第二章 圆锥曲线（高效培优单元测试-强化卷）-北师大版高中数学选择性必修第一册（解析版）

第二章圆锥曲线（高效培优单元测试•强化卷）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知4（0,-2）,例0,2）,动点P满足|尸力卜|尸司=2,则点尸的轨迹是（）

A.椭圆B.双曲线的一支C.双曲线D.射线

【答案】B

【详解】因为力（0,-2）,8（0,2）,所以|AB|=4,

则|以|-归/=2<|力理，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支.

故选：B.

2.在平面直角坐标系中，抛物线_/=6x的焦点到坐标原点的距离为（）

-3_11

A.3B.—C.-D.—

2612

【答案】B

【详解】在平面直角坐标系中，抛物线/=6x的焦点为?

点F到坐标原点。（0⑼的距离为|。尸|=0=-.

故选：B.

3.已知耳入分别为椭圆?=1的左、右焦点，直线歹=21与C交于两点43,则平行四边形小班

84

的周长为（）

A.4>/2B.8C.8拒D.16

【答案】C

【详解】由题意知，a=2叵，由椭圆的定义知，

四边形力片夕用的周长为|"|+|/；卜|跖|+忸周=4a=8&.

故选：C

1/13

2

4.已知双曲线=1的左、右焦也分别为4,心，若c上一由A到y轴的距离为则△力片心的面

积为()

A.4x/6B.2&C.2百D.近

【答案】B

【详解】由题意知点A的横坐标为/=±石，代入/一?=1得”=±迷,

又因工|=2x/m=4.

所以△力片用的面积为:x4x遥=2拓.

故选：B

5.已知尸是椭圆。(+£=1的下焦点，P为C上一点,力仁』)，则眼|+归日的最小值为(

)

101113

A.B.—C.4D.

T3T

【答案】D

【详解】设尸为椭圆。的上焦点，椭圆C:,+：=l中"3,b=也,则。=2,

所以焦点坐标分别为尸(0,-2),9(0,2).

连接尸尸，由椭圆定义得归下|+|%1=2。=6.

由于1⑶2<r所以点A在椭圆内・

—I-©----

9515

如图所示，\PA\+\PF\=\PA\+2a-\PF'\=6-(|PF'|-|P^|),

2/13

ox

将|呼|代换为2〃-|尸产'|来求|F+|叨|的最小值，也就是求|以［-|尸力|的最大值,

当P,49三点共线时，|尸尸|一|4|的最大值为|力尸|=5

3

所以|刃+归日的最小值为6-：=/.

故选：D

6.已知抛物线C：V=2pMP>0），M为x轴正半轴上一点，。为坐标原点，线段。必的垂直平分线/交抛

物线C于48两点，若四边形04V/4为菱形，且/04M=I2O。，则菱形。0/4的周长为（：

A.5B.5gpC.8D.16百〃

【答案】D

【详解】设/与x轴的交点为。，易知/_Lx轴.

设点。&0）,/>0.如图，由于科边形。为菱形，NO4W=120。，所以乙1。。=30。，所以

囱=粤=字.不妨设小半），则件|=2pt,解得f=6p.

在放氯射。中，［04|=2|/10|=2'17=4廊，所以菱形0/M4的周长为川。4|=16石〃.

22

7.己知厂为双曲线C:十%=1k>0力>0）的右焦点，48是双曲线。上两点且满足或=4而，|第=38,

则双曲线。的离心率为（）

3/13

A7口7石「屈/73

A.—B.-------C.------nD.

5533

【答案】D

【详解】设双曲线左焦点为《，连接力此，因为万=4而，|/4=3。，所以4优产三点共线，力、4分

别在双曲线两支上,且|冏=6,四|二必，根据双曲线的定义可知四3|=2a+b,由㈤=46-2%山F|=2c,

在乙£4尸和由余弦定理可得.

〃+4。2-（2〃+/»2_16〃+公2-（4/）-2@2

cos/FJ；B=

4bc16bc

又』+凡整理化简可得gg所以

8.造型R可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线。的一部分.已知。过坐标原点。，且C上的点满足横

坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与到定直线x=研。<0)的距离之积为4,则。在第一象限的点的纵坐标的

最大值为与1的关系为()

A.%<1B.%=1C.D.y0>\

【答案】D

【详解】设曲线C上任意一点为(%)),

由题意知，曲线C方程为：\x-a[yl(x-2)2+y2=4,其中x>-2,

将点(0,0)代入曲线方程，得：-2口=4,则〃=-2.

4/13

故曲线。方程为：\x+2\-yj(x-2)2+y2=4,其中x>-2.

，16/-\2

wr=--下一(》一2),

(x+2)

业3,,,2641

当I=一时，y'=-----a^=22Z

2494196196>1

因此。在第一象限的点的纵坐标的最大值为>1.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知曲线。：加，+/沙2=1,则（）

A.若〃?>〃>0,则C是圆B.若机=〃>0,则C是椭圆

C.若〃〃7<0,则。是双曲线D.若〃?=（）,〃>0,则。是两条直线

【答案】CD

【详解】因为曲线C：mx2+ny2=t.

当阳=〃>0时，表示圆；

当阳>0,〃>0且加工〃时，表示椭圆；

当〃〃7<0时，表示双曲线；

I〃?=0f〃7>0

当八或八时，表示两条直线-

|//>0[〃=0

所以CD正确.

故选：CD

10.已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线。经过（3,-乎，（-4,6）两点，则（）

A.双曲线。的离心率为正

2

B.双曲线。的渐近线方程为y=±gx

C.直线歹=x-3与双曲线C的左支和右支各有一个交点

D.过点（1,1）可以作四条直线与双曲线。只有一个公共点

【答案】ABD

【详解】不妨设满足题意的双曲线的标准方程为〃渭

双曲线经过（3,-岑卜卜4,6）两点，则由题意有卜一丁“I解得/〃=晨

16"?-3〃=In-1

5/13

显然有机〃＞0,.•.满足题意的双曲线的标准方程为工-歹2=]

在双曲线。中，a=2,b=l,c—V?＞则e=至=,故A正确.

2a42

双曲线。的渐近线方程为y=±；x,故B正确.，

因为直线P=x-3与x轴交点（3,0）在双曲线右顶点（2,0）右侧，且其斜率1大于渐近线斜率

所以直线y=x-3与双曲线C的右支有两个交点，故C错误.

画图可得，过点7（1,1）可以作四条直线与双曲线C只有一个公共点，

其中两条与双曲线相切，另两条与渐近线平行，故D正确.

故选：ABD.

11.抛物线有如卜光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出;

反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线产=公的焦点为凡

O为坐标原点，一束平行于x轴的光线A从点＜4〃?）射入，经过抛物线上的点/（XQJ反射后，

再经抛物线上另一点8（%,必）反射后，沿直线乙射出，则下列结论中正确的是（）

A.x]x2=\

B.点/（$,必）关于x轴的对称点在直线，2上

C.直线《与直线x=-l相交于点O,则4O,。三点共线

D.直线人与4间的距席最小值为4

【答案】ACD

【详解】由抛物线的光学性质可知，直线48过抛物线的焦点”（1,0）,

6/13

将直线AB的方程代入y2=4x中，得/-4<v-4=0,

所以由韦达定理得必必二T，乂+必=4/,所以中2=。♦]=1，故选项A正确；

若点力（内，乂）关于x轴的对称点在直线4上，则必=一%，

所以|川=|对=2,即|〃|=2,不一定成立，故不合题意，选项B错误；

直线4与广-1相交于点。（-1，乃），所以直线OO的斜率为心。=一%，

k='=丛，…

又直线CM的斜率为“，一$一区一必一乃，所以所以4O,。三点共线，故选项C正确;

~4

直线4与4间的距离d=\yy-y2\=+为『一4必必=+1624,

当，=0时，]取最小值4,故选项D正确；

故选：ACD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.抛物线/二心（加工0）的准线方程.

【答案】X=-y

4

【详解】由抛物线标准方程/=用可〃?。0）可得：准线方程为x=-：.

13.双曲线条―r=1的左、右焦点分别是斗鸟，点P在双曲线上，且|P%=5|P周，则|尸£|=.

【答案】2

【分析】根据双曲线的定义及己知可得归国一|尸周=4|尸周=2%即可得.

【详解】由题设，双曲线参数〃=4,又归国二5|2用，

7/13

则卜归周=4,周=2。=8,所以|尸周二2.

14.正方形力8c。的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的

离心率的取值范围是.

【;於】卜与^

【详解】如图，根据椭圆的对称性知点。在直线卜=》上，可得*+理=1，

a~b~

因为焦点在正方形的内部，所以与＞。，

叫如哥＞1

即/从＞〃202+〃。2,可得从＞",

又b2=a2-。2，所以c2+ac-，2〈0，

所以e'e-lvO,

又解得0＜。＜立二1.

2

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

求适合下列条件的曲线的标准方程：

⑴焦点在y轴上，长轴长等于io,离心率等于1的椭圆标准方程；

(2)经过点力(3,-1),并且对称轴布在坐标轴上的等轴双曲线的方程.

【详解】(1)因为长轴长等于1()，离心率等于］,

所以。=5,。=3,6=4,

乂因为焦点在y轴上，

所以椭圆标准方程上+广=1.(6分)

1625

8/13

（2）设双曲线方程为

代人点力（3,-1）,得4=8,

22

・••双曲线方程为土-二=1.（13分）

88

16.（15分）

己知?为椭圆£+1=1（〃＞八0）卜一点,且点。到两焦点距离之和为4,且椭圆离心率为*.

a'b'2

（1）求椭圆。的标准方程；

Q

（2）若直线N=x+小被椭圆C截得的线段长为,求〃?的值.

【详解】（1）由题可得2°=4，则。=2,

又由e=£=^^,得c=，则"=/—c?=4—2=2,

a2,

所以椭圆。的方程为/।2L=i.»分）

42

（2）设直线y=x+〃?与椭圆。交于4（x”yJ,8（当,），2）两点，

y=x+m

联立方程组（22消y得到3x2+4mx+2m2-4=0,

厂4.尸

42

△=16W2-4X3（2W2-4）=8（6-W2）>0

4m

则产+0=-亍（8分）

2m2-4

为々=

2

由于„=乂|力却=\l\+k|x2-Xj|=Jl+上,（7+0）2-4中2,

J

।/.（4zwA.2w~—48/…八、

则r]J（i+「）[-7）-4x——=丁（12分）

整理得到6-，〃2=4,解得〃7=土应，

又〃1=土正时，△=8（6-2）=32＞0,所以〃[=土加满足题意.（15分）

17.（15分）

已知双曲线C：£一£.=1（。＞0力＞0）的右焦点为“，右顶点为A,O为坐标原点，且|。H二|力尸|=1.

a'b~

（1）求。的方程；

（2）过点F的直线/与。的右支交于〃，N两点，记C的左顶点为〃，证明：BM1BN.

9/13

【详解】（1）由|。H=|力产可得a=c—a=l,即c=2a=2,

则b2=c2-a2=3>

*>

所以。的方程为=（5分）

可设，的方程为x=0+2,”（再,必）,%（马,必）.

x=ty+2,

由hy2可得（3--1）/+［如+9=0,

x*―=1,

12/9

则3/一1"0，y+y=-77r-7»y^2=^—;-（10^）

i2St—15t—1

由题意知8（7,0）,则由=（*+1,%），丽=伍+1,%），

丽•丽=（芭+1）（*2+1）+必为=（0+3）（。+3）+y而

=62+1）必必+3“必+为）+9=^^-^7[+9=0'（14分）

所以氏W_L5N.（15分）

18.（17分）

22（O

-^y+p-=l（a>/?>0）,四点耳,

已知椭圆C:P2hy-,A（o/），匕（U）中恰有三点在椭圆。上.

（1）求椭圆。的方程.

（2）过点。（4,0）且斜率不为0的直线/与椭圆C相交于M,N两点.

（i）若。为原点，求△MON面积的最大值;

（ii）点4（-2,0）,设点。是线段MN上异于M,N的一点，直线QA,QM的斜率分别为4,&,且勺+&=（）,

10/13

I。刈此I

水|DN卜阿严直

【详解】（1）由对称性知己［,《］和山0,1）在椭圆C上,

I）\2）

6=1,2

所以13，所以。=2,椭圆C的方程为工+/=1.（4分）

F+K=1，4

a~4/）-

（2）（i）设直线/的方程为x=1+4,点M（XQJ,N（x2iy2）,

O'消去'得：口4）…伊12=。,

由，

j+y-毋

则,-『4,A=16（/2-12）＞0,则/＜一2百或"2技

所以|必一闵=邛手，（7分）

所以△MON面积S=，X4X|M-%|=，X4

2R12r2+4/2+4

j8〃8

令、/7-12=〃（〃＞0）,则/jJ+12,ir+16J6一，

,7U4---

当且仅当〃=4,即『二28时.，△MON面积的最大值为1.（11分）

（ii）因为人+&=0,所以直线。4。历的倾斜角互补，所以|四=|四,

所以点。在线段/。的垂直平分线上，所以。［1，一；/

所以|。训=J（4f『+必2=庐口间，同理得|QN|=炉7Tl岗,

T

\MQ\=y/t+iy,+^,=（13分）

|。时卜陷|

所以

\DN\-\MQ\"必+：

11/13

|。必色0|二必卜+j3

必必+消

|。叫•阿心+;）3

y必+/

因为必为=五（乂+%），

—3/、333

|DH|-|N0|=五（乂+%）+「%二五%一五%

画初飞（i2）+：）万I

|nw|・|N0|

所以的值为1.（17分）

|QN|.阿|

19.（17分）

己知尸是抛物线氏V=2px（P>0）的焦点，尸（与，2）为抛物线E上一点，且|PF|=2.

（1）求抛物线£的方程；

（2）设/,〃为抛物线E上的两点1小同十点夕），直线4P,4尸分别与y轴交十历，N两点，且原点O恰

为"V的中点.

（i）证明：直线X8过定点；

（ii）若直线的斜率大于0,且△0/8的面积为2a，求直线48的方程.

【详解】⑴因为抛物线V=2px（p>0）的焦点为呜,0）,准线方程为x=-勺且尸（今,2）在抛物线£上,

|尸用=2,根据抛物线定义有，为+勺2,