2025-2026学年高二数学上学期第一次月考03（人教A版选择性必修第一册：空间向量与立体几何 直线）解析版

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷

(考试时间：120分钟，分值：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版(2019)选修第一册第一-2章空间向量与立体几何+直线方程。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

I.在空间直角坐标系中，8(-123)关于八■轴的对称点为点"，若点关于Oxz平面的对称点为点C,

则|叫=()

A.72B.x/6C.V14D.同

【答案】B

【分析】写出8关于4轴的对称点点C关于Oxz平面的对称点C,再计算忸的值.

【详解】空间直角坐标系中，巩-1,2,3)关于工轴的对称点为方(-1,-2,-3),

点C(1』,-2)关于Qxz平面的对称点为点C(l,-L-2),

222

所以=5/(1+1)+(-1+2)+(-2+3)=瓜.

故选:B.

2.若直线乙：x+/ly+8=0与直线小(4—2)x+3y+32=0平行，则2=()

A.-1B.-1或3C.yD.3

【答案】B

【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求义的值即可.

【详解】因为两直线平行，所以：

lx3-A(/l-2)=0%=T或尤=3

,lx32-8(2-2)^0=></l^y'

所以4=—1或2=3.

故选：B

3.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，H

知四棱锥Q—A68是阳马，24,平面A3c。，且=若丽=屑而=瓦/=3则瓶=（）

B.上

444

31-331-3

C.-a--b--CD.--a+-b+-e

444444

【答案】D

【分析】根据向量线性运算原则求解即可.

【详解】由题意，PE=-PC=^|AC-AP)=^AC-^AP=^(AB+AD)-^AP=^«+^-^c,

PB=AB-AP=a-c^

___11-I,、31-3

则B£=P£-PB=—1+一方一一c-(d-c)=--a+-b+-c,

444'7444

故选：D.

4.直线）经过点（1,8）,在两坐标轴上的截距互为相反数，则攵的所有可能取值之和为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】由直线丁=丘+力经过点（1,8）得&+〃=8,然后计算直线在两坐标轴上的截距，然后根据截距相反

列式计算即可.

【详解】由题意，因为直线尸质+6经过点（1,8）,所以左+匕=8,则直线严履+8-仙

当％=（）时，直线y=8在工轴上不存在截距，不满足题意：

Q

所以女工0,令x=0,则y=8-A,令y=o,则％=［一工.

Q

由题意8—攵+1—7=。，化简得X—9攵+8=0,解得％=1或〃=8,

k

故k的所有可能取值之和为1+8=9.

故选：C.

5.已知两点A（3,0）,3（0,4）,动点P（x,y）在线段AB上运动，则外的最大值为（）

A.工B•詈

C.3D.4

5

【答案】C

【分析】先写出直线A8的方程；再利用基本不等式即可求解.

【详解】由A(3,0),8(0,4)可得：kAB=^=~

0-33

4

则直线A8的方程为：y-4=-^（x-0）,即4x+3），=12.

又因为动点?（乂），）在线段AB上运动,

所以x>0,y>0,

则12=4x+3”2机.3y=4历,当且仅当4x=3y,^x=~,），=2时等号成立，

所以孙43.个最大值为3.

故选:C.

6.PA,PB,PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为6（）。，A，B、,G分别是射线小，PB,

PC上的点，且尸A=2,PBi，PC,=3,D,E,尸分别为尸4，a用，4G的中点，则点E到直线。尸的

距离为（）.

A岳R721「底「屈

3366

【答案】C

【分析】利用叫，朋，房表示出屈与苏，由点E到直线。尸的距离为同《in（而,西可计算得到

答案

【详解】

如图所示，”为A片的中点，则赤=g福=3（七—%）,

而=而一砺二一;再一;西一网'）=；国一函一网，又理=一：七,

FE・FD=--Pq-(^A--PCi)="4-PC「PB[.PCrPC1

=--1\2x3x--4x3x--32|=3

422

酢I，

同=；x"可一函一七『=3小宿+国2+吃-2%西-2囤骂+2国西

222

=-xA/24-4+3-2x2x4xl-2x2x3xl+2x4x3xl=—

2V2222

CW成赤"商号二小二华

sin例，丽)=等

2X2

点E到直线拉尸的距离为同|.sin'M，所卜器.

故选：C

7.在等腰直角VAAC中，AA=AC=3,点P是边八8上异于端点的一点，光线从点P出发经BC,。边反

射后又回到点P,若光线QR经过VABC的重心，则APQR的周长等于()

C.3>/2D.45/2

【答案】A

【分析】建立如图所示的直角坐标系,得8(3,0),以0,3),设尸(凡0),求出产关于直线8C的对称点片的坐标,

产关于y轴的对称点鸟的坐标，由反射性质得不。.用巴四点共线，求得直线QR方程，由G在在线QR上可

求得距然后计算山间即可.

【详解】

建立如图所求的直角坐标系，得6(3,0),C(0,3),

则直线8c方程为x+y=3,

且VA8C的重心为G(上!产，上学2),即G(l,l),

设P(a,0),尸关于直线8。的对称点为小x,y),

a+x+』3

22x=3

则A解得则6(3.3"

y-0y=3-a

(-D=-l

x-a

易知产关于y轴的对称点为6（-。,0）,

根据光线反射原理知片,。,凡巴四点共线,且|叫=|塔2|,I网=|乎?I，

所以直线QR的方程为y=曰Y[x-(-a)]f即丁=F(X+。)，

3-(-«)3+a

又直线QR过G(l,l),

所以l=F(l+a),解得。=1或a=0(舍去)，

3+。

所以P(LO),4(3,2),/>(1,0),

所以|4号|=J(3+l)2+(2-0)2=25

所以“QA的周长为+|河=山0+血/?|+|我用=|《国=2后.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用对称性，把△尸QR的三边转化到同一条直线上，利用直线方程

求得点P的坐标.

8.如图，在直三棱柱ABC—AH©中，AC±ABtAC=A4=CG=1,E是线段43的中点，在。内

有一动点。（包括边界），则网-国的最小值是（）.

A底2底「底733

A・----n15.-------L•-----nU.------

2363

【答案】C

【分析】建立适当的空间直角坐标系Gyz,因为AE位于AA/C的同侧，设A关于平面A8C的时称点为

A'（x,），,z）,根据|苏卜|南卜|珂+|因'西求解.

【详解】以C为原点，C4所在直线为％轴，过点C且平行于A8的直线为了轴，CG所在直线为z轴，建立

如图所示的空间宜角坐标系Gyz,

则A(l,o,l),C(0,0,0),A(1,O,O),

所以屈=(l/,0),C4；=(1,0,1),M=(0,0,1).

设A关于平面A/C的对称点为w(x,y,z),N>0,

则瓶=(1一可=

CB•力=石+y=0

设平面A8。的法向后”=(%,y,ZI),则

CAj•”=X]+Z]=0

令%=1,则y=T,4二一1,所以讨=(1,-1,一1),

万L61A/%LH+)，+W

所以八与A到平面ABC的距离4=

\n\~~~|«|~73-

即卜x+y+z|=l①.

又就〃五，所以?={•=5，即x-i=—y=-z②.

1—1-1

1OO

由①②得|3z-l|=1,由z>0可得x=Q,y=-,z=-,

所以呜fl月?，

所以国+阀=|两+附曰西_叵,

~6~,

当且仅当川，P,E三点共线时取等号,

所以网+冏的最小值为底

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.若两直线44的倾斜角分别为%，%，斜率分别是K&，则下列命题正确的是（）

A.若仁=&，则因=%B.若k1<k?,则%<%

C.若％<%，则4〈&2D.若&2<0<4，则必<9（）°<%

【答案】AD

【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误.

【详解】A：由仁=网表明斜率存在，则tan«=tana2，

由正切函数在[0。,90。）590。/80。）上，倾斜角和斜率一对应，故%=%，对：

B：若匕=-1,芍=1时,相应的倾斜角四=135。,a2=45°,不满足四<%，错;

C：由正切函数的图象知：

当0°Wq<%<90°和90°<ax<a><\80°时，k[<k2-

当0。式囚<90。，90。<%<18（）0时，人>*

当%=90。或%=90。时，勺或&不存在，错；

D：因为&<（）<用，结合正切函数的图象知。。<%<90°,90°<«2<180°,

所以《<90。<%,对.

故选：AD

10.已知正方体A8C。-A8cA的棱长为4,动点/）在正方体表面A8GA上（不包括边界），则下列说法

正确的是（）

A.存在点A使得〃面

B.存在点A使得面人乃。

c.若AP与CG的夹角为2,则点尸的轨迹长度为亚冗

63

D.若〃为面的中心，则AP+AW的最小值为2旧

【答案】ACD

【分析】A项，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，通过证明C尸〃4七即可得出结论：B项，求出

面儿8。的法向量，计算出AP立面48。时点2的坐标，即可得出结论；C项，求出点，的轨迹，即可求出

点P的轨迹长度：D项，作出AP+PM取最小值时的图，根据对称性和两力:之间距离公式即可求出AP+PM

的最小值.

【详解】由题意，

在正方体488-ABIGA中，棱长为4,

动点P在正方体表面A4GA上（不包括边界），

连接4。，设30的中点为E,连接AG，8Q,设两线段交点为产，连接AEC产，

建立空间直角坐标系如下图所示，

4(4,0,0),F(4,4,0),C(0,4,0),D(0,0,0),E(2,2,0),F(2,2,4),

4(4,0,4),a(4,4,4),G(0,4,4),5(0,0,4).・••砧=(-2,2,-4),FC=(-2,2,-4)，ACF//\E,

t•CFS面AB。，4E匚面48。，.・.。/〃面48。，・・.当点尸在尸(2,2,4)处时，，CP〃面人8。,

・•・存在点P，使得CP〃面ABO,故A正确;

B项，在面力/。中，西=(4,0,4),丽=(4,4,0)，设面4/。的法向最为1=(与肉马)，

解事蛰当…时不=3

公AP_£面ABD,则而=向=(—,£/),P=沅7=(4一t,t,;动点尸在正方体表面A4GA上，

AZ=4,此时P=(0,4,4),与G重合，丁点户不在边界上，故不存在点P，使得AP,面AB。，B错误;

C项，因为AA//C&,*与CC的夹角为所以八夕与AA,所成的角为B，

66

则，41"=口

6

由儿何知识得，点尸的轨迹是以点A为圆心，4P为半径的圆的四分之一(即4鸟),

\P=AA-tan-^=4x

・,•点尸的轨迹长度为：~!"27D4[P=，X2TIX&3.=.23兀,C正确：

41433

D项，M为面CCOR的中心，作点A关于平面A4GA的对称点人,

连接4M,当4P+QV7最小时，A2P=AP.AAi=A.A2=4,

.••&（4,0,8）,M（0,2,2）,

•,-AP+PM=A2P+PM=A2M=J（4-0）2+（0—2尸+（8-20=2714,D正确.

故选：ACD.

av..+by,.+c

11.定义点?（七,北）到直线/：or+by+c=0（/+从/0）的有向距离为d=金2；及•已知点名心到直线/

的有向距离分别是4,W以下命题不正确的是（）

A.若4=4=i,则直线[鸟与直线/平行

B.若4=1,出=-1，则直线46与直线/垂直

c.若4+4=0,则直线66与直线/垂直

D.若4*0,则直线4鸟与直线/相交

【答案】BCD

【分析】根据有向距离的定义“J得直线々鸟的方程，故可判断A的正误，根据反例可判断BCD的正误.

【详解】设4（不，）1），6（毛，为），

ax.+by.+c,ax3+by,+c

对「A,4=出=1即为一六’;7=1=，

yja~+b~\Ja~+b-

22

故3+byx+c-yja+b=ax2+by2+c,

所以直线42的方程为：依+by+c-\ja2+b2=0-

因为行工0,直线EG与直线/平行，故A正确;

对于B,设直线上x+y=O,取用在0"卜衣0),

则4=1,4=-1,但&那=0,此时直线耳巴与直线/不垂直，故B错误;

此时4+4二o也成V.,故c错误;

对于D,仍取直线/：x+y=O,取6(—2,2),修(1,一1),

此时4=£=°”2=£=。，

故4"2Vo成立,此时片鸟与直线/重合，故D错误.

故选：BCD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若两条平行直线/…52)，+m=()与/2：2x+〃y-6=0之间的距离是26，则直线4在x轴上的截距为

【答案】-7或13

【分析】由两直线平行可得〃，再利用平行直线间的距离公式计算可得〃?，即可得到答案.

【详解】由题意，〃工0,因为“4，所以一±2=；1,解得〃=—4,所以4：2x-4y-6=0,即x—2y—3=0,

n2

|w+3|/-

由两平行直线间的距离公式得力/-2=2,5,解得切=7或加=73.

在x-2y+/〃=0中，令y=0,得了=-m，故直线4在x轴上的截距为-7或13.

故答案为:-7或13.

13.如图，二面角。一/一尸的棱上有两个点A,B,线段8。与AC分别在这个二面角两个面内，并且都垂宜

于棱/.若二面角。一/一〃的平面角为且A8=4,AC=6,BD=5,则CO=.

【答案】V47

【分析】根据已知条件用空间向量的模的公式求出C。的长.

【详解】由条件知m=0,BD-AB=O,CD=CA+AB+BD^

乂二面角的平面角为g,则＜6b,品＞=工，所以

33

I™]2।j2.12।12.、

222

\CD\=\CA\+\AB\+\BD\+2CA-AB+2AB-BD+2CA-fiD=6+4+5+2x6x5C0S=

47,

所以|可=历.

故答案为：V47.

14.楂长为2的正方体A4CO-A4GA中，E为棱QR的中点，尸为正方形内一个动点（包括边界）,

且83〃平面A3E,则当三楂锥丹尸体积取最大时，其外接球的表面积为.

【答案】号

【分析】先过用作平面A8E的平行面从而确定点尸的轨迹，再确定三棱锥线-OQb体积取最大时产的位

置，进而找到球心所在方位即可求解.

【详解】如图，当点〃位于CG的中点时，取AG中点G,连接4”,G”,片G,

则由正方体性质有,

因为G从四〃仁平面ABE,4E，A8u平面A8E,

所以G”〃平面ABE,片〃//平面ABE,

又cGH=H且都在面BfiH;所以平面&GH//平面%BE,

又GB,u面GBM,所以GB1〃平面\BE,

所以厂的轨迹是以CG，RG的中点为端点的线段G”，

因为/—℃=VF-BRD,

所以当尸点离平面珞。。距离最远时三棱锥B「DQF体积最大，

此时，点尸与CG的中点〃重合，

取8R中点O,连接0”（0户），则由正方体性质可得平面片

所以三棱锥B「DQH的外接球球心在0H所在直线上，

建立空间直角坐标系，如图所示，

则力（0,0,0）,A（0,0,2）,“（0,2,1）4（222）,球心为则G'?=G'D,G'"=G'D

（x-2）-+（y-2r+l=x2+y2+lx~4,,,25

于是。，，，，=:，所以外接球半径为2=炉+产+1=三，

x2+（y-2）-+0=x2+y24-l28

/4

所以5=4"/?2=4/吕+>11=警•故答案为：胃.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

已知直线/过点（1,2）,且直线/的倾斜角比直线Gx-3y+1=0的倾斜角大专.

（1）求直线/的方程；

v+2

⑵若点M（&y）在直线/上，且斗£[-2,1）,求F的取值范围.

【答案】（i）x-y+i=。；（2）-oo,-1.

【分析】（1）根据直线方程确定斜率，进而得到倾斜角，再求宜线/的斜率，应用点斜式写出直线方程;

（2）根据目标式的几何意义，数形结合求其范围.

【详解】⑴因为直线Gx-3y+l=0的斜率为女=3，所以其倾斜角为a=F，

则/的倾斜角为J+白=£，可知i的斜率勺=lan?=1,

61244

所以/的方程为k2=%-1,即x-y+l=0；（6分）

v+2

（2）F表示M（4,X）与点41,-2）连线的斜率的”,

人I一|

乂是直线/在xc[-2,l）部分上的动点，如下图示：

-1+21

则上==一丁；=-彳，直线的斜率不存在，则3阳C，

—2—13

y,+2（11

即―的取值范围为-8,-彳.（13分）

占-1I3」

16.（15分）如图，在几何体ABCQE中，平面A3CJ_平面ACO,BE=2,AC=3,CD=4,44s=90。,

BE//CD.

AP•-----1rF------二^C「

f9^Z**^

（1）若尸为AC的中点，求证：族'〃平面AE£>；

（2）若VABC为等边三角形，求平面A8C与平面八曲夹角的余弦值.

3

【答案】（1）证明见解析（2）,

【分析】（1）取A。中点G,连接GE,GF,通过证明四边形屏GE为平行四边形得到3P//EG,再利用线

面平行的判定定理即可证得结论；

（2）法一：延长CB,OE交于〃，连接A”,由此作出二面角。-47-。的平面角ND4C.并证明，再求ND4c

的余弦值即可.

法二：先证得五氏”1，/G两两垂直，以尸为原点建立空间直角圣标系，利用向最法计算二面角的余弦值即

可.

【详解】（1）取4。中点G,连接GE,GF,则G产为△AC。能中位线.

GF//CD,FG=2又•；BEMCD:.BE//FG且BE=FG=2.：.四边形BFGE为平行四边形.「.8尸〃EG

又QBFU平面AED,EGu平面AED：.〃平面AE£>.（6分）

（2）法一：延长。，DE交于H,连接A”

D

•/△/WC是等边三角形，〃为AC的中点,AC又二・BE”CD且BE=?CD.

BE为△的中位线,“为”C的中点乂•.•/为AC的中点，BF为△A〃C的中位线，,BFUAH,

:.AH±AC.

;平面ABC_L平面力C。，平面ABCPI平面/CO=4C，A"u平面48C,A/7_L平面ACO.

•.•AOu平面AC。，.•.AHJ_A£>.因此，二面角。-4H-C的平面角为ZDAC.

cosNOAC=%AC=：?因此，平面ABC与平面AED夹角的余弦值为31（15分）

AD55

法二：•：平面ABCJ.平面4CD,平面ABCn平面ACQ=AC,COJ_AC\CDA平面ABC.•/FG//CD

：.FGL平面48c..•/G_L8凡FG1FC乂•.•△八4。等边三角形，尸为八C的中点

BF±FC

所以尸8,尸C,尸G两两垂直，以尸为原点，如图建立空间直角坐标系.

■>

因为4户=|,BF=¥所以人（0,总。），。畤可，

0,2)4/)=(0,3,4),AE=(—,-,2)

22

设万=（x,y,z）为平面ADE的一个法向量，贝4%［二:即卜」［t：］：。

4

令z=l,解得；?=（0,-不1）设闲=（x,y,z）为平面ABC的•个法向量.易得行=（0,0,1）.

设平面48C与平面AED夹角为0,cos。=|cos（n,m）\=|含三=

1Mllm|5

3

因此，平面ABC与平面A£D夹角的余弦值为（15分）

17.（15分）

已知VA4C的三个顶点是A（2,3）,B（1,2）,C（4,T）.

（1）若直线4过点C,且点A,B到直线4的距离相等，求直线4的方程；

⑵若直线4过点A,且与x轴、）轴的正半轴分别交于〃、Q两点，。为坐标原点，求三角形OPQ面积取

最小值时直线4的方程.

【答案】（1）/-k8=0或13x+5j-32=0

⑵3x+2y—12=0

【分析】（1）分别讨论当直线4与4〃平行，当直线4通过A/3的十点。（^4）两种情况下，根据已知条件分

别求出直线《的方程.

（2）利用基本不等式的性质求出三角形。尸。面积的最小值.

【详解】（1）因为点A3到直线4的距离相等，所以直线4与48平行或通过A8的中点，

①当直线4与AB平行，因为砥8=兴=1=勺，且4过点C，所以4方程为丁+4=%-4,即x-y-8=0；

2—1

（3分）

,-4_5_

（3s所以3=—S=T，所以4的方.程为y+4=—；(x—4),

②当直线《通过A8的中点。即

I2L4-235

2

13/+5)，-32=0.

综上：直线人的方程为工一)~8=0或13.r+5y—32=().(7分)

（2）由题意设尸（。,0）,。（0,3，其中为正数，可设直线4的方程为汽+?=1，

ab

因为直线4过点42,3）,所以］江1,由基本不等式可得i=»2g/橙,

所以而22而«/?>24,

23,

--1--二1A

当且仅当a:“b2即%a=N4时，仍取得最小值24,所以△。。0面积S=："N12,

一2=一3b=62

ab

所以当"=4,〃=6时，/XOP。面积最小，此时直线4的方程为:+5=1，即3x+2），—12=0.（15分）

如图，圆台。O?的一个轴截面为等腰梯形AACG，AC=2M=2AG=4,B为底面圆周上异于A、C的点.

⑴求该圆台的侧面积S；

（2）若P是线段BC的中点，求证：直线C///平面A4B：

（3）若AB=BC,设直线/为平面AA8与平面qCB的交线，设/口平面原。。=。，点。在线段3。上（不含

端点），直线8G与平面QAC所成的角大小为a,求sina的最大值.

【答案】（1）6兀

（2）证明见解析

4

【分析】⑴由圆台侧面积公式即可求解:

(2)取A8中点〃，连接4人尸"，通过证明四边形AGP"为平行四边形得到C///A，，然后根据线面

平行的判定定理完成证明；

(3)延长M，CG交于点。，建立合适空间直角坐标系，然后利用向量法表示出Sina,再根据二次函数的

性质求解出最大值即可.

【详解】(1)因为AC=2A4,=2AC=4,

所以圆台的侧面积为g(27rx2+27ixl)x2=67r；(3分)

(2)取A8中点〃，连接A"，。"，如图，

因为「为4。中点，所以PH//AC,尸〃=3人。，

在等腰梯形AACG中，

所以〃p//4G，"p=AC，

所以四边形AG。”为平行四边形，

所以C///A”,又A〃u平面AA8,C/<Z平面AA8,

所以CJ"平面AA8；(9分)

(3)延长例(G交于点。，作直线BO,

因为B,0两点分别在平面\AB与平面C.CB内，

所以直线40即为直线/,

x/n平面〃GC=D，

所以。点，即为点。，

VAB=BC,则

以直线02Ao2仇。2。分别为MXZ轴，建立空间直角坐标系，如图所示,

在等腰梯形4ACG中，AC=2AA,=2AG=4,

此梯形的高为=>/3>

2

因为AG=gAC,AG，/AC，所以AG为AOAC的中位线，

则a（0,0,0），0（0,0,2G）,A（2,0,0）,B（0,2,0），G（T，Q\/5），

所以宙2,75）,而=（-2,20）,丽=仙一2,2e）,百=（2,0,（））,

设通=%旃，则题=月月+厢=A&+丸旃=（_2,2_2%26/1）,

设平面QAC的一个法向量为n=（X,），,Z）,

n-O2A=2x=0

则,

n-AQ=-2x+(<2-2A)y+2y/3AZ=0

令y=x/3Z,得方二(0,网九,%-1),

I___J卜，町|-2xV32+V3(2-l)|V3|2+l|

则有：^网Y5小M图”广瓜j-

令,=之+1,则sina=——―/”=,

2V2xV4r2-10/+7

当/=0时，sincr=O,此时；l=T,

7

当且仅当-[即7=:时取等号，

综上所述，sina的最大值为巫，（17分）

4

19.（17分）

在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同•

平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.请根据以上信息，解决下列

问题：在三棱锥A-8CO中，若通・瓦+2工•丽+3而.前=0,则称这样的三棱锥为完美三棱锥.

（1）在三棱锥人-8。中，A8_LAC,4C_LAO,AB_L4。，求证：该三棱锥是完美三棱锥；

（2）已知三棱锥中，△人小）为正三角形，A3=AC=2.

①若CB=CD=2&，判断该三棱锥是否为完美三棱锥，并说明理由；

②若8=3,且该三棱锥4-BCO为完美三棱锥，求二面角A-CO-4的余弦值.

【答案】（1）证明见详解

⑵①不是，证明见详解；②持

【分析】（1）根据空间性向最基本定理，以｛而，而，而｝为基底并结合完美三棱锥的定义化简得到

池•丽+3AB•觉=一2福•而一3丽•蔗+5尼•而，再结合向量垂直的性质得到

=0"己45=0,4^45=0证明等式即可.

(2)①结合题意得到对应向量的数量积，再利用完美三棱锥的定义判断即可.

②由棱锥A-8C。为完美三棱锥可得8长，由两点间距离公式求得C点坐标，进而求出关键平面的法向后,

最后利用二面角的向量求法得到余弦值即可.

【详解】(1)由题意结合空