,c=e,故B正确；

对于C,回归直线方程为y=0.4x+°一定经过中心点y）,但题中没有明确说明（-%5.4）是中心

点，故C错误；

A2人

对于。，由于决定系数R2=1一胎乌二冬,V变成了），计3,则厂=y十3,7=8距十。+3=%十3,

工之1（y「力

从而％-加yt一歹都不变，则尸=（R'故。正确.

故选：BD.

【点评】本题考查独立性检验，线性回归直线方程，决定系数相关知识，属于中档题.

（多选）9.下列说法正确的是（）

A.数据1,8,9,4,5,5,8,2,3,10的下四分位数是3

B.若随机变量X服从正态分布N（4。2）,p（X<-2）=P（X>4）=0.14,则P（1V>V4）=0.36

C.变量x,y满足经验回归方程为y=0.4x-2m,若样本点中心为（〃?，3.2）,则〃?=-4

D.已知数据月,4,…，X6的平均数为6,方差为10,现加入5和7两个数，则这8个数的方差s2=.

【考点】经验回归方程与经验何归直线；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；方差；百分位数.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】ABD

【分析】对于4,根据定义计算即可；对于以正态分布，利用其对称性即可解题；对于C,根据样本

点中心为(〃?，3.2)在回归方程y=0.4x-2〃?上解题即可；对于。，用方差公式直接计算即可.

【解答】解：对于选项4数据按从小到大顺序排列1,2,3,4,5,5,8,8,9,10共10个数据，

因为10X0.25=2.5,所以其下四分位数是3,故A正确；

对于选项B,因为P(XV-2)=P(X>4)=0,14,

所以n=2=1,

所以尸(1VXV4)=0.5-P(X>4)=0.5-0.14=0.36,故8正确；

对于选项C,样本点中心为Cm,3.2)代入回归方程y=0.4x・2w,得3.2=0.4〃L2加，

解得机=-2,故C错误；

对于选项D,川+工2+…+戈6=36,：+%2+…+x6)-36=10,

可得*+后+…+郎=46X6=276,

11O1

现加入5和7两个数后，平均数为)(4+%2+…+/+5+7)=6,s2=^(276+25+49)-36=^

故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题主要考查了百分位数、平均数和方差的定义，考查了正态分布曲线的对称性，以及线性回

归方程的性质，属于基础题.

三.填空题(共4小题)

10.已知变量A-和y的统计数据如表

X12345

y467tn8

若x,y线性相关，且经验I可归方程为y=1.2x+〃，则5〃-m=7

【考点】经验回归方程与经验回归直线.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据经验回归直线经过样本中心点泛，历求解.

1+24-3+44-5—4+6+7+TH+825+m

【解答】解:由表格数据可得,x==3,

5y=—5—=~5~^

因为经验回归直线y=1.2%+n过样本点的中心(7,歹),

“125+ni

所以-----=1.2X3+71,

整理得5n-m=7.

故答案为：7.

【点评】本题主要考查了经验回归直线方程的性质，属于基础题.

11.马鞍山市某月连续四天的最低气温如下表所示：

第x天1234

最低气温y(单位℃)14171514

由最小二乘法得到经验回归方程y=-0.2x+a,则。的值为15.5

【考点】经验【可归方程与经验回归直线.

【专题】整体思想；综合法；概率与统订；运算求解.

【答案】15.5.

【分析】求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程后可求得〃的值.

rh生由左n—1+2+3+4~-14+15+17+14_

【解答】解:由题目可知，x=---------=2o.5,y=-------------=115,

因为回归直线y=-0.2x+a过点(x,y),即点(2.5,15),

所以・0.2X2.5+a=15,

解得a=15.5.

故答案为：15.5.

【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于•基础题.

Yhx4-a4.p*

(£("=0,D©=/得到经验回归模型y=

bx+a对应的残差如图所示，下列表述正确的有.(填序号)

①变量丫和X之间关系可以用一元线性函数模型描述.

②模型误差满足一元线性回归模型的E(e)=0的假设.

③模型误差不满足一元线性回归模型的。(e)=。2的假设.

④模型误差不满足一元线性回归模型的E(e)=0和。(c)=。2的假设.

残差

3

0*0.5LO・：・・1.5・・.*2；Q・・2.5x

-2*

-3

【考点】经验回归方程与经验回归直线；残差及残差图.

【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；逻辑思维.

【答案】②③.

【分析】利用一元线性回归模型2,结合残差图，再对四个命题逐一分析判断，即

可求解.

【解答】解：由题知，一元线性回归模型（蓝；：：。：（；）=02得到经验回归模型”'+如

根据对应的残差图，残差的均值E（e）=0可能成立，

但明显残差的工轴上方和下方的数据分布不对称，。（e）=。2不满足一元线性回归模型，

则②和③正确，①和④错误.

故答案为：②③.

【点评】本题主要考查经验回归方程，残差及残差图，考查逻辑推理能力，属于基础题.

13.红铃虫（PectinophcragQ$$*ella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃

虫的产卵数y（个）和温度xCC）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①），=於什"，

②尸c/+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.

A产卵数w个

・残差

140-

30--------------------------------

120-•

20—r----------------T---------

100-

1U----------------------7-------

80-•0_1__-1-

60-_]0182()2-26率的234温度

40-•-20---------------上/-----------

20-.•

0（一♦fT；111111A-30-------------------------------

182022242628303234温度一模型①-O-模型②

图1产卵数散点图图2两种模型的残差图

根据收集到的数据■，计算得到如下值：

XZt(xfs?=i黑心-

亚IT»0

.(勺-x)y)(G-0

252.964616842268850.470308

表中zi=lnyi\ti=xf；t=gSP=l"；

（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型①比较合适？

（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于工的回归方程n=e°29A4.34—.

附：对于一组数据（31,VI）,（32，V2），…，（<*）/»>V/»）,其回归直线u=a+的斜率和截距的最小

*>（0>.-6j）（V.-V）**

二乘估计分别为/?="---------L，戊=万一夕值.

£%（叫-3）

【考点】残差及残差图.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】（I）选模型①比较合适；

(2)y=g0.29x-4.61

【分析】（1）根据残差图判断即可；

（2）令z=/〃）』ijz=a+b，利用参考数据求出〃，a的值，进而得到产卵数y关于温度x的回归

方程.

【解答】解：（1）应该选择模型①.由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域

的宽度比模型②的带状宽度窄，

所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适；

（2）令Z=/〃Az与温度x可以用线性回归方程来拟合，则z=Q+bx,

「8__

所以b=「积片不50.4

=0.3,

168

y（%「元）2

所以。=z-b1=2.89-0.3X25=-4.61,

即z关于x的线性回归方程为z=0.29%-4.61.于是有lny=0.29x-4.61,

所以产卵数y关于温度x的回归方程为y=。。-2奖-4.61

故答案为：①；y=。。2队-4.6】

【点评】本题主:要考查了经验回归方程的求解，考查了残差织的应用，属于中档题.

四,解答题（共2小题）

14.某奶茶连锁店研制了新品，在五个店按不同的价格进行试销售，通过•天的试销售得到的数据如表:

单价x（元/杯）1010.51111.512

销售量y（杯/店）3028252220

通过分析，发现该新品的销售量），（杯/店）与单价1（元/杯）具有线性相关关系.

（1）根据上表提供的数据，月最小二乘法求出y关于工的回归直线方程;

（2）已如此奶茶连锁店•共有500家奶茶店，若为了提高销量，此奶茶连锁店规定该新品的单价是9

元/杯，根据（1）所得的回归直线方程，请估计此奶茶连锁店关于此新品一天的总销售量.

__

A人A人）.Xiyj-nxy*八

附：在回归直线方程、=bx+Q中，b=-=5^--------，a=y—bx,Sf=1xf=607.5.

y蜡一应z

乙t=i

【考点】一元线性回归模型.

【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】（1）），=-5.2X+82.2；

(2)17700杯.

【分析】（1）根据题意，分别求得工，歹和居贝,利用公式;求得b,a的值，进而求得回归直线方程;

（2）由（1）中的回归方程，当x=9时，求得y的值，即可得到答案.

10+10.5+11+11.5+1230+28+25+22+20

=11,y==25»

【解答】解：（1）由题意，可得工=55

且£?=1勺%=10x30+10.5x28+11x25+11.5x224-12x20=1362,

所以匕=嚼OU/m3X置«L/，1=一5.2,a=25-(-5.2)x11=82.2,

所以），关于x的回归直线方程是y=-52计822

(2)由(1)知当x=9时，可得)，=-5.2X9+82.2=35.4,

所以估计此奶茶连锁店关于此新品一天的总销售量是35.4X500=1770（）（杯）.

【点评】本题考查了线性回归方程的计算，属于中档题.

15.近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新

能源汽车销量（单位：千辆）

年份2021202220232024

年份代号X1234

销量），336993129

附：相关系数一晨色:叱刃；

（阳一行Vn（y.-y）2

\=i=lq=i=l

回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b=%-®T）阳边,a=y-bx.

X&勺%=966,Xf=i（y,-y）2=4896,V170=13.04.

（1）试根据样本相关系数r的值判断该地汽车销量），与年份代号工的线性相关性强弱（O.75W|/1W1,

则认为），与x的线性相关性较强，|，1<0.75,则认为），与x的线性相关性较弱）；（精确到0.001）

（2）建立,，关于x的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量.

【考点】一元线性回归模型；样本相关系数.

【专题】转化思想；综合法：概率与统订；运算求解.

【答案】（I）r^0.997,y与x具有较强的线性相关关系;

（2）回归方程为y=312计3；预测该地2025年的新能源汽车销量为159（千辆）.

【分析】（1）根据题干所给数据算出2X1（勺一为（为一刃,£3（阳一可2,詈=]a一切2.代入

相关系数计算公式计算即可；

（2）根据（I）算出的结果进一步算出，再根据线性回归方程经过（7,为计算〃，最后把x=5代入回

归直线方程即可求解.

【解答】解：（1）根据题意可得M=1+2,+4=2.5,_33+69+93+129O1