2025-2026学年高二数学上学期第三次月考数学卷（人教A版）（试卷及解析）

2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，港答案写在答卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.考试范围：人教A版2019（选修1到选修2数列）

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知点厂是抛物线C:/=8x的焦点，若抛物线C上的点A到F的距离为4,则点A到V轴的距离为（）

A.2B.3C.4D.5

2.已知向量4=（1,0,1）,8=（120）,且g+人与九一力垂直，则氏的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.在等差数列｛《,｝中，已知%=13,4+%+为+%=28,则｛《,｝的公差”为（）

A.3B.4C.5D.6

2〃-为奇数n,

4.在数列｛〃“｝中，若2f为偶数,则…=（)

A.17B.23C.25D.41

5.已知直线/i：x+y+C=0与直线及：Ar+By+C=0交于（1,1）,则原点到直线拉距离的最大值为（）

cW

A.2B.V22D.I

6.已知函数/(x)=ar2+x-3,且％£p,+oo),芭土々时,都有〃内）-/（王）<2恒成立,则〃的取值范

与一工2

围为（）

11

A.—00,—B.—00,—C.(-0)D.(-oo,0]

4

222

7.已知由椭圆叱…）与椭圆G：八十1的交点连线可构成矩形"8（点A，“在，轴

下方），且8C=3C£>,则为最小值为（）

A.25/2

最小值为（）

A.V2—>/3B.2—y/3C.2-V5D.2V2-75

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知两个平面相互垂直，则下列命题正确的是（）

A.一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线

B.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线

C.一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面

D.过一个平面内任意一点在此平面内作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面

10.下列结论正确的是（）

A.《：/+（勿-1）y+%-3=0,1:ax+3y+a2+4=0,若1川,则a=-l或〃=一

222

B.d=（l,-l）是直线x+y—3=0的一个方向向量

C.直线x+y-l=（）与直线2x+2y+\=。之间的距离是尤

D.与点4（-1,2）的距离为1,且与点8（3,-1）的距离为4的直线共有3条

11.抛物线V=4.r的焦点为立过户的直线交抛物线于4,B,以下说法正确的有（）

A.以A”为直径的圆与y轴相切

B.以八4为直径的圆与抛物线的准线相离

C.若点。为抛物线准线与x轴交点，则一定有=

D.过线段/W的中点”作y轴的垂线，交抛物线于点P,交抛物线的准线于点M则归M|=|PN|

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知圆d-Jnd和圆G：*2*y2-2.什2y=0,则两圆公共弦所在直线的方程为.

13.人数A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，设P（x,y,z）

是平面。内的任意一点，若平面。经过点与（如%,%）,且以，，二（〃也比而”0）为法向量，则由=

可得。（X一/）+豌），-为）+42-4）=0,此即为平面的点法式方程.利用上面给出的材料，解决下面的问题：

已知平面。的方程为2x+2y+z-7=0,直线/的方向向量为2）,则直线/与平面。所成角的正弦值

为•

14.已知函数y=g（2x+l）-2是R上奇函数，若数列｛4｝的项满足：

6=g（W）+g（高）+g[Sj|+…+g（2（〃eN）.则数列｛4｝的通项公式为：，"=.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、注明过程或演算步骤.

15.（13分）己知圆+（y-〃1=3的圆心在直线y=6r+l上.

（1）若圆C与），轴相切，求圆。的方程；

⑵当4=0时，问在），轴上是否存在两点A㈤使得对于圆C上的任意一点P,都有四|=向盟，若有,

试求出点A,4的坐标，若不存在，请说明理由.

16.（15分）如图，在三棱台。Q—A3C中，AB=2DE,G、"分别为AC、4c的中点.

⑴求证：8。//平面产GH；

（2）若B_L平面ABC,VABC为等腰直角三角形，AB±BC,CF=DEt求平面EFG与平面广GH所成的

锐二面角的人小.

17.（15分）已知以F（2,0）为焦点的抛物线C的顶点为原点，点P是抛物线C的准线上任意一点，过点户作

抛物线C的两条切线出、PB,其中A、3为切点，设直线山、P8的斜率分别是占和心.

（1）求抛物线。的标准方程及其准线方程.（2）求证：匕・网为定值.（3）求证：直线过定点，并求出该定点.

18.（17分）已知数列｛q｝的前〃项和为S”，4=2且ST=2S“+2（〃WN）

⑴求数列也｝的通项公式；

（2）设"=（2«+1）4,记数列也｝的前〃项和为小若对任意的〃eN,-2）43”恒成立,求义的取值范

围.

19.(17分)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为卜26,0),离心率右.

(1)求双曲线C的方程；

(2)记双曲线C的右顶点为A,过点A作直线与。的左支分别交于M,N两点，且

。为垂足.

(i)证明：直线"N恒过定点P,并求出点尸坐标；

(ii)判断是否存在定点。，使得|。@为定值，若存在说明理由并求出。点坐标.

2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷

数学逢解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，港答案写在答卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.考试范围：人教A版2019（选修1到选修2数列）

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知点F是抛物线C:/=8.r的焦点，若抛物线C上的点A到F的距离为4,则点A到V轴的距离为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【详解】设4天,为），因为点A到户的距离为4,则|4目=%+《=玉+<=%+2=4,得到々=2,

22

故选：A.

2.已知向量。b=（l,2,0）,且妨+〃与2a-Z?垂宜，则4的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【详解】因。二（1,0,1）,〃=（l,2,o）,则总+8=（%+1,2次）,加一〃二（1,一2,2）,

因%+〃与24垂直，则（版+力）・（2。一力）=4+1-4+2k=3&-3=0，得A=l.

故选：C

3.在等差数列｛4｝中，已知〜=13,归+%+4+t=28,则｛勺｝的公差"为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【详解】由生+%+“9+%6=28,可得2%+2佝=28,所以％+%=14,

所以2%=14,所以仆=7,乂4c=13,所以％,-4=13-7=6,

所以射=6,解得"=3.

故选:A.

2〃-1,/?为奇数

4.在数列｛q｝中,则4+4=（)

2"%为偶数

A.17B.23C.25D.41

【答案】D

【详解】氏=2x5—1=9,

故%14—41.

故选：D

5.已知直线八：x+y+C=O与直线/2：Ax+8.y+C=0交于（1,1）,则原点到直线/2距离的最大值为（）

A.2B.V2C.—D.1

2

【答案】B

【详解】：将（1,1）代入宜线人的方程可得1+1+C=O,解得C=-2,

所以/2的方程为：A+B-2=0,可得A=2-5,

原点到直线12的距离d=।2=2=2

J/l2+F2j（2-F）2+F2\12B2_4B+4j2（F-l）2+2

当B=1时，dniax=~r=—V2.

故选：B.

6.已知函数〃耳=奴2+工一3,且T%，w£[2,”）3工£时，都有,/（、）—/（.“）＜2恒成立,则。的取值范

X一马

围为（）

-8,（c.（f0）D.（-00,0]

【答案】D

【详解】对,/《2,+8）小工天时，都有，（周）一/仇）＜2恒成立.

%一电

不妨设为〈巧，则/（%）-2¥1＞/（王）一29.

设函数g（x）=/（x）-2工=加一尤-3,则%,%w[2,+a））且不〈冬,即

则函数g（x）在[2,内）上单调递减.

（1）当。=0时,g（x）=r-3在[2,*o）上单调递减,符合题意.

（2）当。＞。时，函数g（x）在上单调递增，不合题意舍去.

（3）当avO时，若使函数8（1）在[2,+8）上单调递减，只需4K2,「.avO.

综上所述，«<o.

故选:D

222

7.已知由椭圆C：二十二=1（。>6>1）与椭圆。,：/+3=1的交点连线可构成矩形人88（点A,8在工轴

er"cr

2

下方），月.3C=3CD,则从+二的最小值为（）

cr

3511

A.2>/2B.-C.-D.—

244

【答案】D

【详解】根据对称性及BC=3CO可得直线AC的方程为J=3.J

由「+与=l=,d+与，可得21="（""）=9'Mb2=%/

2

『旷a-fa2_bi>a+8

所以〃2,2_9a2,2_9/2+]]

a2/+8a2c/+8a24

U2+8a244

0

当且仅当9a2”9了即/=-时等号成立.

a~，+8。二a~25

故选:D

A|7

8.已知A（x，y）、8（占,为）为圆c：/+）‘=1不同两点,且满足OA-OB=1,则：+：一斗+卜2+j-2|的

2V272

最小值为（）

A.\/2—>/3B.2—>/3C.2—>/5D.20-0

【答案】D

【详解】因为A（M，yJ、8（毛,%）在圆V+尸=1上，OA.OB=；

।OAOB

所以x：+y；=l,石+£=1,V2+y,y2=p且cos/AO8=必"一+）；%

因为OKNAW,则=因为|Q4|=|O8|=1,则VA08是边长为1的等边三角形,

表不A、R到直线人十）=2=0的距离之和,

原点O到直线X+）」2=O的距离为1=五=拒

如图所示：AC±CD,BDA.CD,石是48的中点，作于/，且OE_LA8,

阳+|m=2|研，|OE|LTM=H日,

故E在圆/+）尸=[E,IEF\.=d--42-.

4IImm22

故kyl+且君二3的最小值为2|石尸|*=2五—6.故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知两个平面相互垂直，则下列命题正确的是（）

A.一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线

B.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线

C.一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面

D.过一个平面内任意一点在此平面内作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面

【答案】BD

【详解】对于A：当一个平面内的一条直线平行于两个平面的交线时不满足条件，故A错误：

对于B：两个平面垂直则一个平面内的•条直线必垂直于另外一•个平面内的无数条直线，故B正确：

对于C：在其中一个平面内可以找到一条直线平行于另一个平面，如与交线平行的直线即可，故C错误；

对于D：过一个平面内任意一点在此平面内作交线的垂线，由面面垂直的性质定理可知，此垂线必垂直于

另一个平面，故D正确.

故选:BD.

10.下列结论正确的是（）

3

2

A.4：x+（2a-l）y+2a—3=0,l2:ax+?>y+a=Q,若///峭则°=一1或〃=耳

B.。=（1,-1）是直线x+）」3=0的一个方向向量

C.直线1+k1=。与直线21+2y+l=O之间的距离是世

D.与点A（-l,2）的距离为1,且与点8（3,-1）的距离为4的直线共有3条

【答案】BD

【详解】A：若"4，显然awo,则，=网」工竺?，可得4=?,故A错误；

a3a*+42

B：x+>-3=0的斜率为-1,显然。是直线的一个方向向量，故B正确；

C：由2x+2y+l=0即x+y+J=O,与x+）=1=（）的距离为灸1=逑，故C错误；

『4

D：由j|=J（3+l）2+（-]_2]=5,以AB为圆心，半径分别为1,4的两个圆外切，

所以，只需判断两圆公切线的条数即可，显然一共有3条，故D正确.

故选：BD

11.抛物线）『=4x的焦点为P,过”的直线交抛物线于A,B,以下说法正确的有（）

A.以A尸为直径的圆与），轴相切

B.以A8为直径的圆与抛物线的准线相离

C.若点。为抛物线准线与工轴交点，则一定有43=9*

D.过线段A8的中点M作），轴的垂线，交抛物线于点P,交抛物线的准线于点N,则|PM|=|PN|

【答案】ACD

【详解】对于A,设点A在y轴上的投影为4,在准线上的投影为4，。为坐标原点，|AF|=a,

则|。月=植阕=1,|M|=|AF|=〃，因为以人尸为直径的圆的半径为?

越的中点至”轴的距离为M士"L她皿=四=回，，

22222

故以4,为直径的圆与丁轴相切，故A1E确；

对于B,设点4在准线上的投影为修，伊”|=。，则忸娟=。，

所以线段AB的中点到准线的距质为四十网=—=：制+」户1=四，

2222

所以以线段48为直径的圆与准线/相切，故B错误；

对于C,点。为抛物线准线与工轴交点，所以§,o],

若直线A4的斜率为0,则直线A8与抛物线有且只有一个交点，矛盾,

故可设直线AB方程为x=wv+1,

联立｛7:,消去工，得9—4机)，一4=0,

[y=4x

方程丁-4/«y-4=0的判别式△=16(/«2+1)>0

所以y+必=4，〃，y%=-4,

司必+工乂+()1+%)_(加)1+1)%+(〃%+i)y+(y+乃)

勤+%=含+^T

(x,+l)(x?+l)5m+i+i)(m)，?+i+i)

2my,y-,+2（y,+y2）八

二2J。,所以尸=N8OF，故C正确;

，/），防+二2川（/）1+必二）+4

对于D,设线段A4的中点MG。,％）,

2

由C选项的解析可得比=，产=2小,%=my0+1=2m+1,

所以M（2〃P+12〃），尸（以2,2m）,N（-l,2m）,

所以归M=M+I=|PN）,故D正确：

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知圆G：/+,，2=4和圆。2工+./-2、+2），=0,则两圆公共弦所在直线的方程为.

【答案】x-y-2-O

【详解】圆和：/+卡=4的圆心G（0,0）,半径a=2,圆6：（1-1）2+（），+1）2=2的圆心6（-1，1），半径£=上，

显然ICG|=Cw（2-©2+五），因此圆GC相交，

所以两圆公共弦所在直线的方程为4-2x+2y=0,即x-y-2=0.

故答案为：x-y-2=0

13.人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，设P（x,y,z）

是平面a内的任意一点，若平面。经过点耳(%,为，4)，且以〃=(4b,c)(而"0)为法向量，则由〃£P=0,

可得。(4-而)+跳y-%)+c(z-i)=O,此即为平面的点法式方程.利用上面给出的材料，解决下面的问题:

已知平面a的方程为2x+2y+z-7=0,直线/的方向向量为(1.2,-2),则直线/与平面a所成角的正弦值

为.

【答案】24

【详解】囚为平面a的方程为2x十2)，十z-7=O,

所以平面。的一个法向量为〃?=(2,2,1),直线/的方向向量为〃=(1,2,-2),

设直线/与平面a所成角为6,则sin^Tcos，"〃|=除^=*=，

故答案为：!4

14.已知函数)，=仪2工+1)-2是R上奇函数，若数列｛4｝的项满足：

"”=^0+2(高)+g(W卜…十&(得)(〃eN*),则数列｛〃”｝的通项公式为：4=.

【答案】4=4〃+2

【详解】因为函数)=以21+1)-2是R上奇函数，所以g(—2x+l)—2=-[g(2x+l)—2]

=>g(2x+l)+^(-2x+l)=4,,

所以…(止3，2〃+r

+g++g

n+1<〃+i>

即2atl=4(2〃+1)=>%=4〃+2.

故答案为：a“=4〃+2.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知圆C:(x-a)2+(y-=3的圆心在直线y=Vir+l上.

(I)若圆。与)，轴相切，求圆C的方程；

(II)当。=0时，问在)，轴上是否存在两点八，8,使得对于圆C上的任意一点P,都有|F=G|PB|,若

有，试求出点A,4的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】(【)(x—0)'+(y-4)2=3,或(x+gy+(y+2『=3;(II)存在两点A(0,-2)、B(0,0),

或A(0,4)、B(0,2).

【详解】⑴:•圆C:(x-a)2+G-b)2=3的圆心(a,b)在直线y=&+l上,

/.b=x/3a+l,•・•圆C与y轴相切,・,・同=5

a=5/3a=—y/3

力=4[b=-2

故所求圆C的方程(x-6Y+(y-4『=3,或(x+GY+(y+2)，=3,

(IDVa=0,b=V3a+1=I,

・•・圆的方程为x2+(y-l>=3,.,.x2+y2=2y+2,

假设在y轴上存在两点A(0,yJ,B(0,y2),使得对于圆C上的任意一点P,都有|PA|=75|PB|,设P(x,y),

2222

则由|PA|=G|PB|得x+(y-y,)=3[x+(y-y2),

2222

.・・x+y-2y,y+y?=3(x+y-2y2y+y；),

2y+2-2y,y+yf=3(2y+2-2y2y+y^),

2-2y,=3(2-2y2)

依题意此方程对y恒成立，故

2+y：=3(2+y；厂

y.=-2%=4

解得八或

丫2=0y2=2'

故在y轴上存在两点A(0,-2)、B(0,0),或A(0,4)、B(0,2),使得对于圆C上的任意一点

P，都有|PA|=J5|PB|.

16.(15分)如图，在三棱台。中，AB=2DE,G、H分别为AC、3C的中点.

(1)求证：8D//平面FGH；

(2)若■平面ABC,V八8C为等腰直角三角形，AB±BC,CF=DE,求平面与平面广G”所成的

锐二面角的大小.

【答案】⑴证明过程见详解；（2冷

ACAR

【详解】（I）在三棱台/汨尸一A8C中，AC//DF,7DEF:NABC,所以——=—=2,

DFDE

因为G为AC的中点，所以AG//Z）尸且AG=。尸，

所以四边形46口>为平行四边形，所以A£）//Gb,

因为Gba平面A8OE,AE>u平面A8DE，所以G尸//平面A8DE，

乂G.〃分别为AC.AC的中点，所以GH//43.

因为G”0平面八B/犯，八Bu平面A8OE,所以G4〃平面人用见，

因为GHc尸G=G,所以平面尸G“〃平面A8Z无，

乂3Z）u平面A8DE,所以3Z）//平面RG”.

（2）因为CF_L平面八3C,VA3C为等腰直角三角形，ABJ.BC,

故以C为原点，以8为X轴，以。尸为z轴，过点C作垂直于CA的射线为V轴，建立空间直角坐标系,

设B=DE=1,贝ljAB=2,平面EFG与平面FG”所成的锐二面角为0,

则8（2,0,0）,C（0,0,0）,尸（0,0,1）,G（1-1,0）,7/（1,0,0）,

所以C8=（2,0,0）,FE=；C3=（l,0,0）,FG=（1,-1,-1）,G〃=（0,l,0）,

设平面EFG的法向量为仆=&，N，zJ,平面尸G”的法向量为々=（~，K，Z2），

/?）-FE=0丫一0

则即1一八，解得4=（04,—1）,

nt•FG-0

3=°,即％=°

0解得均=（1,。/），

几•产G=0[x2-y2-z2=O

所以平面EFG与平面FGH所成的锐二面角余弦值为

2辰〈"同卜端，4

n7T

又9£0,-,所以平面E"G与平面bG”所成的锐二面角为

17.（15分）已知以「（2,0）为焦点的抛物线C的顶点为原点，点0是抛物线C的准线上任意一点，过点尸

作抛物线。的两条切线Q4、PB,其中A、B为切点,设直线Q4、9的斜率分别是勺和与.

⑴求抛物线C的标准方程及其准线方程.（2）求证：用为定值.（3）求证：直线44过定点，并求出该定点.

【答案】⑴标准方程为V=8%,准线方程为x=-2；（2）证明见解析；（3）证明见解析，尸（2,0）.

【详解】（1）由题意知抛物线C的标送方程为）-=2px（p>0）且5=2,

・•・p=4,抛物线C的标准方程为丁=8.v,准线方程为x=-2；

（2）设点。的坐标为（—2,f）,reR,

由题意，过点P与抛物线。相切的直线的斜率存在且不为0，

设切线的斜率为k,则切线的方程为y-t=k（x+2）,

联立方程组|y~fX，八,消夫方得⑪2-8y+8r+16—=0.

=A（x+2）

・・・A=（-8）2-44（8f+16幻=0得2产+戊-2=0（*）,

又占、自为方程（*）的两根，由韦达定理得4?&-1为定值；

（3）由题知，直线A8的斜率不为0,

设直线A4的方程为'=，犯+〃，A（xp>',）,/（々，必），

y2—以

~，整理得y2—8〃?），—8〃=0,△=64〃?2+32〃〉（），

{x=my+n

:.乂+力=8〃?，凹），2=-8〃，

V1=7,

・・・格=组”一，

X+2x2+2

整理得+空+2+(y1-/)(y2-0=0.

代入有tr+16/n2+C—4n-8mt+4=0,

.二(〃—2)〜+(/-4"?)~=09

1•〃=2且，=4m,

AAI3-.x=^-y+2,故直线A8过定点F（2,0）.

4

18.（17分）已知数列｛%｝的前项和为S”，"=2且"=2S,+2（〃wN）

⑴求数列｛《,｝的通项公式；

⑵设勾=（2〃+1”“，记数列何｝的前〃项和为小若对任意的〃三N二〃北-2）=3”恒成立,求工的取值范

围.

【答案】（l）%=2"（〃eN）⑵卜8,意

【详解】（I）当〃=1时，52=25,4-2,凡=4=2,解得生=4,

当〃之2时，由S如=2S“+2,可得S,t=2S,-+2,相减可得可“=2%,对〃=1也成立，

由此可得数列｛4｝是首项为2,公比为2的等比数列，所以为=%•矿t=2"（〃£N'）,

所以，数列｛q｝的通项公式为

,,

（2）bn=（2n+\）an=（2/?+1）-2,

则7>3-21+5・22+7"+…+（2〃-l）-2"T+（2〃+l）-2”

234,M+,

27；I=3.2+5-2+7-2+...+（2«-1）-2'+（2/?+1）-2

两式相减可得：

一；7=3・2+2.22+2.23+...+2.2"-（2〃+1）.2"“，

整理可得雹=（2”1）-2田+20?£1<）,

若对任意的〃cN'，4（十一2）«3"恒成立，即为22/：；恒成立，

（2n-l）2（4〃-2）\2）

设c”=而与（｛I,则U=±IG）'当旧"时,即〃得时,所以当〃时，…,

33

所以当〃=I时.G=—.当〃=2时.c=—.

428

2721

当〃=3时，c=—,当〃=4时，c,

3oU4乙乙Q

可以看出C”在〃=3处取得最小值，所以从〃=3后才开始递增，即当〃=1,2,3时，">%>%，

27

当〃23时，c“>%>>c4>q，所以之工而，

（27-

所以2的取值范围为-8