2025年CPA《财管》期权计算题专项卷

2025年CPA《财管》期权计算题专项卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______题目一某公司计划投资一项项目，该项目在年末（t=1）产生的现金流存在不确定性。预计标的资产（项目相关股票）在一年后的价格有两种可能：上涨到120元，下跌到80元。该公司当前正在考虑购买一个执行价格为100元的该股票的欧式看涨期权作为风险管理工具。已知该股票当前价格为100元，一年期的无风险年利率为8%（连续复利），该股票的年波动率为30%。要求：（1）使用二叉树模型，计算该欧式看涨期权在一年后的预期价值。（2）使用风险中性定价法，计算该欧式看涨期权的当前价值。（3）假设该公司不购买期权，直接投资该项目。若项目本身的投资额为200万元，且项目成功（股票上涨）时的净现值（NPV）为150万元，项目失败（股票下跌）时的净现值（NPV）为-50万元。请计算该投资项目的期望净现值。（4）假设该公司购买了一个执行价格为100元的该股票的欧式看涨期权，并持有到期。请计算在一年后股票价格分别为120元和80元时，该投资组合（项目+期权）的净损益。题目二A公司是一家科技企业，其股票当前市场价格为200元。公司计划发行一个包含以下条款的认股权证：*认股权证的行权价格为150元。*每张认股权证可认购1股A公司普通股。*认股权证的有效期为3年。*A公司的年股利预计为每股2元，且预计未来股利将每年增长5%。*A公司股票的当前年波动率为25%，无风险年利率为6%。要求：（1）使用Black-Scholes模型，计算该认股权证的当前价值（假设认股权证可视为欧式看涨期权）。（2）计算该认股权证的Delta值，并解释其经济含义。（3）如果A公司同时发行了面值为100元的该公司债券，债券期限为3年，票面利率为6%，到期一次还本付息。假设市场认为A公司存在一定的违约风险，导致债券的到期收益率（YTM）为8%。请计算A公司该债券的当前市场价值。题目三B公司持有100股某股票，当前股价为50元。公司管理层担心股价下跌，于是买入了一个执行价格为55元的该股票的欧式看跌期权进行对冲。该看跌期权当前售价为3元。B公司认为未来一个月内股价可能大幅波动，但预期方向不明。一个月后，股价可能上涨到60元，也可能下跌到40元。无风险月利率为0.5%。要求：（1）计算B公司当前持有的股票投资组合的Delta。（2）计算B公司买入看跌期权后，投资组合的Delta。（3）假设一个月后股价上涨到60元，计算B公司投资组合（股票+看跌期权）的最终价值。（4）假设一个月后股价下跌到40元，计算B公司投资组合（股票+看跌期权）的最终价值。（5）对比（3）和（4）的结果，分析买入看跌期权对冲的效果。题目四C公司是一家农场主，预期未来三个月后需要出售一批农产品。农产品当前的期货价格为4元/公斤。C公司担心未来期货价格下跌，于是卖出了一个执行价格为3.8元/公斤的该农产品三个月期欧式看跌期权，期权费收入为0.2元/公斤。假设农产品期货的月波动率为10%，无风险月利率为0.4%。C公司预期未来三个月后，农产品实际销售价格为3.5元/公斤。要求：（1）使用Black-Scholes模型，计算C公司卖出该看跌期权的初始估值（期权费收入是否足够覆盖潜在损失）。（2）假设三个月后农产品实际销售价格为3.5元/公斤，计算C公司通过实物交割履行看跌期权义务的净损益。（3）假设C公司选择对冲风险，卖出的看跌期权Delta为-0.6。C公司需要持有多少份该期货合约（假设每份合约合约规模为10公斤）进行对冲？（4）如果三个月后农产品实际销售价格为3.5元/公斤，且期货价格也相应下跌到3.5元/公斤，计算C公司持有期货对冲头寸的损益，以及最终投资组合（现货销售+期权+期货对冲）的总损益。题目五D公司正在评估一项投资机会，该投资需要立即投入100万元。未来一年后，项目成功概率为50%，成功时的现金流为200万元；项目失败概率为50%，失败时的现金流为0。D公司认为项目成功与否与市场整体状态相关。市场无风险利率为5%。D公司使用二叉树模型进行评估，假设未来一年市场有两种状态：状态好，项目成功概率变为70%；状态差，项目成功概率变为20%。市场状态好时，项目成功现金流为250万元，失败现金流为-50万元；市场状态差时，项目成功现金流为50万元，失败现金流为0。假设市场状态好与状态差的概率相等（各50%），且市场状态变化对无风险利率无影响。要求：（1）使用风险中性定价法，计算该投资机会在市场状态好和状态差下的期望净现值。（2）使用二叉树模型，计算该投资机会的当前价值。（3）计算该投资机会的Delta值，并解释其含义。（4）如果D公司购买了一个执行价格为120万元的该投资机会相关资产的欧式看涨期权（可视为对该项目未来现金流的保险），期权费为10万元。请计算购买期权后，该投资项目的期望净现值。试卷答案题目一（1）上行价格Su=120，下行价格Sd=80，当前价格S0=100，执行价格K=100，无风险利率r=8%，时间T=1年。上行因子u=Su/S0=120/100=1.2，下行因子d=Sd/S0=80/100=0.8。上行概率q=(e^(rT)-d)/(u-d)=(e^(0.08*1)-0.8)/(1.2-0.8)=(1.083287-0.8)/0.4=0.282875/0.4=0.7071875(近似值)。看涨期权上行价值Cu=Max(120-100,0)=20。看涨期权下行价值Cd=Max(80-100,0)=0。看涨期权当前价值C0=[q*Cu+(1-q)*Cd]/e^(rT)=[0.7071875*20+(1-0.7071875)*0]/e^(0.08)=14.14375/1.083287=13.0804(近似值)。答：该欧式看涨期权在一年后的预期价值为13.08元。（2）看涨期权当前价值C0=S0*N(d1)-K*e^(-rT)*N(d2)。其中，d1=[ln(S0/K)+(r+σ²/2)*T]/(σ*sqrt(T))=[ln(100/100)+(0.08+0.3²/2)*1]/(0.3*sqrt(1))=[0+(0.08+0.045)]/0.3=0.125/0.3=0.4166667。d2=d1-σ*sqrt(T)=0.4166667-0.3*1=0.1166667。N(d1)≈N(0.4167)≈0.6554(查标准正态分布表或使用计算器)。N(d2)≈N(0.1167)≈0.5465(查标准正态分布表或使用计算器)。C0=100*0.6554-100*e^(-0.08*1)*0.5465=65.54-100*0.9231*0.5465=65.54-46.3222=19.2178(近似值)。答：该欧式看涨期权的当前价值为19.22元。（3）期望净现值EPV=0.5*(150万)+0.5*(-50万)=75万-25万=50万。答：该投资项目的期望净现值为50万元。（4）情况1：股价为120元。项目价值=150万。期权价值Cu=Max(120-100,0)=20元。组合净损益=项目价值+期权价值-期权费=150万+(20元*100股)-(3元*100股)=150万+2000-3000=149.7万元。情况2：股价为80元。项目价值=-50万。期权价值Cd=Max(80-100,0)=0元。组合净损益=项目价值+期权价值-期权费=-50万+0-(3元*100股)=-50万-3000=-50.3万元。答：一年后股票价格为120元时，组合净损益为149.7万元；股票价格为80元时，组合净损益为-50.3万元。题目二（1）认股权证视为欧式看涨期权，标的价格S0=200，行权价格K=150，无风险利率r=6%，波动率σ=25%，时间T=3年。d1=[ln(S0/K)+(r+σ²/2)*T]/(σ*sqrt(T))=[ln(200/150)+(0.06+0.25²/2)*3]/(0.25*sqrt(3))=[ln(4/3)+(0.06+0.03125)*3]/(0.25*1.732)=[0.287682+0.24375]/0.433=0.531432/0.433=1.2274。d2=d1-σ*sqrt(T)=1.2274-0.25*1.732=1.2274-0.433=0.7944。N(d1)≈N(1.2274)≈0.8907，N(d2)≈N(0.7944)≈0.7865。认股权证价值P=S0*N(d1)-K*e^(-rT)*N(d2)=200*0.8907-150*e^(-0.06*3)*0.7865=178.14-150*0.8396*0.7865=178.14-97.826=80.314(近似值)。答：该认股权证的当前价值为80.31元。（2）Delta=N(d1)=0.8907。经济含义：当股票价格每变动1元时，认股权证的理论价值约变动0.8907元。答：该认股权证的Delta值为0.89，表示股票价格上涨1元，认股权证价值预计上涨0.89元。（3）债券面值FV=100，票面利率coupons=6%,期限T=3年，到期收益率YTM=8%，每年付息一次。债券当前价值PV=[coupons*FV/(1+YTM)^t+FV/(1+YTM)^T]=[6*100/(1.08)^3+100/(1.08)^3]=[600/1.259712+100/1.259712]=476.31+79.35=555.66(近似值)。答：该债券的当前市场价值为555.66元。题目三（1）股票组合价值=100*50=5000元。Delta_S=N(d1)(需要计算)。假设无风险利率为0，简化计算（实际中利率不为0，但此处未给波动率，通常题目会隐含假设或需要跳过）。Delta_S≈N(d1)=N[ln(S0/K)+(r+σ²/2)T]/(σ√T)。此题未给波动率σ，无法精确计算Delta_S。若假设σ=0（理论上无波动），则Delta_S=1。若假设σ有限但未给，无法计算。题目要求计算Delta，但缺少必要参数。此题按现有信息无法完成。（2）买入看跌期权Delta_P=N(d2)(需要计算)。同样，缺少波动率σ，无法计算N(d2)。题目要求计算Delta，但缺少必要参数。此题按现有信息无法完成。（3）情况1：股价上涨到60元。股票价值=100*60=6000元。看跌期权价值P_T=Max(100-60,0)=0元。组合价值=股票价值+看跌期权价值=6000+0=6000元。（4）情况2：股价下跌到40元。股票价值=100*40=4000元。看跌期权价值P_T=Max(100-40,0)=60元。组合价值=股票价值+看跌期权价值=4000+60=4060元。（5）对比：不买期权，组合价值：上涨时6000元，下跌时4000元。买入看跌期权后，组合价值：上涨时6000元，下跌时4060元。下跌时，组合价值从4000元提升至4060元。答：买入看跌期权使得在股价下跌的情况下，组合价值有所提高，起到了对冲下跌风险的效果。题目四（1）看跌期权视为欧式看涨期权的对冲工具，其价值需要用B-S模型计算。标的价格S0=4，行权价格K=3.8，无风险利率r=0.4%(月利率)，波动率σ=10%，时间T=3个月=0.25年。d1=[ln(S0/K)+(r+σ²/2)*T]/(σ*sqrt(T))=[ln(4/3.8)+(0.004+0.1²/2)*0.25]/(0.1*sqrt(0.25))=[ln(1.0526)+(0.004+0.005)*0.25]/(0.1*0.5)=[0.0513+0.00175]/0.05=0.05305/0.05=1.061。d2=d1-σ*sqrt(T)=1.061-0.1*0.5=1.061-0.05=1.011。N(d1)≈N(1.061)≈0.8554，N(d2)≈N(1.011)≈0.8441。看跌期权价值P0=K*e^(-rT)*N(-d2)=3.8*e^(-0.004*0.25)*N(-1.011)=3.8*e^(-0.001)*N(-1.011)=3.8*0.999*0.1559=3.796*0.1559=0.5935(近似值)。期权费收入为0.2元/公斤，总期权费收入=0.2*1=0.2元。期权估值0.5935元/公斤>期权费收入0.2元/公斤。答：卖出该看跌期权的初始估值为0.59元/公斤，期权费收入（0.2元/公斤）不足以覆盖潜在的损失。（2）情况1：期货价格F_T=3.5元/公斤。看跌期权价值P_T=Max(3.8-3.5,0)=0.3元/公斤。实物交割：按3.5元/公斤卖出，亏损=(3.8-3.5)*1=0.3元/公斤。履行义务净损益=-期权价值+实物交割损益=-0.3+(-0.3)=-0.6元/公斤。答：通过实物交割履行看跌期权义务的净损益为-0.6元/公斤。情况2：期货价格F_T=3.5元/公斤。看跌期权价值P_T=0元/公斤。实物交割：按3.5元/公斤卖出，亏损=(3.8-3.5)*1=0.3元/公斤。履行义务净损益=-0+(-0.3)=-0.3元/公斤。答：通过实物交割履行看跌期权义务的净损益为-0.3元/公斤。（3）Delta_P=N(-d2)=N(-1.011)=1-N(d2)=1-0.8441=0.1559。对冲头寸=Delta_P*投资规模=0.1559*1(期货合约数)=0.1559份。假设期货合约规模为10公斤，则需对冲0.1559*10=1.559份。通常需买入整数份，此处为1.559份表示理论对冲量。答：C公司需要持有约1.56份该期货合约（合约规模为10公斤）进行对冲。（4）情况1：期货价格F_T=3.5元/公斤。现货销售损益=(4-3.5)*1=0.5元/公斤。期货对冲损益=-Delta_P*(F_T-F0)=-0.1559*(3.5-4)=-0.1559*(-0.5)=0.07795元/公斤。总损益=现货损益+期权损益（已支付期权费）+期货对冲损益=0.5+(-0)+0.07795=0.57795元/公斤。情况2：期货价格F_T=3.5元/公斤。现货销售损益=(4-3.5)*1=0.5元/公斤。期货对冲损益=-Delta_P*(F_T-F0)=-0.1559*(3.5-4)=0.07795元/公斤。总损益=0.5+0+0.07795=0.57795元/公斤。答：期货价格下跌到3.5元/公斤时，通过现货销售、期权和对冲，最终投资组合的总损益均为0.58元/公斤。题目五（1）状态好：成功概率p_H=70%，成功现金流CF_H=250万，失败概率p_L=20%，失败现金流CF_L=-50万。期望现金流EP_H=0.7*250+0.2*(-50)=175-10=165万。期望现金流现值EPV_H=165/(1.05)^1=165/1.05=157.14万。状态差：成功概率p_H=20%，成功现金流CF_H=50万，失败概率p_L=80