2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学模拟试卷（含答案）

2025・2026学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学模拟试卷

一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知0。的半径为4cm，OP=3cm，则点夕与0。的位置关系是（）

A.点尸在圆内B.点P在圆上C.点。在圆外D.无法确定

2.一元二次方程=0配方后可化为（）

3.一元二次方程2*+5=7x的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

4.已知一个样本数据不，x2,•••,J-孤的平均数和方差分别为亍=3,.*=2,则新数据2%+3,

2毛+3,…，2x^+3,2%+3的平均数和方差分别是（）

A.94B.98C.64D.67

5.如图，△/18c内接于O。，0E为0。的直径，且DEJ.4B于点F，连接若乙4=35。，

A.65°B.70°C.75°D.80°

6.如图，CD为OO直径，弦481。。且过半径OQ的中点〃，过点A的切线交CZ）的延长线于G,且

G〃=6，点E为。。上一动点，CFLAE于点F,当点E从点8出发逆时针运动到点。时，点尸经过的

路径长是（）

C

B.里C.吗D.2岳

33

二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

7.小明在解方程W二x时.，只得出一个根x=L则被漏掉的一个根是

8.学校现有甲、乙两支篮球队，每支球队队员身高的平均数都为1.92米，方差分别为即2=3米2,”,2=5

米2,则身高较整齐的球队为队（填“甲”或"乙”）.

9.电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险一旦发生着火、爆炸，将造成

非常严重的危害.“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段.阳光小区为实现“人车分离”，在小区

外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为45m），其他的边用总长

70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字

形.若车棚占地面积为384m2,设电动车车棚的宽为xm，则列方程为：.

445mD一

[।）墙

出口出口

BC

1（）.用一个圆心角为150。，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为.

11.如图，在AABC，点。，E分别是力“和力C上的点，OE〃BC，AD=3BD，连接CD.现假设可以

在图中随意取点，则这个点取在阴影部分的概率是.

A

QAT—

BC

12.如图，量角器的直径与直角三角板714c的斜边彳8重合，其中/B=&TW，量角器O刻度线的端点N与

点4重合，射线C/）从C4处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，C/）与量角器的半圆弧交于点石，

第35秒时，点E在量角器上对应划过的靛的长度是cm.（结果保留万）

13.如图是由三张大小相同的正方形48C。、EFGH、E"KL纸片组成的“品”字形轴对称图案，若正方

形纸片的边长是3cm,正方形48CO向左平移5cm,整个过程中，用一个圆形（半径可变）将该图案完全

覆盖时，最小面积圆的圆心经过路程是

15.如图，正方形的顶点A，B都在00上，且。。边与0。相切于点E,如果。。的半径为1,那么

16.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点力、R、。均为格点，点。为标的三等分点（靠

近点4）,点E、/分别是线段40、B0上的动点，且分”=5,点G为E”的中点，连接CG、BG.在

滑动的过程中，当CG值最小时，阴影部分的面积是,

三、计算题：本大题共1小题，共6分。

17.解下列方程:

(1)

x(x-3)-x+3=0

(2)

X2-4X+3=2

四'解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.(本小题8分)

《哪吒2》自2025年1月29口上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出

圈也点燃文创消费新热潮.以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编

号4，B，C,。来表示，这4张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好.

A—哪吒B—太乙真人C-申公豹D—敖丙

(1)从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为;

⑵将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡

片(不放回)，请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率.

19.(本小题8分)

为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知

识竞赛.竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩(单位：分，满分100分)中各随机抽取了10名学

生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表：

七年级10名学生成绩统计图八年级10名学生成纨统计图

成绩/分成绩/分

22

⑴表格中的，b=，5,S2(填“>”“v"或"二”)；

(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由；

(3)该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等

级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数.

20.(本小题8分)

某合作社从2022年到2024年种植“红美人”，2022年“红美人”平均亩产量为800kg,引进先进的种植

技术后，“红美人”产量提高，2024年平均亩产量达到1352kg.

(1)若2022年到2024年“红美人”平均亩产量的年增长率相同，求“红美人”平均亩产量的色增长率.

(2)已知该合作社目前“红美人”种植面积为1()亩，每亩的种植成本为3万元，为扩大生产，该合作社决

定2025年增加“红美人”种植面积.经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少().1万

元，在保持种植成本不变的前提下，则2025年该合作社应增加种植面积多少亩？

21.(本小题8分)

如图所示，人8是。。的直径，人。和分别切。O于人，B两点,C。与。。有公共点E,且AO=O£

(I)求证：CO是。。的切线；

(2)若AB=12,BC=4,求AD的长.

22.(本小题8分)

关干x的一元二次方程x2+2(m-l)x+m2-l=0有两个不相等的实数根〜，x2.

(1)求实数〃?的取值范围；

⑵是否存在实数〃?，使得xj2=0成立？如果存在，求出用的值，如果不存在，请说明理由.

23.(本小题8分)

【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？

(1)【初步尝试】如图1,已知扇形。｛8,请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面

积被这条直线平分；

(2)【问题联想】如图2,已知线段请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角

形MNP；

(3)【问题再解】如图3,已知扇形。/8，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圜弧，使扇

形的面积被这条圆弧平分.(友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹)

24.（本小题8分）

如图，为。。的直径，弦CDLAB于点、E，连接4C，BC,BD，尸为4C中点，且。方二1.

（1）求BD的长;

⑵当/。二30。时，

①CD=—；

②求阴影部分的周长和面积.

25.（本小题8分）

如图1,O是正方形力BCD对角线上一点，以。为圆心，OC氏为半径的0。与力。相切于点E，与力。相

交于点尸.

⑵若正方形MCQ的边长为应+1，求OO的半径.

⑶如图2,在（2）的条件下，若点”是半径。。上的一个动点，过点、M作MN工OC交量于点N.当

CM:FM=1:4时,求CN的长.

26.（本小题8分）

荔枝是广东省的特产之一.请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题.

信息及素材

在专业种植技术人员的正确指导下，果农对荔枝种植养护技术进行了研究与改进，使

素材一产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年荔枝平均每株产量是250千克，2025年

达到了360千克，每年的增长率基本相同.

素材二荔枝一般用长方体包装盒包装后进行售卖.

素材三果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒.

⑴任务1:求荔枝平均每株产量的年平均增长率；

⑵任务2：现有长80cm,宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图I）,折成无盖长方体

纸盒（如图2）,为了装下适当数量的荔枝，需要设计底面积为3300cn?的纸盒，计算此时纸盒的高；

⑶任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的

无盖纸盒（如图4）,则此时纸盒的高为cm.（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕.纸板厚度及

剪切接缝处损耗忽略不计）

27.（本小题8分）

【问题提出】

车轮为什么要做成圆形？这里面有什么原理？

【合作探究】

⑴探究A组：如图1,圆形车轮半径为6cm,其车轮轴心O到地面的距离始终为cm.

⑵探究B组：如图2,正方形车轮的轴心为O,若正方形的边长为6cm，求车轮轴心。距离地面的最高点

与最低点的高度差.

（3）探究C组：如图3,有一个破扳的圆形车轮，半径为6cm，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为

90°，车轮轴心为O,让车轮在地上尢滑动地滚动一周，求点废过的路程.

(4)【拓展延伸】探窕。组：如图4,分别以正三角形的三个顶点/，R,。为圆心，以正三角形的边长为

半径作60。圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”•使“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动.在滚

动过程中，其“最高点”和“车轮轴心O”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动的过程中，其

“最高点”和“车轮轴心O”所形成路径的大致图案是()

A.B.C.D.

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】B

7.［答案］x=0

8.【答案】甲

9.【答案】x(72-3x)=384

10.【答案】5

3

H.【答案】白

16

28万

12.【答案】

9

13.【答案】y

14.【答案】5或一15

15.【答案】1

16.【答案】§兀一§6

68

17.【答案】【小题1】

解：方程化为x(x-3)—(x-3)=0

则(x-3)(x-l)=0

•••%-3=0或》-1=0

r,=3.r2=1：

【小题2】

解：移项，得》2-4工=2-3

配方，得/一4刀+4=2-3+4

即(X-2)2=3

开方，得x-2二士为

•••Xi=2-\^»x2=2+V3.

18.【答案】【小题1】

£

4

【小题2】

解：画树状图如下:

小明:

小红:

共有12种等可■能的结果，小明和小红他们抽到的两张卡片恰好配套的结果有4种,

・"、明和小红他们抽到的两张卡片恰好一套的概率为

123

19.【答案】【小题1】

93.2

96.5

【小题2】

解：我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，理由是七年级这10名学生成绩的平均数较高，且方差较

小：(答案不唯一，言之有理即可)

【小题3】

解：依题意,200x^+160x9=256,

1010

・•・估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为256人.

20.【答案】【小题1】

解：设年增长率为r

2022年平均亩产量为800kg,2023年则为800(1+x)kg,2024年为800(1+"kg.

.•.800(1+x)2=1352.

化简得（l+x）2=1.69，

开方得1+x二±1.3.

舍去负根，得x=0.3,即年增长率为30%.

答：“红美人”平均亩产量的年增长率为30%.

【小题2】

设增加种植面枳），亩.

原来种植10亩，成本为10x3=30万元.

增加后种植面积为（10+历亩，每亩成本为（3-0.1歹）万元.

由种植成本不变，列方程：（10+yX3-0.1y）=30.

展开并整理得y2_2（）y=o，

因式分解得MV-20）=0.

解得y=o（舍去）或y=20,即应增加20亩.

答：2025年该合作社应增加种植面积20亩.

21•【答案】【小题1】

证明：连接OQ,OE,

♦••AD切。。于A点，AB是。。的直径,

•/DAB=90°,

,:AD=DE,（）A=OE,OD=OD,

•••△40。0△EQO（SSS）,

.•.乙。石。=4。/1。=90°,

・••CD是。。的切线；

【小题2】

过。作CHLAD于H,

•••AB是。。的直径，AD和BC分别切于A,B两点，

：^DAB=^ABC=^CHA=90°,

•••匹边形A8CH是矩形，

:.CH=AB=12,AH=BC=4,

•••CD是。。的切线，

：.AD=DE,CE=BC,

:.DH=AD-BC=AD-4,CD=AD+4,

♦:CH?+DH2=CA,

A122+(AD4)2=(AD+4)2,

•••AD=9.

22•【答案】【小ri】

方程乂2+2(01-1卜+0)2-1=崎两个不相等的实数根\,x2.

.•.△=4(m-I)2-4(m2-l)=-8m+8>0,

/.m<I;

【小题2】

存在实数m，使得X1X2=0成立；

,/x)x2=0,

:.m2-1=0»

解得：m二一1或m=1，

・•・当m=l时，方程为x2=0,有两个相等的实数根，与题意不符，舍去,

:.m=-1.

23.【答案】【小题1】

如图所示，作乙408的角平分线所在直线0。即为所求；

A

如图，先作MN的线段垂直平分线交MN于点。，再以。为圆心为半径作圆，与垂直平分线的交点即

为等腰直角三角形的顶点；

如图，先作08的线段垂直平分线交03于点N,再以N为圆心NO为半径作圆，与垂直平分线的交点为

M,然后以。为圆心，为半径作圆与扇形048所交的圆弧C。即为所求.

24•【答案】【小题1】

解：・・・力/为0。的直径,

:.N/C8=90。,

・.•万为4c中点,。为48中点,

/.OF||8C且。/二二BC,

2

47=23'=2,

•••弦CD1/6于点石，

二BD，

；.BD=BC=2；

【小题2】

①••弦CD1/18于点E，

:.BE上CD，CD=2DE，

vZZ)=30%M=2，

••.BE=1，£)£=炉=和

:.CD=2®

故答案为：2\/3

②连接OC,

G

A----1F7B・；/C4B=ZD=30%OA=O€,

:.ZOAC=Z(X：A=3QO^

ZAOC=120°,

在RlZ\/BC中,

•.•Z/1C8=9O。，BC=2,NCZ3=3()。，

AB=2BC=4,AC=夙C=26

120^.2乃

，元的长=4

180T

阴影部分的周长二竺+26,

3

阴影部分的面积=12%22-J_x2"xl="-#；

36023

25.【答案】【小题1】

方法一：证明：连接OE,过点。作OG1/BF点G，

•••00与/。相切于点石，

；.0E1AD.

••晒边形45CZ）是正方形，/C是正方形的对角线，

•\ZBAC=ZDAC=45°

：.0E=0G,

••,0后为。。的半径，

.•.0（7为。。的半径，

••,0G1/8,

.•.18与0。相切.

方法二：

证明：连接O月，过点O作0G148于点G,

•••0。与力。相切于点E，「.0E1/。，

；.ZAEO=ZAGO=90。，

•・•四边形45CZ）是正方形，

ABAC=ADAC=45°^

又・,・力0=40，

/.AJOE^A/1CX；（AAS）,

；.0E=0G,

•.•0后为0。的半径，

.♦.0G为OO的半径，

•：0GiAB,

.・.18与0。相切.

证明：过点。作0G148「点G,连接0E.

•・・//0与。。相切，OE为。。半役，

：.0E1AE，

•••Z/1EO=90。，

•••0G1/8，

・・・Z/1G0=90。，

又・・•四边形/BCD为正方形，

：,ZBAD=%°,

・•・四边形/1WG为矩形，

又•「力。为正方形的对角线，

：,ZEAO=ZGAO=ZAOE=45。，

.\OE=AE,

・•・矩形AEOG为正方形,

：・0E=0G.

乂・・・。后为。。的半径，

.•.0G为OO的半径，

又•••0G1/8,

.・./8与。0相切.

【小题2】

解：•・•力。为正方形4BCZ）的对角线，

・・・4MC=45。，

•••0。与力力相切于点月，

••ZE。=90。，

・••日（1）可知/£=0£设AE=OE=OC=OF=R，

在RtZVf*。中，

-AE2^EO2=AO2^

••W+R2,

・・・K>0，・・・/。=以，

乂•.•正方形的边长为Ji+1.

在RIA4）C中，

；.AC=yjAD2+CD2=V2（V2+l）,

'•"OA+OC=AC>

.\V2/?+/?=V2（V2+l）,

••・R="

二0。的半径为JL

【小题3】

方法一：

解：连接ON，设CM=A，

：.CF=5k,

；.OC=（）N=2.5k,

••・0M=0C-CM=15k.

在RlAOMV中，由勾股定理得：MN=2k，

在RSCMM中，由勾股定理得：CN=®，

又<FC=5k=2R=2x6=2收，

.,2>/2

••A=-----

5

.加n2及2所

・・CN=、/2x---------------

55

AED

方法二：

解：连接/W，

为00的直径，

:"CNF=900,

："FNM+/CNM=%。，

•；MNiAC，

；・ZNFM+NFNM=90°，

:"NFM=/CNM，

ZNCM:〃，CN，

:.XCNMsRCFN，

:・CN?=CMCF，

•••CM:我M=l:4，CF=5CM，

••・CN=«CM，

•：CF=2R=2x&=2叵

•e/12\/2

55

­/z2V22ViO

・・CN=、/5x---------------

55

AED

方法三：

解：连接“N，

•・•成为。。的直径，

；・ZCNF=90°,

；.NFNM+/CNM=W。,

••,MNA.AC，

："