2025-2026学年北师大版高一数学上学期期末常考题之方程解的存在性及方程的近似解

2025・2026学年上学期高一数学北师大版)期末必刷常考题之方程

解的存在性及方程的近似解

一.选择题(共6小题)

I.设函数/(x)=a(A+1)2,g(x)=\x\+2ax+1,当疣(-1,1)时,曲线y=/(x)与y=g(x)恰有

一个交点，则4=()

1

A.-1B.-C.1D.2

2

2.已知函数y=/(x)的图象是连续不间断的，且对应关系如下表:

X\1.51.751.8752

y-6-2.625-0.141.342-0.158

则f(x)在［1,2］上的零点个数()

A.只有1个B.至少有2个C.至多有2个D.只有2个

3.已知函数/■(%)=•［"8”+8'若互不相等的实根盯，X2»满足/(XI)=f(X2)=f(x3),

(2x+4,(%VO)

则X1+X2+X3的范围是()

A.(2,8)B.(-8,4)C.(-6,0)D.(-6,8)

4.己知刈是方程2?/斗加x=0的实根，则关于实数xo的判断正确的是()

A.xo>ln2B.x<-

Qe

x

C.2卬+/九卬=0D.2e°+lnxQ=0

(|2X-1|,x<2,

5.已知函数/'(%)=若函数)，=/(x)图象与直线)，=k有且仅有三个不同的交点，则实

岛3，XN2,

数%的取值范围是()

A.k>0B.04VlC.0V2V3D.\<k<3

6.已知函数/'(x)=Izu:--3有三个零点，则，的取值范围是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(0,1)

二.多选题(共3小题)

(多选)7,下列命题为真命题的是()

A.uV.veR,』+x+l>0”的否定为03.veR,?+x+l<On

B.若函数f(x)的定义域为R，则"/(O)=0”是“函数f(x)为奇函数”的必要不充分条件

C.函数/(%)=厚在区间［0,2］上的值域为［一4，1］

JLI4'。

D.用二分法求方程f-Zr-5=0在区间［2,3］内的实根，二一个有根区间是(2,2.5)

(多选)8.已知函数/(%)=卜+1'“V"令g(x)=/(/(“))，则下列说法正确的是()

(-X2+2x,%>0,

A.g(-1)=0

B.方程g(A)=2有3个根

C.方程g(x)=-2的所有根之和为・1

D.当xVO时，/(x)Mg(x)

(多选)9.已知函数/(x)=/-|37-31-〃3则下列结论正确的有()

A.f(x)只有1个极小值点

B.y=f(x)在点(3,/(3)；处的切线斜率为9

C.当/(x)有3个零点时，用的取值范围为(-3,I)

D.当/(x)只有1个零点时，，〃的取值范围为(-8,-3)u(1,+8)

三,填空题(共4小题)

10.定义min{m，n}=m<n记/(x)=min(［x\-1,.v2-ax+2a-3},若f(x)至少有3个零点，

.n,m>n

则实数a的取值范围为.

11.若函数/(x)-x+a有两个零点，则实数。的取值范围是.

12.已知函数八>)=「"+?'X"0,若关于x的方程严(%)-b/(x)+J=O有8个相异的实根，则实

{-2x24-4x,x>Q'

数力的取值范围为.

13.设坯R,已知关于X的方程-X+1)2(X+U)2=^+3存在四个实数根且(xi+1)(A-2+1)(A3+1)(A4+1)

=6(«+1),则Al+X2+X3+X4=.

四.解答题(共2小题)

14.已知函数/(x)=f・(tn+1)x+ni+1.

(1)若关于x的方程/«)=0一根大于0,一根小于0,求实数〃?的取值范围；

(2)若关于x的方程/(3=0有两个大于-1的不等实根，求实数，〃的取值范围.

15.已知函数/(x)=lo&(2+x),g(x)=log«(2-x)(a>0,且

(1)求函数/(x)・g(X)的定义域：

(2)判断函数/(x)-g(x)的奇偶性，并说明理由；

(3)当〃=4时，若。(X)=/(x)+g(x)-机有两个零点，求实数〃?的取值范围.

2025・2026学年上学期高一数学北师大版(2019)期末必刷常考题之方程

解的存在性及方程的近似解

参考答案与试题解析

一,选择题(共6小题)

题号123456

答案CBACBD

二.多选题(共3小题)

题号789

答案BCDACDBCD

一.选择题(共6小题)

1.设函数f(x)=a(x+1)2,g(x)=\x\+2ax+\,当(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有

一个交点，则4=()

1

A.-IB.-C.1D.2

2

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想；方程思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算

求解.

【答案】C

【分析】由题意可得。=晦，即直线与函数/?(x)=唔在(-1,1)上只有一个交点，利

力+1•力+1

用转化思想、对■勾函数及偶函数的性质，作出力(X)的图象，结合图象求解即可.

【解答】解：令f(X)=g(x)，

则有a(x+l)2=h-|+2ar+l,

即川(x+1)2-Zr]=k|+L

所以a(7+1)=|x|+1,

即a=学?，

由题意可知直线y=a与函数(x)=唔在(-1,1)上只有一个交点，

易知/?（X）为偶函数,

当OWxVl时，h(x)=芫;，

令f=x+lw[l,2),

t_t_]

则力(x)=(p(/)

(t-l)2+l-t2-2t+2-t+,-2

由对勾函数的性质可知尸什羡一2在（1,近）上单调递减，在（&,2）上单调递增,

所以年（/）二T—在［1,我）上单调递增，在（0，2）上单调递减，

t+f-2

乂（p（1）=1,<p（V2）=—»

即〃（x）在［0,V2-I）上单调递增，在（鱼-1,1）上单调递减,

且力（0）=1,h（或-1）=^i,

又因为力（%）为偶函数，'

【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合思想，考杳了对勾函数的性质，属于中档题.

2.已知函数y=/（x）的图象是连续不间断的，且对应关系如下表:

X11.51.751.8752

y-6-2.625-0.141.342-0.158

则/（外在［1,2］上的零点个数（）

A.只有1个B.至少有2个C.至多有2个D.只有2个

【考点】判定函数零点的存在性.

【专题】收化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】B

【分析】根据题意，运用零点存在性定理进行求解，即可得到本题的答案.

【解答】解：函数y=/(x)的图象是连续不间断的，且/(I.75)/(1.875)<0,

根据零点存在性定理，可知/(x)在区间(1.75,1.875)上存在至少一个零点，

根据/(1.875)/(2)<0,可知/(x)在区间(1.875,2)上存在至少一个零点，

综上所述，函数在区间［1,2］上至少存在2个零点.

故选：B.

【点评】本题主要考查了函数的零点存在性定理及其应用，属于基础题.

3.已知函数/⑶=I/-8"+8,0之°),若互不相等的实根内，如满足/(用)=/(x2)=/(X3)，

(2x4-4,(x<0)

则X］+X2+X3的范围是()

A.(2,8)B.(-8,4)C.(-6,0)D.(-6,8)

【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用.

【专题】计算题；函数思想；综合法：函数的性质及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】先画出函数/(x)的大致图象，由图象可知X2+X3=8,-6<xi<0,进而求出XI+X2+X3的取值

范围.

【解答】解：画出函数/(X)的大致图象，如图所示：

，X2+X3=8,

令2x+4=-8,得x=-6,

/.-6<xi<0»

•,.XI+X2+X3的取值范围为：-6+8<Al+X2+X3<0+8,即K|+X2+X3€(2,8)>

故选：A.

【点评】本题考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，属于中档题.

4.已知刈是方程2，小//依=。的实根，则关于实数3的判断正确的是()

A.XQ>IH2B.xQ

x

C.2xo+/〃xo=OD.2e°+lnx0=0

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用：逻辑思维;

运算求解.

【答案】C

【分析】设g(x)=2&为7几'；,由g(x)=0,可得出2%"才=一竽=[m]>0,可得出(0,1),

构造新函数/(X)=x/,x>0,得到/(x)在(0,+8)上为单调递增函数，结合/l(2&)=

可判断C。；再令力(x)=2x+lnx,xE(0,1),结合零点的存在定理，可判断A、B.

【解答】解：设g(x)=2?e"+/〃x,其中x>0,

g'(x)=4粕2才+4/e2x+g>0对任意的(0,+°0)恒成立，

则函数g(x)在(0,+8)上为单调递增函数，

因为A0是方程2?6筋+/心=0的实根，

即即是y=X<A)在(0,十3)上的唯零点，

由2/口+/，次=0,可得=一妈=-l-,

XXnX

由x>0,可得2%於>0,

所以工仇工>0,In->0,故工>1,

xxxx

从而得出0<x<l,

令f(x)=xex,x>0,

可得，(x)=ex+xex=(x+l)/»),

所以/(x)在(0,+8)上为单调递增函数，

可得/(2x)=2x^1f(lnh=elnxln^=^ln^»

人人人人

因为实数A-o是方程2/e〃+/心=o的实根，

11

则=in

x0x0

即〃2%o)=f(bi分,

x0

其中xo€(0,I),

所以2&==-lnx,

xo0

即2xo+bvco=O,所以C正确，D不正确；

令/?(x)=2x+lnx,xG(0,I),

可得/(x)=2+1>0,

所以力(x)在(0,l)上为单调递增函数，

因为硝=>1<0,硅)=>+配宗=看一空0,

即心血*。，

由零点存在定理可得工Vx°V白，故B错误；

euyJe

又由，n2>，nV^=4,且［V%'

所以刈〈为2,故A错误.

故选：C.

【点评】本题考查了转化思想、同构思想，考查了导数的综合运用及函数的零点，属于中档题.

—x<2,

5.已知函数/（%）=3若函数y=/（x）图象与直线），=%有且仅有三个不同的交点，则实

（门，八2,

数k的取值范围是（）

A.k>0B.0<K<1C.0<k<3D.1VAV3

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】8

【分析】画出函数y=/a）的图象，结合图象求解即可.

【解答】解：将y=2%的图象向下平移1个单位得到），=2厂1,

再将），=2匚I的图象的工轴卜.方的图象以工轴为对称轴翻转至x轴上方可得到），=|2入1|,

将y=。的图象向右平移1个单位得到y=含,

人人JL

的图象，如图所示:

因为函数），=/（x）图象与直线y=&有且仅有三个不同的交点,

由图可知，当0V&V1时，满足题意.

故选:B.

【点评】本题考查了函数与方程思想、数形给思想，属于基础题.

6.已知函数/■（乃=，2：-£（%-3有三个零点，则/的取值范围是（）

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(0,1)

【考点】由函数零点所在区间求解函数或参数.

【专题】计算题：转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；运算求解.

【答案】D

【分析】根据函数/J）有三个零点，可知/J）在（0,+8）上有三个单调区间，极小值小于0且极

大值大于（）.由此利用导数研究/（外的单调性，结合一元二次方程根的判别式与韦达定理，建立关于

，的不等式组，解之即可得到本题的答案.

【解答】解：对/（x）求导数得/（x）=1一一提=匚要匚，

当f（x）在（0,+8）上有三个零点时，

f（x）在（0,+8）上有三个单调区间，极小值小于0且极大值大于0.

设方程--f=0的根为XI，X2，（X|<X2）»记g（x）--t^+x-t,

由X|+%2=），X1X2=1，工1、X2是不相等的正数，得L°，解得OVtV^.

U=1-4t2>0

当0V£V2时，/（x）在区间3,X2）上为增函数，在（0,XI）与（必+8）上为减函数，

根据41X2=1且内WX2，可知XIVI<X2，/（X）的极小值/（为）</（1）=0,极大值/（12）>/（1）

=0.

所以ovtv；时，/（X）有三个零点，符合题意，即实数/的取值范围是（0,i）.

/2

故选：Q.

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点及其判断、一元二次方程根的判别式和

韦达定理等知识，属于中档题.

二,多选题（共3小题）

（多选）7.下列命题为真命题的是（）

M

A."Vx£R,』+x+i>0”的否定为«3.veR,?+x+l<O

B.若函数/（x）的定义域为R,则“/（0）=0”是“函数/（"为奇函数"的必要不充分条件

C.函数/（%）=浅在区间［0,2］上的值域为［一L1］

D.用二分法求方程9-2K-5=。在区间［2,3］内的实根，下一个有根区间是（2,2.5）

【考点】二分法求函数零点的近似值；必要不充分条件的判断；求全称量词命题的否定；简单函数的值

域.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；简易逻辑；运算求解.

【答案】BCD

【分析】由全称命题的否定结构可判断4,由奇函数的定义可判断8,分离常数，通过函数单调性可判

断C,由二分法操作原理可判断D

【解答】解：A选项，“灯WR：f+x+l>0”的否定为“土WR,』+x+iW0”，A选项错误.

B选项，函数/(x)的定义域为R,

当f(x)为奇函数,则f(0)=0,

当/(0)=0时，如/(X)=?,/(x)是偶函数，

所以“/(0)=0”是“函数/(x)为奇函数”的必要不充分条件，B选项正确.

。选项，函数/。)=冷=与詈=一1+£,可知：/Q)在区间［0,2］上单调递减，

JLI人JLI人JLI人

所以值域为［一!，1］,C选项正确.

°

。选项，令/(x)=?-2.X-5,t(3)=27-6-5=16>0,t(2)=8-4-5=-1<0,

方程f-2x-5=0在区间［2,3］上有实数解，二等一5-5=普>0,

所以下一个有根区间是(2,2.5),。选项正确.

故选：BCD.

【点评】本题主要考杳函数知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题.

X+［x

「'令g(x)=f(f(x)),则下列说法正确的是()

{-x2+2x,x>0,

A.g(-1)=0

B.方程g(x)=2有3个根

C.方程g(x)=-2的所有根之和为・1

D.当xVO时，f(x)Wg(x)

【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用.

【专题】函数思想；方程思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算

求解.

【答案】ACD

【分析】由题意知/(-1)=0,可得g(-1)=0从而判断A；

令/(x)=〃，因为方程/(〃)=2没有实根，即g(x)=2没有实根，从而判断8；

令则方程g(x)=-2,即/(〃)=-2,通过化简与计算即可判断C

当xVO时，gCO=/(x+l),则将函数/(x)在(-8,1)的图象向左平移1个单位长度可得函数g

(x)的图象，即可判断。.

【解答】解：对于A,由题意知/(-1)=-1+1=0,

则g(-1)=/(/(-】))=f(0)=0,故A正确；

对于B,令f(x)=小

则求g(x)=f(/(x))=2的根，

即求/(“)=2的根，

当“V。时，则有〃+1=2,无解；

当〃20时，-/+2〃=2,即J-2/2=0,

因为△=-4V0,

所以方程ir-2z/+2=0无解，

综上，方程/(〃)=2没有实艰，

所以g(x)=2没有实根，故B错误；

对于C,令14=于G),

则方程g(x)=-2,即/(加=-2,

得〃+1=-2,解得〃|=-3,

-ir+2u=-2,“20,解得物=1+6，

由方程/(x)=〃i，得x+l=-3(A<0)或-/+2x=-3(x>0),

解得x=-4或x=3,

易知方程/=心没有实数根，

所以方程g(x)=-2的所有根之和为-4+3=-1,故C正确；

对于。，当xVO时，g(x)=/(x+l),

则将函数/G)在(・8,1)的图象向左平移1个单位长度可得函数g(X)的图象,

当xVO时，函数g(x)的图象不在/(x)的图象的下方，故。正确.

故选:ACD.

【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合思想，考查了图象的平移，属于中档题.

(多选)9.已知函数/(x)=/-|3/-3|-机，则下列结论正确的有()

A.fCx)只有1个极小值点

B.y=f(.O在点(3,/(3))处的切线斜率为9

C.当/(工)有3个零点时，力的取值范围为(-3,1)

D.当/(x)只有1个零点时，〃，的取值范围为(-8,-3)U(1,+8)

【考点】由函数零点所在区间求解函数或参数.

【专•题】分类讨论；函数思想；方程思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；导数

的综合应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】BCD

【分析】讨论x的取值范围，通过求导分析函数的单调区间，可判断A,仅

把函数零点问题转化为g(x)=/・|3』・3|的图象与直线>，=加的交点个数问题，作出函数图象，数形

结合可判断C，D.

【解答】解：由3』-320,得工21或xW-1；

由3/-3V0,得-IVxVI,

当或-1时，

f(x)=x3-3AT+3-m,

则/(x)=3，・6x=3x(x・2),

所以当x>2或xW-1时，/(x)>0,

当时，/(A-)VO,

所以/(x)在(-8,-J],(2,+8)上单调递增，在“，2)上单调递减；

当-1VxVI时，/(x)=/+3,-3-m,

则/(x)=3X2+6X=3X(X+2),

所以当OVxVl时，/(x)>0,当・IVxVO时，/(x)VO,

所以/(x)在(0,1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减.

综上得，f(X)在K=0,工=2处取得极小值，

故/(x)有2个极小值点，故A错误；

因为/(3)=3X32-6X3=9,

所以曲线y=/(x)在点(3,f(3))处的切线斜率为9,故8正确；

由f(x)=0,得/-|37-3|=〃?，

函数/(X)的零点个数问题转化为函数月(x)=/-|37-3|的图象与直线)，=〃?的交点个数问题，

根据函数/CO单调性分析，作出函数g(x)=父的图象，如图所示，

图I图2

由图I可得，当函数g(x)=r-I3X2-3|的图象与直线y=〃?有3个交点时，m的取值范围为(-3,1),

故。正确；

由图2可得，当函数g(x)=/-|3』-3|的图象与直线有1个交点时，用的取值范围为(-8,

-3)U(I,+co),故。正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合，考查了导数的综合运用及分类讨论思想,

属于中档题.

三,填空题(共4小题)

10.定义m出{m,n]=m"，记/(x)=min\|.¥|-1».v2-ax+2a-3},若/(x)至少有3个零点，

ji,m>n

则实数a的取值范围为16,+8).

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】分类讨论；函数思想；方程思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑

思维；运算求解.

【答案】[6,+«>).

【分析】令g(x)=J?-ax+2a-3»先由题意得到或a26,再结合g(-I)和g(I)的符号分

类讨论得到结果.

【解答】解：函数)，=卜|1的图象与x轴有2个交点(1,0)和(1,0),

所以函数g(x)=/-⑪+2〃-3的图象和工轴至少有一个交点，

从而△=/-8〃+1220,

解得aW2或。26：

函数g(x)的图象的对称轴为直线％=今开口向上，

设方程g(X)=0的两根分别为XI，X2(X1WX2)，

当aV5时，g（-1）=3a-2<0,g（I）=«-2<0,

所以-1和1不是函数/（x）的零点，

此时函数/（X）只有2个零点，不符合题意：

g（-1）=3a-220,g⑴=。-2<0,

则1不是函数f（x）的零点，

函数/（x）只有2个零点，不符合题意；

则函数/（X）只有2个零点，不符合题意;

当。廿6时，函数g（X）图象的对称轴方程满足欠二冬23且g（1）>0,

所以1VX］〈X2,函数/（X）至少有3个零点，符合题意.

综上，实数a的取值范围是［6,+8）.

故答案为：［6,+8).

【点评】本题考杳了函数的零点、转化思想及分类讨论思想，考杳了方程思想及数形结合思想，属于中

档题.

II.若函数/(x)=』-x+a有两个零点，则实数a的取值范围是(一8,3.

【考点】函数零点的判定定理.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】(-8,-).

4

［分析］由题意知一元二次方程/-户4=0有两个不相等的实数根，利用根的判别式建立。的不等式，

解之即可得到本题的答案.

【解答】解：若/(X)=f-户4有两个零点，则方程/(1)=0有两个根，

所以关于A-的方程?-x+a=0有两个不相等的实数根，

可得A=l-4a>0,解得实数。的取值范围是(・8,；).

十4

故答案为：(-8,1).

4

【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根、一元二次方程根的判别式及其应用，属于基础题.

12.已知函数/'(%)=("+7'X-Q,若关于x的方程严(、)-V(x)+)=0有8个相异的实根，则实

(-27+4刈x>04

数4的取俏范围为(1,.

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】计算题：整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】(1,挈).

【分析】通过分析分段函数图像，利用换元法将方程转化为二次方程，结合二次方程根的分布条件求解

参数范围.

【解答】解：画出函数/(外的图像如下图所示，

当xWO时，/(x)=\x+2\,在％=-2处取得最小值0,

xW・2时单调递减，・2VxW0时单调递增；

当x>0时，/(x)=-2?+4x=-2(x-1)?+2在4=1处取得最大值2,

OVxVl时单调递增，£>1时单调递减，

1

1

-=O

令t=f(x),则方程f2(%)-bf(X)+4=0转化为严-bt+4

要使原方程有8个相异的实根，需产-尻+*=0有两个不同实根”，⑵

且每个/对应/（%）=，有4个解，

由/（x）的图像可知，，需在（0,2）内，因此产一加+[=0的两根均在（0,2）内,

设0（1）="一比+上♦需满足：

①判别式△=序-1>0=>/;>1或-1；

②对称轴0<2=>0<4：

③g⑵=4-2b+,>0=bV系

综上，实数〃的取值范围为（1,挈）.

【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题.

13.设aWR,已知关于x的方程-.r+1）2（x+a）2=/+3存在四个实数根且（明+1）（期+1）5+1）（冽+1）

=6（。+1）,则X]+X2+X3+X4=4.

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】4.

【分析】记力=即+1,将问题转化为已知关于t的方程Af-l+a）2=c』+3,H.力尬门由=6（〃+1）,求力+也+n+由

-4的值.然后利用韦达定理求解可得.

【解答】解：记片mH,

则问题转化为：已知关于，的方程尸（L1+。）2=/+3,且/|/2/3/4=6（4+1）,求“+/2+/3T4-4的值.

由z2（/-\+a）2=/+3,

得£(t-1+a)=±Va2+3,

t24-(a—l)t+vaz4-3=0或4-(a—l)t-va2+3=0,

不妨设前者的两根为力，⑵后者的两根为4,小

则由韦达定理得tiJ=7a2+3,0/4=-Va24-3,

所以/1⑵3/4=近2+3x(—Va2+3)=6(i/+l)>

即J+6a+9=0,

解得a=-3,

所以/I+/2+/3+/4-4=-2(4/-I)-4=4.

故答案为:4.

【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想及韦达定理的应用，属于中档题.

四.解答题(共2小题)

14.已知函数/(x)=/-(m+1)x+m+1.

(1)若关于x的方程/Cr)=0一根大于0,一根小于0,求实数〃?的取值范围；

(2)若关于x的方程/J)=0有两个大于-1的不等实根，求实数m的取值范围.

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想；转化思想：综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】(1)me(-8,-1).

(2)7716(―2>-1)U(3,+co).

【分析】(1)由韦达定可得两根之积m+lVO,求解即可;

(2)由△>0及韦达定理求解即可.

【解答】解：(1)由韦达定可得两根之积〃?+1<0,

解得m<-1,

故，淤(-8,-1).

(2)设两根分别为片，X2，

则有x\+x2=m+\,x\x2=m+\,且内>-1,X2>-1，

由题意可得△=(/n+l)(/n-3)>0,

且X1+I+X2+I=〃?+1+2>0,(xi+1)(JQ+1)=(m+1)+/M+1-1>0,

解得一5〈mV-1或〃>3,

3

u+

-，

2(3

【点评】本题考查了函数与方程思想、韦认定理的应用，属于基础题.

已知函数/(x)=loga(2+X)>g(x)=loga(2-X)(4>0,且4#1).

(1)求函数/(x)・g(X)的定义域；

(2)判断函数/(x)-g(X)的奇偶性，并说明理由；

(3)当。=4时，若h(x)=/(x)+g(x)有两个零点，求实数〃?的取值范围.

【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的奇偶性.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】(1)(-2,2)；

(2)奇函数，理由见解析；

(3)(-8,1).

【分析】(1)根据对数函数的定义域进行求解即可.

(2)根据函数的奇偶性的定义进行求解即可.

(3)首先通过化简求出力(X)的解析式，然后判断对数函数的单调性和值域，进而可求巴〃7的范围.

【解答]解(I)根据题意，函数/(x)=log«(2+x),g(x)=logr/(2-x),

则/(x)-g(x)=logr/(2+x)-log.(2-x)»

必有f+解可得-2<rV2,即函数/(x)-g(x)的定义域为(-2,2),

(2-x>0

(2)根据题意，函数/(x)-g(x)为奇函数，

理由如下：

/(%)-=找，其定义域为(-2,2),

又由/'(一％)-g(r)=loga矣=-[/(x)-g(x)],

所以/(x)-g(x)是奇函数.

(3)根据题意，当。=4时，々(x)=，og4(4—M)—m,其定义域为(-2,2).

对于y=，。%(4一M),其定义域为(-2,2).

2

且log4(4-7)=log4[4-(-x)]f即函数y=，。。4(4一％2)为偶函数，

令f=4-/,易得f=4-7在(-2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，所以0V4-/W4.

而y=logM是单调递增的，所以函数y=/。弘(4一/)在(-2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递

减.

故y=/。。4(4一/)£(一口，1].

要使h(X)有两个零点,即，004(1-X2)=m有两个解,

所以小VI,所以实数，〃的取值范围是（・8,1）.

【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及函数奇偶性的性质，属于基础题.

考点卡片

1.必要不充分条件的判断

【知识点的认识】

必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件尸必然成立，但条件户成立时，条件Q不一定成立.用符

号表示为但P#。.这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件

不能完全保证结果成立.

【解题方法点拨】

要判断一个条件是否为必要不充分条件，可以先验证Q=P,然后找反例验证尸成立但。不成立.举反例

是关键步骤，找到一个尸成立但Q不成立的例子即可证明尸不是。的充分条件.例如，通过几何图形性

质验证某些必要不充分条件.

【命题方向】

必要不充分条件的命题方向包括几何图形的判定条件、代数性质等.

已知戈WR,设p：/-xVO,则〃的一个必要不充分条件是（）

A.-l<x<0

<x<l

C.—2V%V,

D.0<x<l

解：因为7-xV0,

所以OVxVl,

所以〃的一个必要不充分条件是-*<x<l.

故选:B.

2.求全称量词命题的否定

【知识点的认识】

一股地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题P：\/xEM,p（X）它的否命题rp：->/?（XO）.

【解题方法点拨】

写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）

将结论否定，比如将“〉”改为“W”.值得注意的是，全称命题的否定的特称命题.

【命题方向】

全称量词命题否定的求解在代数前几何中广泛存在.例如，代数中关于实数性质的全称命题的否定，几何

中关于图形性质的全称命题的否定等.这类题型要求学生能够灵活运用逻辑思维进行否定命题的改写和判

断.

写出命题“VxEZ,REN”的否定：.

解：因为特称命题的否定为全称命题，

所以命题"VxeZ,MEN"的否定是0口,忖视”,

故答案为:B.vez,WN.

3.简单函数的值域

【知识点的认识】函数值的集合|/（x）k€A｝叫做函数的值域.A是函数的定义域.

【解题方法点拨】

（I）求函数的值域

此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法

等.

无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域.

（2）函数的综合性题目

此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目.

此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和粽合分析能力以及较强的运算能力.

在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.

（3）运用函数的值域解决实际叵题

此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决.此类题要求考生具有较强的分析

能力和数学建模能力.

【命题方向】常见的题目包括求一次函数、二次函数、分式函数、含绝对值函数、根式函数的值域,，以及

结合实际应用题求值域.

若x>0,函数y=%+穹的值域为.

解：因为x>0,则丫=%+个223^=10,

当且仅当％=§,即x=5时，等号成立，

所以函数、=%+乌的值域为［10,+8）.

故答案为：［10,+8).

4.函数的奇偶性

【知识点的认识】

①如果函数/(工)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x,都有/(-x)=-f(x),那么函

数f(x)就叫做奇函数，其图象特点是关于(0,0)对称.②如果函数/(x)的定义域关于原点对称，且

定义域内任意一个片都有f(r)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数，其图象特点是关于)，轴对称.

【解题方法点拨】

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用/(0)=0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用/(x)=-/(-外解相关参数：

③偶函数：在定义域内一般是用/(x)=/(-x)这个去求解：

④时丁奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反.

例题：函数y=x|x|+px,xER是()

A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶D.与〃有关

解：由题设知/(x)的定义域为R,关于原点对称.

因为/(-X)=-x\-x|-px=-x\x\-px=-f(x),

所以/(x)是奇函数.

故选艮

【命题方向】

函数奇偶性的应用.

本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确

率.

5.函数零点的判定定理

【知识点的认识】

I、函数零点存在性定理；

一般地，如果函数y=/(x)在区间［a,加上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/(〃)・/")<0,那么

函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在任(a,〃)，使得/(c)=0,这个c也就是/(x)=0

的根.

特别提醒：

(I)根据该定理，能确定/(x)在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一.

(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(小

b)上没有零点，例如，函数/(i)=7-3卢2有/(0)・/(3)>0,但函数/(x)在区间(0.3)上有两

个零点.

(3)若/(工)在［小句上的图象是连续不断的，且是单调函数，/(a).f(b)<0,则/(x)在(小〃)

上有唯一的零点.

【解题方法点拨】

函数零点个数的判断方法：

(I)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)，=/(%)的图象联系起来，并利用函数的性

质找出零点.

特别提醒：

①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-Zv+l=0在［0,2］上有

两个等根，而函数f(x)-2/1在［0,2］上只有一个零点；

②函数的零点是实数而不是数轴上的点.

(2)代数法：求方程/(x)=0的实数根.

6.判定函数零点的存在性

【知识点的认识】

1、函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=/Cr)在区间［m切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/(〃)・/")<0,那么

函数y=/'(x)在区间(。，b)区有零点，即存在cf(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是/(x)=0

的根.

特别提醒：

(1)根据该定理，能确定/(x)在(。，〃)内有零点，但零点不一定唯一.

(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(小

b)上没有零点，例如，函数=『-3A2有/(0)・/(3)>0,但函数/(x)在区间(0.3)上有两

个零点.

(3)若f(x)在［①上的图象是连续不断的，且是单调函数，/(«).f(b)V0,则/(x)在(a,b)

上有唯一的零点.

【解题方法点拨】

函数零点个数的判断方法：

(I)几何法：刈于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)，的图象联系起来，并利用函数的性

质找出零点.

特别提醒：

①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程?-2v+l=0在［0,2］上有

两个等根，而函数,f(x)=f-2"1在［0,2］上只有一个零点；

②函数的零点是实数而不是数轴上的点.

(2)代数法：求方程/(X)=0的实数根.

函数/(x)=2?-4犬+1在区间［-2,2］上是否存在零点？若存在，有儿个零点？

解：由f(x)=2x3-4x+l,得，(A)=6?-4=2(3?-2),

・••当比(-2,一字)U(y,2)时，/(x)>0,

当xW(—4，—)时,f(x)<0,

33

.V(x)的单调增区间为(・2,-绑，(当，2),

单调减区间为(一第，粤)，

33

又/•(-2)=-7<0,/(一坐)=等+1>0,/(y)=一萼+1<0,/(2)=9>0,

，函数f(x)=2?-©+1在区间［-2,2］上存在3个零点.

7.由函数零点所在区间求解函数或参数

【知识点的认识】

1、函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=/(x)在区间口，加上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/(〃)・/")<0,那么

函数y=/(x)在区间(a,b)自有零点，即存在(小〃)，使得/(c)=。，这个c也就是/(x)=0

的根.

特别提醒：

(1)根据该定理，能确定/(x)在(。，b)内有零点，但零点不一定唯一.

(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(。,

b)上没有零点，例如，函数f(I)=f-3x+2有/(0)・f(3)>0,但函数/(x)在区间(0,3)上有两

个零点.

(3)若/(x)在［小句上的图象是连续不断的，且是单调函数，/(a),/(b)<0,则/(外在(小b)

上有唯一的零点.

【辩题方法点拨】

函数零点个数的判断方法：

(I)几何法：对于不能用求根公式的方程，可•以将它与函数)，=f(X)的图象联系起来，并利用函数的性

质找出零点.

特别提醒：

①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一•谈，如方程x2-2x+l=0在［0,2］上有

两个等根，而函数/(X)=7-2"1在［0,2］上只有一个零点；

②函数的零点是实数而不是数轴上的点.

(