2025-2026学年北师大版九年级数学上册期末测试模拟卷（含解析）

2025-2026学年九年级上册数学期末测试模拟卷

一、选择题：本大题共10小题，共30分。

1.菱形与矩形都具有的性质是（）

A.对角相等B.四边相等C.对角线互相垂宜D.四角相等

对角线八C,B。交于点。，若4BOC=120°,AC=8,则4B的长度是（）

B.4/2D.8

3.如图摆放的正六棱柱的俯视图是（）

4.如图，△48C的面积为12,点D,£分别是边A从AC的中点,，则四边形的面积为（）

5.己知一次函数%=kr+b与反比例函数丫2=g在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当yi<丫2时，

A.x<-1或0VxV3B.-1<x<0或%>3

C.-1<xV0D.x>3

6.如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2:5,且三角尺的一边长为8Mb

则投影三角形的对应边长为()

A.8。％B.3.2cmC.20cniD.10cm

7.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转

出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是()

8.如图，△48C中，4,8两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(一1,0),以点。为位似中心，在x轴的下

方作△力的位似图形△A'B'C,A'B'CVA/18C的相似比为2:1.设点B的对应点8'的横坐标是则点

8的横坐标是()

A.-|aB.-1(fl+l)C.-1(a-l)D,-1(a+3)

9.“红灯停绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通顺畅和行人安全.小刚每

天从家骑自行车上学都经过三个路口，且每个路口安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间

相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到两次红灯的概率是()

A*4噌

10.如图，正方形QWC的边。A,0c在坐标轴上，矩形CO灯的边C。在CB上，且5G）=3C8,边CF

在y轴上，且CF=2OC-3,反比例函数y=g（k>0）的图象经过点8,E,则点E的坐标是（）

A.信片）B.信,|）C.脩片）D.（消）

二、填空题：本大题共8小题，共24分。

11.如图，在菱形ABC。中，AC与8。交于点O,若4c=8,BD=6,则菱形ABC。的面积为—

12.一个几何体的三种视图如图所示，这个几何体的表面积是____.（结果保留7T）

13.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流/（单位：4）与电阻R（单位：0是反比例函数关系，它

的图象如图所示.如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过12A,那么用电器的可变电阻应控制

的范围是_____.

~0\9~<o）

14.如图，小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔48的高度，镜子与铁塔的距离=20米，镜子与

小华的距离ED=2米时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点4已知小华的眼睛距地面的高度CD=1.5米，

则铁塔的高度是_____米.

15.某种商品，平均每天可销售40件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降

价I元，则每天可多售5件，若每天要盈利2400元，则每件应降价元.

16.如图，已知点E(-8,4),F(-4,-4),以点。为位似中心画三角形，使它与△EF。位似，且用似比为去

则点E的对应点的坐标为______.

17.任取•个有序的整数对(a,b),其中|a|M5,|b|W5.每•个这样的有序数对被选择的可能性相等，则方

程/+。工+5=0没有不相等正实根的概率为______.

18.如图，已知函数y=2%和函数y=(的图象交于4,B两点，过点4作AE1》轴于点E,若A40E的面.

积为4,0星坐标平面上的点，FL以点8,。，E,尸为顶点的四边形是平行四功形，则满足条件的。点坐

标是•

三、计算题：本大题共10分。

19.解方程：(1)/-2%=2%+1；(2)(%+1)(%-1)+2a+3)=8.

四、解答题：本大题共7小题，共56分。

20.如图，在△ABC中，AB=4C,。为8C边的中点，以48,8。为邻边作弘8DE,连接A。，EC.求证:

四边形AOCE是矩形.

21.已知关于x的一元二次方程/-mx+机一3=0.

(1)求证：无论加取何值，该方程总有两个不相等的实数根;

(2)如果方程的两个实数根为与，孙，且2%62+%+%2215,求小的取值范围.

22.如图，已知△4BC是等边三角形，点Q,B,C,石在同一条直线上，月/DAE=120。，求正：BC2=

CE-DB.

A

DBCE

23邛口光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1m长的影子如图所示.已知窗框的影子。石到窗下

墙脚的距离CE=3.97九，窗口底逃离地面的距离8C=1.2m,试求窗口的高度(即的值).

24.有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1,2,3,另有一个不透明

的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1,2,3,4(如图所示).小颖和小亮想通过游戏来决定谁

代表学校参加歌咏比赛，游戏规则：一个人转动圆盘，另•人从口袋中摸出•个小球，如果所摸球上的数

字与圆盘上转出数字之和小于4,那么小颖去；否则小亮去.

(1)用画树状图或列表的方法求出小颖参加比赛的概率；

(2)你认为该游戏公平吗？请说明理由.

25.如图，在边长为4的正方形ABCZ)中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点8运

动，动点尸以每秒2个单位长度的速度从点8开始沿边BC向点C运动，动点E比动点尸先出发1秒，其

中个动点到达终点时，另个动点也随之停止运动，设点厂的运动时间为/秒.

(1)如图1,连接OE,AF.^DELAF,求/的值；

(2)如图2,连接上”，D卜,当/为何值时，△七'8"〜△OCf?

26.如图，已知一次函数y=2%+2的图象与)，轴交于点以与反比例函数的图象的一个交点为

4(1,m).过点8作/W的垂线8。，与反比例函数y=>0)的图象交于点。(m一2).

(1)求七和七的值：

(2)若直线A88。分别交x轴于点C,E,试问在y轴上是否存在一点八使得△8DF-AACE?若存在,

求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查菱形和矩形性质的异同点，熟练掌握平行四边形性质是解题的关键，菱形和矩形都是平行四

边形，具有平行四边形的所有性质，菱形还具有独特的性质：四边相等，对角线垂直：矩形具有独特的性

质：对角线相等，邻边互相垂直.

【解答】

解：4对角相等，菱形和矩形都具有的性质，故人符合题意；

B.四边相等，菱形的性质，矩形不具有的性质，故不符合题意；

C.对角线互相垂直，菱形具有的性质，矩形不具有的性质，故C不符合题意；

。.四角相等，矩形具有的性质，菱形不具有的性质，故。不符合题意；

故选4

2.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题

的关键.由矩形的性质得出。4=。8=4,再证明A/lOB是等边三角形，得出48=。4即可.

【解答】

解：•••四边形4BC。是矩形，

...O4=*c=4,OB=^BD,AC=BD,

•••GA=OB=

•:乙BOC=120°,

:.Z.AOB=60°,

.•.△AOB是等边三角形，

:.AB=OA=4.

3.【答案】D

4.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，属于中档题.

先由点。、石分别是边AB、AC的中点，得DE//BC,从而得△HOEs4根据相似三角形的面积比等

于相似比的平方及A/18C的面积为12,可得5沙即=3,用大三角形的面积减去小三角形的面积，即可得

答案.

【解答】解：•.•点。、E分别是边A8、AC的中点，

DE//BC,

ADESAABC,

•.•点。、E分别是边/W、AC的中点，

AD1

,而=5'

:,S^ADE：S&ABC=1：4，

的面积为12,

•*,S^ADE=3,

.他边形BCED的面积为9.

故选D.

5.【答案】B

【解析】解：根据图象知，一次函数%=kx+b与反比例函数yz=g的交点是（一1，3），（3,-1）,

=yr<y2时，-1V工<0或%>3；

故选：B.

根据图象知，两个函数的图象的交点是（一1,3）,（3,-1）.由图象可以直接写出当月<丫2时所对应的x的取值

范围.

本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题.解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想.

6.【答案】C

7.【答案】B

【解析】解：用列表法将所有可能出现的结果表示如卜.：所有可能出现的结果共有12种.

红（红，红）（蓝，红）（蓝，红）

蓝（红，蓝）（蓝，蓝）（蓝，蓝）

红（红，红）（蓝,红）（蓝，红）

黄（红，黄）（蓝，黄）（蓝，黄）

红蓝蓝

上面等可能出现的12种结果中，有5种情况可以得到紫色,

所以可配成紫色的概率是去

故选：B.

根据题意，用列表法得出所有可能出现的结果，分析可能得到紫色的概率，得到结论.

本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出〃，再从中选出符合事

件•A或8的结果数目〃?，然后根据概率公式求出事件A或3的概率.

8.【答案】D

【解析】【分析】

此题主要考查了位似变换的性质.

根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，FO=a,CF=a+l,CF=1(a+l),进而得

出点3的横坐标.

【解答】

解：如图，分别过点从8,作BE1x轴，B'Flx轴，

•••点C的坐标是(一1,0).以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形△4'B'C,并把△48C的边长

放大到原来的2倍.

点B的对应点夕的横坐标是m

F0=a,C/7=a+1,

CE=1(a+l),

•••点B的横坐标是：-；(Q+l)—l=-g(a+3).

故选D.

9.【答案】B

【解析】解：共有8种情况，遇到两次红灯的概率是濡故选用

O

第一个路口红绿

AA

第二个路口红绿红绿

第三个路口/红绿红/绿红/绿纤/绿

列举出所有情况，看遇到两次红灯的情况占总情况的多少即可.

如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件人出现〃，种结果，那么事件人的概率

p⑷/

10.【答案】C

【解析】解：•••正方形。48C,

•••GA=AB=BC=OC,

设CO-x,则BC-^x-OC-AB-0A,

V5CD=3CB,CF=20C-3,

CF=/-3,

：•CF=CF+OC=箕-3+，=5x-3,

E(x,5x-3)

点B,E在反比例函数的图象上，因此：|x-1x=x(5x-3)*

解得：x=0舍去，或工=累

乙U

当*=春时，5.3=竽，

故选：C.

设出点E的横坐标为x,根据5CD=3CB,C/=2。。一3可以表示出点B,E的坐标，再根据点B,E都在

同一个反比例函数的图象上，可以列出方程求解即可得出

考查反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形、矩形的性质，设出未知数，表示出相应点的坐标，是解

决问题的关键.

11.【答案】24

12.【答案】1007T

13.【答案】R>3Q

14.【答案】15

【解析】【分析】

本题考查相似三角形的应用，由入射角等于反射角，乙CDE=^4BE=90°,可以证出△CDfs△28E,从

而得出线段比例，求得A3的长.

【解答】

解：•••入射光线和反射光线与镜面夹角相等，

:.Z.CED=Z.AEB,

又•；々CDE=/-ABE=90°,

•••△CDEs&ABE,

即”=匹,

1ABBE

，竺=2,

AB20

解得：48=15米,

故答案为15.

15.【答案】4

【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到

相应的等量关系是解决本题的关键.关系式为：每件商品的盈利x（原来的销售量+增加的销售量）二

2400,计算得到降价多的数量即可.

解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：

（44-x）（40+5x）=2400

解方程得％=4或%=32,

•••在降价幅度不超过10元的情况下，

•••x=32不合题意舍去，

答：每件服装应降价4元.

故答案是：4.

16.【答案】（4,一2）或（一4,2）

【解析】解：8,4）,以点。为位似中心画三角形，使它与AEF。位似，且相似比为最

.••点E的对应点的坐标为：（4,一2）或（一4,2）.

故答案为：（4,-2）或（-4,2）.

根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对坨点的坐标

的比等于女或-k,于是把E(-8,4)都乘以;或-)即可得到点石的对应点坐标.

本题考杳了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键.

17.【答案】含

18.【答案】P](0,-4),P2(-4,-4),P3(4,4)

【解析】【分析】

此题考查了反比例函数综合，用到的知识点是反比例函数的性质、平行四边形的性质，关键是画图形把夕

点的所有情况都画出来.

先求出8、E的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P点的坐标.

【解答】

♦.•△/0E的面积为4,函数y=§的图象过一、三象限,

:，S"OE=^0EAE=4,

:，GE-AE=8»

xy=8,

：.k=8,

:函数y=2x和函数y=5的图象交于A、8两点，

：•_2x=-8»

x

x=±2,

当x=2时，y=4,当x=-2时，y=-4,

“、8两点的坐标是:(2,4)(-2,-4),

•.•以点屎0、E、尸为顶点的平行四边形共有3个,

•••满足条件的尸点有3个，分别为：

Pi(0,-4),P2(-4,-4),P3(4,4).

故答案为：Pi(0,-4),P2(-4,-4),P3(4,4).

222

19.【答案】解：(1)•••x-2x=2x+1,Ax-4x=l,A%-4x4-4=1+4,

2

•••(x-2)=5»•••x-2=±V-5,，=2+门，x2=2—yTS.

=

(2)原方程可化为/+2x-3=0}(x4-3)(x-1)=0,二与=-3,x2L

20.【答案】证明：•.T8=4C,。为8c边的中点，

•••AD1BC,BD=CD,

Zi4DC=90°,

•••匹边形A8OE是平行四边形，

/.AE//BD,AE=BD,

AE//CD,AE=CD,

.••匹边形人。CE是平行四边形，

乂•.Z0C=90。，

.••匹边形AOCE是矩形.

【解析】由等腰三角形的三线合一性质得出4)1BC,BD=CD,£ADC=90°,由平行四边形的性质得出

AE//BD,AE=BD,得出AE〃CD,AE=CD,证出四边形AQCE是平行四边形，即可得出结论.

本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和平

行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键.

21.【答案】(1)证明：•.•△=；n2-4(?n-3)

=m2-4m+12

=(m-2产+8,

(m-2)2>0,

(.vi—2产+8>0»即△>0,

••・无论机取何值，该方程总有两个不相等的实数根：

(2)解：根据题意得4+x2=m.xxx2=m-3,

2XXX2+%+&215

•••2(m-3)+m>15

解得m>7.

【解析】(1)计算判别式得到△=⑴;-2)2+8,利用非负数的性质得到△>(),从而得到结论；

(2)利用根与系数的关系得到％1+冷=m、XjX2=m-3,再利用已知条件得到2(m-3)+mN15,然后

解关于，〃的不等式即可；

本题考查了根与系数的关系：若%1，&是一元二次方程*2+以+。=0(。=0)的两根时，为1+必=

%62=2也考查了判别式的意义.

a1a

22.【答案】证叨：•••△ABC是等边三角形，•••乙48c=乙ACB=^BAC=60%

.•・ZD+/.DAB=60°,乙E+/.CAE=60°.

,:乙DAE=120",:.Z.DAB+Z.EAC=60°,Z.D=Z.CAE>Z-DAB=乙E,

DBAACE,/.DB:AC=AB:EC.

vAB=AC=BC,•••BC2=CE•DB.

23.【答案】解：由于阳光是平行光线，即力E〃BD,

所以4AEC=Z-BDC.

又因为乙。是公共角，

所以

则”=空.

’DC

乂4c=AB+BC,DC=EC—ED,EC=3.9m,ED=2.1m,BC=1.2m,

„,.AB+1.2_3.9

7ce1.2-3.9-2.J

解得48=1.4(771).

答：窗口的高度为1.4m.

【解析】本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例.要求学生通过投影的知

识结合图形相似的性质巧妙地求解或解直角三角形，是平行投影性质在实际生活中的应用.

根据阳光是平行光线，即力可得乙/4£。=乙8。。；从而得到△AECSABOC,根据比例关系，口算

可得48的数值，即窗口的高度.

24.【答案】解：(1)画树状图得：

开始

/1\

•••共有12种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况,

P（和小于4）=^=p

••・小颖参加比赛的概率为："

4

（2）不公平，

•••P（小颖）=%

P（小亮）=|

:，P（和小于4）*P（和大于等于4）,

游戏不公平.

【解析1（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两指针所指数字之和和小于4的

情况，则可求得小领参加比赛的概率；

（2）根据小颖获胜与小亮获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平.

本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不

公平.

25.【答案】解：（1）如图，设A”与DE交于点。.

•••0E1A万，.•.ZAOE=90°,••.△BAF+zAEO=