2025年填最小的数的试题及答案

2025年填最小的数的试题及答案2025年某科技公司研发项目需分三个子项目推进，子项目A每4个工作日需提交一次进度报告，子项目B每6个工作日需提交一次，子项目C每9个工作日需提交一次。若2025年1月1日（工作日）为三个子项目首次同时提交报告的日期，问下一个三个子项目同时提交报告的最早日期是该年的几月几日？（假设2025年为平年，1月有31天，2月有28天，3月有31天，4月有30天，5月有31天，6月有30天，7月有31天，8月有31天，9月有30天，10月有31天，11月有30天，12月有31天，每周工作5天，无节假日调休）解答：首先需计算4、6、9的最小公倍数（LCM）。分解质因数：4=2²，6=2×3，9=3²，因此LCM=2²×3²=36。即每36个工作日后三个子项目同时提交报告。由于题目假设无周末调休且所有自然日均为工作日，第1个工作日为1月1日，第36个工作日即为1月1日之后的第35天（含1月1日当天）。1月有31天，35天后的日期计算如下：1月1日+30天为1月31日（第31天），剩余5天为2月1日至2月5日，因此第36个工作日为2月5日。故下一个同时提交报告的最早日期是2025年2月5日。已知关于x的不等式x²(2k+1)x+k²+k≥2025在x∈[1,5]时恒成立，求整数k的最小可能值。解答：将不等式整理为x²(2k+1)x+(k²+k2025)≥0，设f(x)=x²(2k+1)x+(k²+k2025)，这是开口向上的二次函数，需保证其在区间[1,5]上的最小值≥0。二次函数对称轴为x=(2k+1)/2=k+0.5，分三种情况讨论：1.对称轴≤1（k≤0.5）：f(x)在[1,5]单调递增，最小值为f(1)=k²-k-2025≥0。解方程k²-k-2025=0，根为k=[1±√(1+4×2025)]/2≈[1±90.005]/2，正根≈45.502，负根≈-44.502。因此k≤-45（整数）。2.对称轴≥5（k≥4.5）：f(x)在[1,5]单调递减，最小值为f(5)=k²-9k-2005≥0。解方程k²-9k-2005=0，根为k=[9±√(81+8020)]/2≈[9±90.005]/2，正根≈49.502，负根≈-40.502。因此k≥50（整数）。3.对称轴在(1,5)之间（0.5<k<4.5）：最小值在顶点处，f(k+0.5)=-2025.25<0，不满足条件。综上，k的最小整数值为-45。2025年某新能源汽车电池续航测试中，测得电池剩余电量Q（单位：kWh）与行驶时间t（单位：小时）的关系为Q(t)=(t²+2025)/(t+5)（t≥0）。为保证安全，要求剩余电量不低于20kWh，问电池剩余电量的最小值是否满足安全要求？若不满足，求至少需要增加多少初始电量才能满足；若满足，求最小值是多少。解答：令f(t)=(t²+2025)/(t+5)（t≥0），通过配方法变形：f(t)=[(t+5)²-10(t+5)+2000]/(t+5)=(t+5)+2000/(t+5)-10。设u=t+5（u≥5），则f(u)=u+2000/u-10。根据均值不等式，u+2000/u≥2√(u×2000/u)=2√2000≈89.44，当且仅当u=√2000≈44.72时取等号。因此f(u)≥89.44-10≈79.44kWh>20kWh，满足安全要求，最小值约为79.44kWh。2025年某城市规划在两条垂直高速公路L1（x轴）和L2（y轴）之间修建连接A(3,0)和B(0,4)的快速通道，需避开圆心在(1,1)、半径1的圆形生态区（通道上任意一点到(1,1)的距离≥1）。求满足条件的快速通道的最短可能长度。解答：不考虑生态区时，A到B的直线距离为√(3²+4²)=5。检查直线AB是否与生态区相交：直线AB的方程为4x+3y=12，圆心(1,1)到直线的距离d=|4×1+3×1-12|/√(4²+3²)=5/5=1，等于半径，说明直线AB与生态区相切。切点坐标为(1.8,1.6)（在AB线段上），满足距离≥1的要求。由于直线AB是连接A、B的最短路径且符合生态区要求，故最短长度为5。已知数列{aₙ}满足a₁=2025，aₙ₊₁=aₙ+2√aₙ+1（n≥1），求使得aₙ为完全平方数的最小正整数n（n≥1）。解答：递推式可变形为aₙ₊₁=(√aₙ+1)²。设bₙ=√aₙ，则aₙ=bₙ²，递推得bₙ₊₁=bₙ+1。初始条件b₁=√2025=45，因此bₙ=45+(n-1)=44+n，aₙ=(44+n)²。显然a₁=2025=45²已是完全平方数，故最小正整数n=1。在平面直角坐标系中，点P(x,y)满足x²+y²≤2025（x,y为整数），求x+y的最小值及对应点P的坐标。解答：x²+y²≤2025表示以原点为圆心、半径45的圆内或圆上的整数点。要求x+y的最小值，即求直线x+y=k的最小k值，使得直线与圆有整数交点。由柯西不等式，(x+y)²≤2(x²+y²)≤4050，故x+y≥-√4050≈-63.64，最小整数k=-63。验证是否存在整数解：设y=-63-x，代入得x²+(-63-x)²