2025-2026学年广东省深圳市南山某中学九年级（上）期中数学试卷

2025-2026学年广东省深圳市南山外国语学校九年级（上）期中数学试卷

一选择题（每题3分，共24分）

1.（3分）如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（

2.（3分）将一元二次方程2/+4=3x化为一般形式为（

A.2X2+4-3x=0B.Zv2-3x-4=0

C.Zr2-3A+4=0D.2X2+3X+4=0

3.（3分）下列四个命题中，错误的命题是（）

A.四条边都相等的四边形是菱形

B.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

C.一条线段一定有两个黄金分割点

D.一组对边平行旦相等，对角线垂直且相等的四边形是正方形

4.（3分）如图，一条线段在平面0内的正投影为4夕，AB=2M，则力B与H夕的夹角为（）

A.45°B.30°

C.60°D.以上都不对

5.（3分）生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因决定的.如人的卷舌性状由常染色体上的一对基

因决定，决定能卷舌的基因R是显性的，因此决定能否卷舌的一对基因有HH,Rr,其中基因为HR和

R•的人能卷舌，基因为•的人不能卷舌，则他们的子女可以卷舌的概率为（）

A.1B.1C.2D.S

4234

6.（3分）深圳前海某工地有一块长方形空地，长比宽多10米.施工队在这块空地的四周铺设了一条宽度

第1页（共26页）

为2米的硬化路面，路面的面积恰好是216平方米.设这块空地的宽为工米（)

A.(x+4)(x+14)-X(x+10)=216

B.(x+2)(x+12)-x(x+10；=216

C.(x+4)(x+12)-x(x+10;=216

D.(x+2)(A-+14)-x(x+10)=216

7.（3分）如图1,将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的

图形（点。，G,H,C在同一直线上，点。，F,8在同一直线上）（)

图1

A.2C.3-V5D.3+V5

3

8.（3分）如图,矩形N8CQ中，AB=6,E为的中点，F为EC上一动点、,连接则PA的最小值

是（）

C.272D.4

5

二.填空题（每题3分，共15分）

9.（3分）如图，已知面积为20的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，若有65个点在黑色

部分，则二维码中黑色部分的面积约为.

第2页（共26页）

10.（3分）已知关于X的方程（a-1）F+2x+l=0有两个不相等的实数根，则aH勺取值范围

是.

11.（3分）开封铁塔，又称“开宝寺塔”，是北宋时期（公元96（）-1127年），被誉为“天下第•塔”.某

小组用自制的菱形测高仪力4CQ测量塔高，其边长为05〃，08=0Am,当测角仪的顶点。，系在顶点

A处的铅垂线恰好过点O和顶点C.经测量点B到EF的距离为63.2〃?，点B到地面的距离为\.2m

12.（3分）己知四边形4?。。，//8。=90°，/ACB+NBCD=90°，若AB=1,BD=5

13.（3分）将一张以48为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中再沿一条

直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），其中N4=90°,AB=9,CD=6,AD=

2.

三,解答题（共61分，14题8分，15题6分，16题9分，17题8分，18题8分，19题10分，20题12

分）

第3页（共26页）

14.(8分)解下列方程:

(1)x2-4x+2=0；

(2)3x(x-\)=2x-2.

6(6分)如图，△/出。三个顶点坐标分别为力(-4,())、B(0,2)(-2,4).

(1)如图，△NiBiCi三个顶点坐标分别为小(2,0)、B\(0,・1)、Ci(1,-2),AA\BCi是丛ABC

通过位似变换得到的，请写出位似中心;山Ci和位似比为；

(2)作图：请在线段上找一点“使得4W：8M=2：3.

16.(9分)某校为了解学生身体健康状况，从全校1000名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取

了部分学生的测试数据进行初步整理(如表)(如图).

学生体质健康统计表

成绩频数百分比

不及格3a

及格b20%

良好45C

优秀3232%

(1)a=、b=、c=；

(2)估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数；

(3)为听取测试建议，学校选出了3名“良好”和1名“优秀”学生，再从这4名学生口随机抽取2

人参加学校体质健康测试交流会.请用列表或画树状图的方法，一名“优秀”的概率.

第4页(共26页)

学生体质健康条形图

17.（8分）芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展

新兴产业，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个.试回答下列问题：

（I）已知每季度生产审的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；

（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，现该公司要保证每季

度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大）

18.（8分）如图，在平行四边形力4。。中，E,/是力。和8C的中点，连接OG,使得NG」/ACE-

2

（1）求证：四边形力厂CE为菱形；

(2)若4C=8,EF=6,求OG的长.

19.（10分）【阅读理解】在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意的正数

a,b,都有什/>22端，等号成立，这个结论是解决最值问题的有力工具.例如：若x>0时!》2jx・L

xVx

即.什1221"，即x=l时，等号成立;最小值为2.

XXX

【类比求值】（1）填空：若x>0,贝1+且,此时尸；

2

【拓展应用】（2）若x>0,求代数式2宫;5X+3；

【问题解决】（3）现有一个面积为L5的锐角三角形按照如图所示的方式裁剪正方形。E/7G

设Z）E=x,AC=a,4。边上的高2■.

a+h

①请你补充该小组的推导过程；

第5页（共26页）

②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求X的最大值，只需使分母。+力最小即可.由1

■c为定值，即刃=3,可得力=3,则底边长。为时，内接正方形面积S最大，

a

最大值为.

20.（12分）如图1,在矩形力〃。力中，力8=8,点E,尸分别是EF//BD.将△力所沿直线七产对折，

点力对应点为点G

（1）如图2,当点G落在对角线8。上时，求。G的长；

（2）如图3,当/OG产=90°时，求4尸的长：

（3）若直线/G交8。于点儿在点E的运动过程中，是否存在某一位置，H,G为顶点的三角形与△

第6页（共26页）

2025-2026学年广东省深圳市南山外国语学校九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案DCBBDACA

一选择题（每题3分，共24分）

1.（3分）如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（）

【解答】解：U型磁铁从上面看的示意图是一个大矩形，且中间有2条实线段符合.

故选：D.

2.（3分）将一元二次方程2/+4=3x化为一般形式为（）

A.ZV2+4-3x=0B.2x2-3x-4=0

C.2x2-3.r+4=0D.ZY2+3X+4=0

【解答】解：方程2?+3=3x可化为2--3"4=5,

A.方程未按/项、x项，不符合一般形式规范；

B、常数项应为+4,移项时符号错误；

C、方程4/-3x+8=0符合一般形式定义，符合题意；

D、x项应为-3x,移项时符号错误，

故选：C.

3.（3分）下列四个命题中，错误的命题是（）

A.四条边都相等的四边形是菱形

B.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

C.一条线段一定有两个黄金分割点

第7页（共26页）

D.一组对边平行且相等，对角线垂直且相等的四边形是正方形

【解答】解：力、四条边都相等的四边形是菱形，不符合题意；

4、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误：

C、一条线段有两个黄金分割点，不符合题意；

。、一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，正确；

故选：B.

4.（3分）如图，一条线段48在平面。内的正投影为49，/4=2a，则与4E的夹角为（）

C.60°D.以上都不对

【解答】解：过力作力C_L朋夕，交BB'于C点，

•・・48在平面。内的正投影为“"，

AAAA'B'=ZBB'A'=90°,

：,AC//A'B',且4c=4'B'=如,

•・・COSN3/C=£=®,

AB5

：.ZBAC=3（）0,

・••力8与的夹角为30°.

故选：B.

5.（3分）生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因决定的.如人的卷舌性状由常染色体上的一对基

因决定，决定能卷舌的基因R是显性的，因此决定能否卷舌的一对基因有HR，Rr，其中基因为&A和

R•的人能卷舌，基因为”的人不能卷舌，则他们的子女可以卷舌的概率为（）

第8页（共26页）

A.XB.XCD

42-I4

【解答】解：画树状图如下:

共有4种等可能的结果，其中他们的子女可以卷舌的结果有3种，

,他们的子女可以卷舌的概率为四，

4

故选：D.

6.(3分)深圳前海某工地有一块长方形空地，长比宽多10米.施工队在这块空地的四周铺设了一条宽度

为2米的硬化路面，路面的面积恰好是216平方米.设这块空地的宽为x米()

A.(x+4)(x+14)-x("10)=216

B.(x+2)(x+12)-x(x+10;=216

C.(x+4)(x+12)-x(x+10)=216

D.(x+2)(x+14)・x(x+10)=216

【解答】解：空地的宽为x米，则长为(x+10)米，整个区域的宽和长各增加4米(因路面宽2米，故

整个区域宽为(x+4)米，

根据题意，得(x+4)(x+14)-v(.v+10)=216.

故选：A.

7.(3分)如图1,将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的

图形(点。，G,H,C在同一直线上，点。，F,8在同一直线上)()

3

3-V5D.

第9页(共26页)

【解答】解：•・•将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重福地拼成如图2所示的图

形（点。，G,H,点、D,凡

:.GF=AII,EF=AB=7

设GF=4H=r,则FB=2-

:,DB=DF+FB=4-n

•:/DFG=/B=90°,4D=4D,

:•△DGFs^DHB,

•・•GF•二■DF，

HBDB

即二一，-,

3-r4-r

解得“亚+3>2（舍去），r=V§+3»

故选：C.

8.（3分）如图，矩形48CQ中，AB=6,E为48的中点，F为EC上一动点,连接尸8,则P8的最小值

是（）

A••B.3c.2V2D.4

【解答】解：如图，分别取4E,。£的中点G,BLPl,HI,

•・•矩形中，AB=6,七为的中点，

•*.CD-AB=GtBC=AD=6,=BE=~~AB=45

2

在直角三角形BCE中，由勾股定理得：CE=^BC2+BE2=5'

丁点〃为co的中点

第10页（共26页）

•,-CH=yCD=3»

在直角三角形8c〃中，由勾股定理得：BHWBC2-K：H2=8*

•・•点G是彳石的中点，点/是的中点，

•*-IG=yAD=4»AG=-AE=y^IG//AD,

乙乙乙

；・N/GE=N4=90°,BG=AB-AG=y，

•••BI2=BG2+IG8=^

4

•・•点，为CQ的中点，点/是QE的中点，

・•・HI=yCE=y«

乙乙

又.••点/是。上的中点，夕为。尸的中点，

:.PH/EF,

同理可得：PH//CF,

・••点P,〃，/在同一条直线上，点P在〃/上运动,

由垂线段最短可知，当尸8_LR时,

设尸H=x(x>2),则PI=HI-PH二旦-x，

2

由勾股定理得：BH6-PH2=PB2=B1A-P/2,

2

••-58-X2=Y-X)»

解得X至，

5

，PH《‘

乙

••・PBWBH2-PH2考,

即PB的最小值是丝，

5

故选：A.

二.填空题（每题3分，共15分）

9.（3分）如图，已知面积为20的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，若有65个点在黑色

部分，则二维码中黑色部分的面积约为.

第11页（共26页）

【解答】解：•・•在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，

・•・估计黑色部分占这个区域的里=西，

10020

工黑色部分的面积为20X1S=13.

20

故答案为：13.

10.（3分）已知关于x的方程Q-1）f+21r+l=0有两个不相等的实数根，则，的取值范围是丁<2且a

【解答】解：根据题意得a・1W0且小=42・4（«-7）>0,

解得。<2旦aK7,

即a的取值范围为a<2且aW1.

故答案为：。<7且“W1.

11.（3分）开封铁塔，又称“开宝寺塔”，是北宋时期（公元960・1127年），被誉为“天下第一塔”.某

小组用自制的菱形测高仪月48测量塔高，其边长为05”，OB=0.4m,当测角仪的顶点Z）,系在顶点

A处的铅垂线恰好过点O和顶点C.经测量点B到EF的距离为63.2〃?,点B到地面的距离为\.2m49.2

米.

E

【解答】解：延长。8交"'于G,则8G=72〃?,

第12页（共26页）

E

由题意得QGJ_Eb，ACA.BD,

•・•在菱形44c。中，AB=0.5mf

J.ACLBD,

:.AO2=AB2-052=6.52-3.42=4.32,

・"O=3.3(w),

・••在RtZVIBO中，tanN力80=空=3,

OB4

/.IanNNOB=tan/48。=­,

4

•・•80=3.4”，

BD=02m9

：.DG=BD+BG=0.8+63.4=64(/〃)，

•・•在RtZ\EOG中，tan/EDG=整，

DG

•・•一E・G—二^—3,

644

解得EG=48(w),

•:GF=22m,

AEF=EG+GF=48+1.3=49.2(〃，)，

答；开封铁塔的高度为492〃.

故答案为：49.7.

12.（3分）已知四边形力3CQ,NABC=9（）°,N4CB+NBCD=90°,若44=1,BD=5_3®

第13页（共26页）

B

A

•：NBCA+NBCD=90°,ZDCE+ZBCD=ZBCE=90°,

；・/DCE=/8CA.

在△48C和△QCE中，

rZABC=ZE

<AC=CD，

ZDCE=ZBCA

:.AABC义/XDCECASA）,

:.BC=CE,DE=AB=\.

延长ED交BA的延长线于点F,则四边形BCE"是正方形,

:.BF=EF.

设BF=EF=a,则DF=a-I,

在RtZ\8。b中，/+（4・i）2=72,

解得。=4（负值舍去），

：,AF=DF=6-1=3,

AAD^/42+36=3V2-

故答案为：3V2.

13.（3分）将一张以力8为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中再沿一条

直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），其中乙4=90°"8=9,CD=6,AD=2_^

4

返或10；15或6；7.

4

第14页（共26页）

c

【解答】解：如图所示矩形ABE凡

设。尸=x,CE=y,

/FED+/BEC=/FED+/EDF=90°,

JZBEC=ZEDF,

V90°,

；・NECB=90°=NF,△DEFsgBC、

・DF_EF_DE

^CE-CB-BE，

即三:9上，

y72+x

V2=7--

4

••I,

_21

y-3

，DE=DC+CE哼

4

二BE=AD+DF=平，

4

第15页（共26页）

/ZDFC+ZBFE=ZDFC+ZFDC=90°,

•・ZBFE=ZFDC,

：ZDFC^90°,

•・NFCD=900=ZE,△DCFs^FEB,

・FC=DC=DF

*BE-EF-BF'

.x=4

y=10

"0=10,

BF=FC+BC=\5；

则斜边长为CO=6,5C=7；

，综上：可能是"；迤或10；7.

64

故答案为：竺；典或10；7.

24

三,解答题（共61分，14题8分，15题6分，16题9分，17题8分，18题8分，19题10分，20题12

分）

14.（8分）解下列方程：

（1）?-4x+2=0；

(2)3x(x-1)=2x-2.

【解答】解：(1)x2-4x+4=0,

・•・△=(-4)7-4X2=16-4=8>0,

-5)±4(-4产-4X2一5±2V^

=2±V2»

26-

X7=2+V2，X6=2-V2-

(2)8x(x-1)=2x-4,

3x(x-1)=6(x-i),

3x(x-2)-2(x-1)=5,

第16页（共26页）

(x・1)(3x-3)=0,

x-1=8或3x-2=2,

・-1-2

・・X「1,x4--

15.(6分)如图，△48C三个顶点坐标分别为力(-4,0)、B(0,2)(-2,4).

(1)如图，△由81a三个顶点坐标分别为小(2,0)、B\(0,-1),Ci(1,-2),AAiBCi是AABC

通过位似变换得到的，请写出位似中心点O(0,0):61cl和△月3。位似比为1：2

•••△481。和△力8c位似,

第17页(共26页)

，位似比为对应边长之比，即」Bo」Ci

BC

B1CoA/Q

・•・位似比为：2,

BC2V4

故答案为：点O（8,0）；

（2）使得/必：BM=2：4的点如图2即为所求.

图2

16.（9分）某校为了解学生身体健康状况，从全校1（）00名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取

了部分学生的测试数据进行初步整理（如表）（如图）.

学生体质健康统计表

成绩频数百分比

不及格3a

及格b20%

良好45C

优秀3232%

(1)a=3%、b=20、c=45%

（2）估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数;

（3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”和1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2

人参加学校体质健康测试交流会.请用列表或画树状图的方法，一名“优秀”的概率.

第18页（共26页）

学生体质健康条形图

【解答】解：（1）由题意得，选取的学生人数为32・32%=100（人），

Atf=3-rl00X100%=3%,/）=100X20%=20.

故答案为：2%；20.

（2）IOOOX3%=3O（人），

・•・估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数约30人.

（3）将3名“良好”分别记为4B,C,将3名“优秀”学生记为。,

列表如下：

ABCD

A(4B)(4C)(4D)

B(B,A)(8,C)(8,D)

C(C,J)(C,B)(C,D)

D(D,A)(D,B)(D,C)

共有12种等可能的结果，其中抽取的两人是一名“良好”，D）,D）,。），A）,B）,C）,

・•・抽取的两人是一名“良好”，一名“优秀”的概率为互=▲.

125

17.（8分）芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽台、集终生智”等优势产业，发展

新兴产业，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个.试回答下列问题：

（1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；

（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，现该公司要保证每季

度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大）

【解答】解：（1）设前三季度生产量的平均增长率为x，

依题怠得：200（1+x）2=288,

第19页（共26页）

解得：X2=0.2=20%,X4=-2.2（不符合题意，舍去）.

答：前三季度生产量的平均增长率为20%.

（2）设应该再增加〃，条生产线，则每条生产线的最大产能为（600-20〃?）万个/季度，

依题意得：（m+3）（600-20w）=2600,

整理得：加2・29〃什100=0,

解得:m3=4,"72=25,

又•・•在增加产能同时又要节省投入成本，

**•w?=3.

答：应该再增加4条生产线.

18.（8分）如图，在平行四边形48co中，E,尸是力。和8c的中点，连接OG,使得/G」/ACE,

2

（1）求证：四边形力ECE为菱形；

（2）若4c=8,£尸=6,求OG的长.

【解答】（1）证明：•・•四边形48CO是平行四边形,

:.AD〃BC,AD=BC,

•・•£,少是力。和4c的中点，

:.AE=DE=^D4C,

22

:.AE=CF=BF,

•:AE"CF,AE=CF,

••・四边形力/CE是平行四边形，

,:AF=BF,

；・AE=AF,

••・四边形4FCE是菱形.

（2）解：•・•四边形力尸。£是菱形，

:.CE=CF,CA±EF,

：.N4CE=NACF,

第20页（共26页）

.\ZG=1.ZJCE=1.,

52

，ZACF=8ZG=ZG+ZCOG,

・・・NG=NCOG,

•••/CO产=90°,JC=8,

・•・GC=OC=OA=1^4C=4^EF=3,

74

•**CF=VOC2OF^=J^+25=5,

作。，_L8c于点“，则NO"G=90°,

FcoF=&X5O〃=g,

22

・・・o〃=£

5

,C〃=Joe7-OH?=JV-偿■产=当,

，GH=GC+C7/=4+幽=毁，

56

A^=VoH2-K；H2=^(y-)2+(Y)4=

：.OG的长是125°.

5

19.（10分）【阅读理解】在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意的正数

a,b,都有。+后2/孔，等号成立，这个结论是解决最值问题的有力工具.例如：若x>0时工>2^X・L

即广工221"，即x=l时，等号成立U最小值为2.

XXX

【类比求值】（1）填空：若Q0,则X+且6,此时尸；

X

2

【拓展应用】（2）若x>0,一代数式2X-54+3；

x

【问题解决】（3）现有一个面积为1.5的锐角三角形44C,按照如图所示的方式裁翦正方形。

设。E=x,AC=a,/C边上的高4〃=%一3—.

a+h

①请你补充该小组的推导过程;

第21页（共26页）

②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求X的最大值，只需使分母。+力最小即可.由1

川。为定值，即。〃=3,可得方=3,则底边长。为_a_时，内接正方形面积S最大，最大值为

3

4

【解答】解：（1）•・•对于任意的正数。、b,都有a+b〉24孔,

此时x二旦，

x

解得：工=5或x=-3（不符合题意，舍去）;

故答案为：6,5；

(2)•/2x^§x±3,=2x_6+3_r要使2乂-6+3,

XXX

*,*2x最小即可•

・・、＞0时,

,,5x-5+&的最小值是6^6-5，

x

2

即72二5x+7的最小值是2&,6,.

x

(3)①•・•四边形OGFE是正方形,

:.DG=GF=FE=DE,DE//GF,

设QE=x,AC=a,MMII=DE=x.

•・•锐角三角形/8C的面积为1.5,xx-

­**yAC-BH=fa-h=l.5,

4o

••ah=6.

,:DE〃GF,

第22页（共26页）

:.ABDEsABAC,

・DEBM

•■«■■■—二,

ACBH

•.■xh-x«

ah

•_ah__3

a+ha+h

②•；4力=3,则h=&，aa9~=2A/3♦

aa

・・,当&=每寸，a总有最小值为2&，h=-aa，3=2行，

aaaa

此时a=J§，

，当a=«时，。+〃有最小值为3畲，

・・・x=-l孑最大值返，

a+h2

...S=x2有最大值为巨,

4

即当底边长〃为E时，内接正方形面积S最大足.

4

故答案为：Vs»2.

4

20.(