2025-2026学年江苏省南通市海安市九年级（上）期中数学试卷

2025・2026学年江苏省南通市海安市九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题

目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

2.（3分）已知x=2是一元二次方程》2-履-2=0的一个根，则上的值为（）

A.-1B.0C.1D.3

3.（3分）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，摸到白球的概率

为g,则红球的个数为（）

5

A.1B.2C.3D.4

4.（3分）将二次函数），=/向上平移3个单位长度，所得二次函数的解析式为（）

A.y=f+3B.y=x2-3C.y=（x+3）2D.y=（x-3）2

5.（3分）某大桥桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为当水面宽度44为20/〃

6.（3分）如图，。。是△力8c的外接圆，外角NC8E的度数为50°（）

第1页（共25页）

A.50°B.80°C.100°D.130°

7.（3分）有2人患了流感,经过两轮传染后共有98人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x人（）

A.5B.6C.7D.8

8.（3分）如图，PA,P8是。。的切线，A,4。是。0的直径，若NA4C=25°（）

A.y\<>,2B.yi^yiC.y\>yiD.y\=yi

10.（3分）对任意的实数1V〃?W3,不等式（x-2）（x-4+加）>0恒成立（）

A.xVl或Q3B.xVl或x>2C.x<2或x>3D.或x>3

二、填空题（本大题共6小题，第11〜12题每小题3分，第13〜16题每小题3分，第16题每空2分,

共22分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

11.（3分）点0（1,3）关于原点的对称点坐标为_____________

12.（3分）抛物线歹=-（x-1）2+3的顶点坐标是____________

13.（4分）如图，N/OB=90°,NB=25°,若点，在上,则旋转角a的度数为_________

A0

第2页（共25页）

14.(4分)如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点。为圆心的圆的一部分，经过圆心O交圆弧

于点£,且CO=4/〃，则。。的半径为m.

15.(4分)已知抛物线》=72+以+(?(力总是常数)经过点力(-1,2),8(m,2).当0〈〃<1时

16.(4分)如图，等腰直角三角形力8。中，乙4。8=90°,连接8。,取8。的中点£则乙伙m=

三、解答题(本大题共9小题，共98分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤)

17.(10分)解下列方程：

(1)x(%-5)=0；

(2)x(x+4)=8x+12.

18.(8分)在平面直角坐标系.丫。)，中，已知448。,将448。绕点。按顺时针方向旋转90°后得到△48C.

(1)画出△小画C；

(2)写出4点对应点Ai的坐标；

(3)若点。在以。(3,3)为圆心的圆上，则该圆的半径为.

第3页(共25页)

19.（8分）已知：。。是平行四边形48CQ的外接圆.求证：四边形48CO是矩形.

20.（10分）每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展丰富多彩的阅读活动（4科技类、

B：文学类、C：政史类、D：其他类），甲同学从4、8两类书籍中随机选择一种，乙同学从4、8、C、

。四类书籍中随机选择•种.

（1）乙同学恰好选中B的概率是；

（2）求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率.（用树状药或列表法）

21.（12分）己知二次函数y=a（x-2）2・1（〃工0）,且图象过点（3,0）.

（1）求a的值；

（2）若二次函数图象交x轴于4,8两点，求力8的长.

22.（12分）如图1,为。。的直径，C为。。上一点，垂足为。.

（1）求证：力。平分NQ/18：

（2）如图2,延长彳8交直线。。于点E,连接3c.若48=20,求同与BE、CE组成的图形的面积.

第4页（共25页）

23.（12分）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕.某经销商

俏售以“苏超”为主题的7恤衫，平均每天可售出40件.每件盈利30元.为了尽快减少库存、增加盈

利，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元

（1）降价后每件丁恤衫的利沟为（元），平均每天可售出件（用含x

的代数式表示）；

（2）若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件7恤衫应降价多少元？

24.（13分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，点彳为平面内任意一点，连接4W,作线段4W

的垂直平分线4,过点M作x轴的垂线，2,记八，，2的交点为P.在戈轴上多次改变点M的位置，得到

相应的点尸，把这些点连接起来形成图象

【操作与发现】

（1）若点力的坐标为（（），2；.

①当M为（・2,0）时，点夕的坐标为:图象人属于哪种函数图象；（填

“一次函数”或“二次函数”）

②设点P的坐标是（x,y）,当-2VxV4时，求y的取值范围；

【实践与运用】

（2）若点4的坐标为（小，/〃）（〃[W0）,多次改变M点的位置，得到相应的点乃，L2的最高点或最低

点在图象上上运动，请求出图象上满足的函数关系式.

oxox

25.（13分）已知，如图1,在正方形49CO中，ZXECE为等腰直角三角形（CEVCD）,NEFC=90°,

点G为线段4E的中点，连接尸G.

第5页（共25页）

AD

(2)将△EC/绕。点逆时针旋转a(0°<a<IS00).

①如图2,CQ=4,CF=2,求G厂的长；

②如图3,若上户过4c中点股，当点力、E、产三点共线时，求&L

FC

第6页(共25页)

2025-2026学年江苏省南通市海安市九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案BCBABCBBDA

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题

目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【解答】解：力是轴对称图形，彳日不是中心对称图形.

8是轴对称图形，也是中心对称图形，

。是轴对称图形，但不是中心对称图形，

故选：B.

2.（3分）已知％=2是一元二次方程x2-Ax-2=0的一个根，则上的值为（）

A.-1B.0C.1D.3

【解答】解：・・“一2是一元二次方程f-h-z-O的一个根，

，4-7女-2=0,

解得女=3,

故选：C.

3.（3分）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，摸到白球的概率

为g,则红球的个数为（）

5

第7页（共25页）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：设红球的个数为x个,

由题意得:3_4

3+x5

解得：X—2,

经检验，x=3是原方程的解,

即红球的个数为2个,

故选:B.

4.（3分）将二次函数》=/向上平移3个单位长度，所得二次函数的解析式为（）

A.y=/+3B.y=x2-3C.y—(x+3)2D.y=(x-3)2

【解答】解：二次函数y=W的顶点坐标为（0,3）,0）向上平移3个单位长度得到点的坐标为（6,

所以所得的图象解析式为y=/+3.

故选：A.

5.（3分）某大桥桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为y=」->2，当水面宽度/也为20加

y25

C.1()/〃D.16m

2

【解答】解：根据题意得4的横坐标为1（）,将x=10代入得：y=-JLX16=-4«

25

-4),

:・CO=46，

・••水面与桥拱顶部的高度等于4〃?，

故选：B.

6.（3分）如图，OO是△48。的外接圆，外角NC8E的度数为50°（）

第8页（共25页）

c

o

E

A.50°B.80°C.100°D.130°

:・ND=NCBE=50°,

ZJOC=2ZD=100°,

故选：C.

7.（3分）有2人患了流感,经过两轮传染后共有98人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x人（）

A.5B.6C.7D.8

【解答】解：根据题意得：2+2r+x（4+2x）=98,

解得：x=6或x=-3（舍去），

则x的值为6.

故选：B.

8.（3分）如图，PA,P8是。。的切线，A,4C是。0的直径，若NA4C=25°（）

【解答】解：•・•巴，P8是。。的切线，

・・・/C4尸=90°,PA=PB,

：,/P4B=NPBA,

二NBAC=25",

第9页（共25页）

；,/PAB=NCAP-/BAC=65°，

AZP=180°-65°-65°=50°.

故选：B.

【解答】解：Vx=-1时，y=5,y=7,

工抛物线的对称轴为直线x=-1，且抛物线开口向上，

2

,:P（7〃?，”），0（-2）？-5,"）都在该函数图象上，且2叫7吧!.=-鼻，

22

"=用

故选：D.

10.（3分）对任意的实数1V〃?W3,不等式（x-2）（x-4+〃?）>0恒成立（）

A.xVl或B.xVl或x>2C.xV2或x>3D.xVl或x>3

【解答】解：..・lVmW3,

-8〈-〃V-1,

••・1W8-〃?V3,

分情况讨论不等式恒成立的条件原不等式是（x-2）[x-（7-/H）]>0,

当x-2>3且x-（4-w）>0

.\x>5,x>4-m,要让x>4-对所有7-〃？都成立，

即x23.

当x-2V3£Lx-（4-切）<0时，

/.x<4,x<4-/〃，要让xV4-〃?对所有8-〃?都成立，

，xV1,

综合得出：xVl或x23,

故选：A.

二、填空题（本大题共6小题，第11〜12题每小题3分，第13〜16题每小题3分，第16题每空2分,

共22分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题R相应位置上）

第10页（共25页）

11.（3分）点P（1,3）关于原点的对称点坐标为（7，・3）.

【解答】解：点（1,3）关于原点对称的点的坐标是（・3,

故答案为：（7，-3）.

12.（3分）抛物线y=・（x・1）2+3的顶点坐标是（1,3；.

【解答】解：由顶点式可知：y=-（x-I）2+4的顶点坐标为（1,3）.

故答案为：（3,3）.

13.（4分）如图，NXO8=90°,/B=25°,若点才在48上，则旋转角a的度数为50°.

【解答】解：由条件可知乙4=65°,

由旋转性质可知04=。力'，

AZA=Z0A'力=65°,

AZAOAr=180°-65°-65°=50°,

・・・旋转角a的大小是50°,

故答案为：50.

14.（4分）如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点。为圆心的圆的一部分，经过圆心。交圆弧

于点E,且。。=4加，则。。的半径为_也一〃

【解答】解：连接CO,

第11页（共25页）

:・EM上CD,且CW=X1X4=2（〃?）.

22

在RtZXOCM中，令0。的半径为rm,

'：OC1=OM2+CMh,

，/2=（6-r）4+22,

整理得，12r=40,

解得

6

即OO的半径为也小

3

故答案为：犯.

3

15.（4分）已知抛物线y=-x2+bx+c（b,c是常数）经过点A（-1,2）,B（m,2）.当0<in<1时

1V/?<0.

【解答】解：:抛物线y=-x2+bx+cCb,。是常数）经过点力（-1,8（w

・•・抛物线心的对称轴为直线x=12±n,

2

•••b-_4+m

22

b=m-1.

V8<m<l,

/.-1</H-4<0,

的取值范围为-1V6V6.

故答案为：-IV力vo.

16.（4分）如图，等腰直角三角形45c中，4亿'8=90°,连接BD,取8。的中点E,则NMQE=45

若/。=6,AM=2_5A/2_.

第12页（共25页）

M

A

BC

【解答】解：连接并延作。/J_GW,则NMC尸=90，,

•••△力8。是等腰直角三角形，乙4c8=90°,

：.CB=CA,NBCF=NACM=90°-NBCM,

•・•将边CA绕点C旋转至CD处，

：.CD=CA,

：.CB=CD,ZCDA=ZCAD,

:C加经过取>的中点E,

・・・CM垂直平分BO,

:・BM=DM,NDEM=90°,

4CBD=/CDB,/MBD=ZMDB,

・•・ZCBM=ZCBD+/MBD=ZCDB+/MDB=ZCDA=ZCAD,

AZC5F=180°-ZC^M=1800-ZCAD=ZCAM,

在4CBF和△C4%中，

rZCBF=ZCAM

<CB=CA，

ZBCF=ZACM

:.XCBF在丛CAM(.ASA),

:.FC=MC,BF=AM,

；・NDME=NBME=/尸=45〉,

：・/MDE=90°-ZDME=45°,

VJD=6,4W=2,

:,BM=DM=AI»AM=7,BF=AM=2,

:.MF=BM+BF=M

'.\WF=^/pC2+HC4=y/2MC=10,

:,MC=5ypj,

第13页（共25页）

故答案为：45,5尬.

三、解答题(本大题共9小题，共98分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤)

17.(10分)解下列方程：

(I)x(%-5)=0；

(2)x(x+4)=8x+12.

【解答】解：(1)x(x-5)=0,

则x=4或x-5=(),

解得：X4=0，X2=8;

(2)x(x+4)=8x+12,

整理得：X5+4X-8x-12=6,

即f-4x-12=6,

因式分解得：(x+2)(x-6)=6,

贝iJx+2=0或x・2=0,

解得：x[=-5,X2=6.

18.(8分)在平面直角坐标系工3，中，已知4/18。,将448。绕点。按顺时针方向旋转90°后得到△出81c.

(1)画出画C；

(2)写出/点对应点Ai的坐标(3,0)；

(3)若点C在以。(3,3)为圆心的圆上，则该圆的半径为J.

第14页(共25页)

（2）由图可得，/点对应点4的坐标为（3,0）.

故答案为：（5,0）.

（3）由勾股定理得，匚”，

・••该圆的半径为6.

故答案为：5.

19.（8分）已知：OO是平行四边形力8c。的外接圆.求证：四边形48CQ是矩形.

【解答】证明：•・•四边形为AC。是平行四边形,

第15页（共25页）

,：OO是口ABCD的外接圆，^EJABCD是。。的内接四边形，

AZJ+ZC=180°,Z5+ZZ）=180°,

A2ZC=180°,2NQ=180",

AZA=ZC=ZD=\^0°,

・•・四边形/4CQ是矩形.

20.（10分）每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展丰富多彩的阅读活动（/：科技类、

B：文学类、C：政史类、D：其他类），甲同学从4、8两类书籍中随机选择一种，乙同学从力、B、C、

。四类书籍中随机选择一种.

（1）乙同学恰好选中8的概率是—▲一；

4

（2）求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率.（用树状国或列表法）

【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，

・••乙同学恰好选中B的概率是工.

5

故答案为：1.

4

（2）列表如下:

ABCD

A（力，A）(4,B)(4C)(4D)

B(B,A)(8,B)(8,C)(8,D)

共有3种等可能的结果，其中甲，

・•・甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为2=生.

84

21.（12分）已知二次函数y=a（x-2）2-1（a#=0）,且图象过点（3,0）.

（1）求。的值；

（2）若二次函数图象交x轴于48两点，求力8的长.

【解答】解：（1）把点（3,0）代入（x-6）2-1,得

（3-2）2a-7=0.

解得a=\\

（2）由（1）知，二次函数解析式为y=（x-8）2-1,即y=（x-6）（x-1）.

则二次函数图象交x轴于（3,8）,0）两点,

所以AB的长为：3-6=2.

第16页（共25页）

22.(12分)如图1,48为。。的直径，。为。。上一点，垂足为。.

(1)求证：4C平分ND48；

(2)如图2,延长相交直线力。于点E,连接3C.若力8=20,求正与砥、CE组成的图形的面积.

图1图2

【解答】(1)证明：如图1,连接OC,

•・・力。和过点。的切线互相垂直，垂足为。，

：.AD±CD,CDA.OC,

：.OC//AD,

/.ZBOC=ZBAD=/BAC+NDAC,

:・/BOC=2NBAC,

：.NBAC+ND4C=3NBAC,

；・ND/1C=NB4C,

平分ND48.

(2)解：如图2,作。/L4)于点R

VAD±CD,CD.LOC,

AZOFD=ZOCD=ZD=903,

・•・四边形OCO"是矩形，

•・Z8为。。的直径，力3=20,

DF=OC=CM=04=Li5=10,

8

：.AF=AD-DF=5,

VZAF,O=ZOCE=90°,

・・・CD=OF=7OA2-AF7=A/104-52=4^3，

AJC=VAD2-K：D5=V152+(5V3)7=I。《,

A^C=VAB2-AC2=^206-(10>/3)2=I。,

第17页(共25页)

；・OC=OB=BC,

•••△8OC是等边三角形，

：.NCOB=60°,

AZ£=90°・NCOB=30°,NC4E=£

2

：.ZE=ZCAE

・・・£C=/1C=1()V§,

：・s阴影=SACOE・s阜形COB=8义iox10V3-迎二SOfVi-奥匹，

23603

，丽与BEyfz-砂上

8

图2

图1

23.（12分）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕.某经销商

销售以“苏超”为主题的r恤衫，平均每天可售出40件.每件盈利30元.为了尽快减少库存、增加盈

利，经过一段时间的销色发现，销色单价每降低1元

（1）降价后每件7恤衫的利涧为（3（）-工）（元），平均每天可售出一（40+4x）件（用含x

的代数式表示）；

（2）若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件7恤衫应降价多少元？

【解答】解：（1）依题意得：降价x元后，每件衬衫的利润为（30-x）元.

故答案为：（30・x）；（40+4x）.

（2）依题意得：（307）（40+4x）=1500,

第18页（共25页）

解得：xs=5,X2=15,

又•・•要尽快减少库存、增加盈利,

：.x=\5.

答：每件商品应降价15元.

24.（13分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，点力为平面内任意一点，连接4W,作线段4W

的垂直平分线小过点M作了轴的垂线12,记入，/2的交点为P.在x轴上多次改变点"的位置，得到

相应的点尸，把这些点连接起来形成图象

【操作与发现】

（1）若点力的坐标为（0,2）.

①当必为（-2,0）时，点P的坐标为（-2,2）；图象》属于哪种函数图象二次函数；

（填“一次函数”或“二次函数”）

②设点P的坐标是（x,y）,当-2<xV4时，求y的取值范围；

【实践与运用】

（2）若点力的坐标为（〃7,小）（机大0），多次改变切点的位置，得到相应的点22,上的最高点或最低

点在图象£3上运动，请求出图象心满足的函数关系式.

4y

o>xo>x

【解答】解：（1）①如图1所示，此时可知四边形力为正方形，

故。点坐标为（-2,7）.

图1

第19页（共25页）

设点M的坐标为（w,0）,2）,

故4M的中点0坐标为（手，1）,

当mWO时,如图7,4“的中垂线/］交x轴于点7,

VZQMS+ZMQS=ZSQT+ZMQS=90°,

：.4QMS=4SQT,

故tanZQMS=tanZ.SQT,即强二红，

MSQS

.T-QS2_7

••oC/—————,

MSm

7

4

：,xT=x^MT=m+（MS+ST）=ni+（_2_2）=.^~

mm2m

5A

印点7坐标为（型二A,4）,

2m

4

故由待定系数法可知直线。7的表达式为），=坦乂+1-曳-

24

222

令x=xp=m,PBJ2L-+1_IB—=1+HL_,

824

2

即点尸坐标为（机，1+N-）.

3

2

••・点尸所在图象L的函数表达式为丁=工-+1，

8

当〃?>0时，如图4所示，

2

同理可证得点P所在图象Li的函数表达式为），=三一+1，

第20页（共25页）

2

②•・•点P所在图象L\的函数表达式为y=Z-+l，当-2<A<6时,

令x=0,则y加〃=1：令x=8加以=5,

故10V5.

则4W的中点。的坐标为（掾，号）,

由待定系数法可得直线4"的表达式为十皿,

m-tt-m

由（1）中证明可得直线PQ的斜率为依。=上口,

m

故可设直线尸。的表达式为），=支2+6空主，巫）,

m22

22

得6二0迎二L+,

7m

25

故直线PQ的表达式为），=£—+21n口，,

m2m

令x=l,则y=-l-12，

2m

则点尸坐标为（3—t2-

5m

故点P所在的图象上的表达式为尸堂-x2-x+m，

2m

第21页（共25页）

・•・图象〃的顶点坐标为(〃?，工正)，

2

•・•〃的最高点或最低点在图象上上运动，

，图象小满足函数y="I"x.

25.(13分)已知，如图1,在正方形力8CQ中，△