锐角三角函数的四类综合题型 压轴题专项训练 中考数学

1/10锐角三角函数的四类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、求角的三角函数值类型二、特殊角的三角函数值的计算类型三、锐角三角函数的实际应用问题类型四、几何图形中的三角函数问题压轴专练类型一、求角的三角函数值1.

直角三角形内抓边角若角在直角三角形中，直接紧扣三角函数定义，明确对边、邻边、斜边，代入sinA、cosA、tanA计算；非直角三角形可作高构造直角三角形。2.

特殊图形中用性质遇到等腰三角形、矩形、菱形等特殊图形，先利用图形性质（如三线合一、对角线特点）确定边长关系，再转化为直角三角形中的边角计算；特殊角直接套用对应函数值。例1．（23-24九年级上·陕西汉中·期末）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则的值为（

）A． B． C．1 D．【变式1-1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，设所对的边分别为、、，则下列式子正确的是（）A． B． C． D．【变式1-2】（25-26九年级下·全国·期末）在中，，都是锐角，若，则的度数是．【变式1-3】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，矩形中，点在边上．将矩形沿直线折叠，点恰好落在边的点处．若，，求的值．类型二、特殊角的三角函数值的计算等腰直角三角形（45°）：设两直角边为1，则斜边为√2，可直接得出sin45°、cos45°、tan45°。含30°的直角三角形：设30°所对直角边为1，则斜边为2，另一条直角边为√3。由此可推导出30°和60°的所有三角函数值。

强烈建议在理解此几何推导的基础上进行记忆，而非死记硬背表格。2.巧用转化与逆向思维角度转化：当遇到120°、135°等大于90°的角时，利用“互余角”（sinA=cos(90°-A)）和“互补角”（sinA=sin(180°-A)）关系，将其转化为锐角30°、45°、60°来计算。知值求角：若已知一个特殊角的三角函数值反过来求角，属于上述过程的逆向应用。例如，已知sinα=√3/2，则锐角α可能是60°；若α是钝角，则可能是120°。关键在于明确角的范围。

核心是

“模型记忆→角度转化→得出结论”

。例2．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）计算的值为．【变式2-1】（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）计算：【变式2-2】（25-26九年级上·全国·期末）计算：(1)；(2)．【变式2-3】（24-25九年级下·全国·期末）计算下列各题：(1)；(2)．类型三、锐角三角函数的实际应用问题1.

建模转化从实际场景中抽象直角三角形模型，标注已知边/角与未知量，无直角时作高构造，明确边角对应关系，锁定需用的三角函数（正弦、余弦、正切）。2.

精准计算优先选择含已知量与目标量的三角函数关系式列方程，计算时注意单位统一，结果结合实际意义取舍，必要时借助计算器求角的近似值。例3．（24-25八年级下·北京·期末）如图，斜坡的坡度为，坡面的长为，则坡顶到水平地面的距离为（

）A． B． C． D．【变式3-1】（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，有一斜坡，坡顶离地面的高的长为，斜坡的坡度为，现有一辆小车从A点以的速度沿爬坡，则当爬到坡顶B处时，需要时间为．【变式3-2】（25-26九年级上·山东青岛·期末）五一假期，圆圆来到公园开展综合实践活动测量一个古塔的高度．如图，在古塔附近有一斜坡，斜坡坡度为，，古塔落在斜坡上的影长，同一时刻，圆圆又测得竖立于地面上长1m的旗杆的影长为（古塔在圆圆的正前方）．(1)求古塔的高度；(2)圆圆站在斜坡上点处，已知目高为米．某一时刻，圆圆刚好看见远处的无人机沿着平行方向，以米秒的速度向前匀速飞行，求经过秒后，无人机正好在圆圆正上方，求遥控无人机离地面的高度．【变式3-3】（2024·浙江绍兴·二模）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：）(1)如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度；(2)调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到）类型四、几何图形中的三角函数问题1.

构造直角三角形针对非直角几何图形（如三角形、四边形），通过作高、作垂线等辅助线构造直角三角形，将已知边、角转移到直角三角形中，建立边角关联。2.

结合几何性质联动图形固有性质（如等腰三角形三线合一、圆的半径相等）推导隐含条件，选定合适的三角函数（正弦、余弦、正切）列关系式，计算时注意等量代换与结果验证。例4．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式4-1】（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，则的长为．【变式4-2】（24-25九年级下·湖南·期末）如图，四边形内接于，点O在上，，过点C作的垂线，分别交，的延长线于点E，F．(1)求证：为的切线；(2)若G为位于上下方的一点，且，，求的长．【变式4-3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）【问题提出】（1）如图①，在矩形中，M是的中点，连接并延长与的延长线交于点E，连接并延长与的延长线交于点G，连接交于点F′，求证：；【问题解决】（2）如图②，在矩形中，M是的中点，延长到P，连接并延长与的延长线交于点E，连接、，与交于点F，已知，，，求的面积．一、单选题1．（22-23九年级上·山东泰安·期末）在中，为锐角，且，则的值为（

）A． B． C．1 D．2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，则图中的的内角的正弦值是（

）A． B． C． D．以上都不对3．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，延长斜边到点C，使，连接，若，则的值为（

）A． B． C． D．4．（24-25九年级上·四川资阳·期末）圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，如图是小明根据所在城市设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角，夏至时正午阳光入射角．已知“表”高，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离为（

）A． B．C． D．5．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，是的直径，、、为的弦，，则（）A． B． C． D．二、填空题6．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）计算：=．7．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，，则的值为．8．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，，，则的值是．9．（22-23九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从处的正上方处，沿正东方向以的速度飞行到达处，此时测得A处的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达处，此时测得处的俯角为．由以上测量数据，计算得隧道的长度为m．（结果精确到；参考数据：，，）10．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，、是圆上的两点不与、重合，已知，，则．三、解答题11．（25-26九年级上·山东泰安·期中）计算：(1)；(2)．12．（25-26九年级上·山东烟台·月考）如图，在中，，于点D，点E是上的一点，，，，求的长和的值．13．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度，在处用高为米的测角仪测得摩天轮顶端的仰角，再向摩天轮方向前进30米至处，又测得摩天轮顶端的仰角．求摩天轮的高度．（参考数据：，，，）14．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）【问题探究】（1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．易证，此时的值是___________；【拓展延伸】

（2）如图2，在矩形中，，对角线，相交于点O，E、F分别是边和对角线上的点，连接，，，，求的长．15．（2025·上海·一模）左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米．卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡．(1)当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离；(2)点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货箱对角线、的交点是货箱侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，）锐角三角函数的四类综合题型类型一、求角的三角函数值1.

直角三角形内抓边角若角在直角三角形中，直接紧扣三角函数定义，明确对边、邻边、斜边，代入sinA、cosA、tanA计算；非直角三角形可作高构造直角三角形。2.

特殊图形中用性质遇到等腰三角形、矩形、菱形等特殊图形，先利用图形性质（如三线合一、对角线特点）确定边长关系，再转化为直角三角形中的边角计算；特殊角直接套用对应函数值。例1．（23-24九年级上·陕西汉中·期末）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则的值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】本题考查勾股定理和正切，利用勾股定理求出三角形的三条边，并利用勾股定理的逆定理判断其为直角三角形，最后根据正切的定义即可求得答案．【详解】解：由图可知，，，∴，∴，∴，故选：A．【变式1-1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，设所对的边分别为、、，则下列式子正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了求角的三角函数值．求出的正弦值、余弦值、正切值，进而判断即可．【详解】解：∵，设所对的边分别为、、，∴，，，只有B正确故选：B【变式1-2】（25-26九年级下·全国·期末）在中，，都是锐角，若，则的度数是．【答案】【分析】本题考查非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．利用非负数的性质和三角函数，求出和的度数，再根据三角形内角和定理求出．【详解】解：∵，且，，∴，，，．，都是锐角，∴，，在中，．故答案为：【变式1-3】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，矩形中，点在边上．将矩形沿直线折叠，点恰好落在边的点处．若，，求的值．【答案】【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数定义等知识；熟练掌握翻折变换的性质和三角函数定义是解题的关键．由翻折变换的性质得出，由勾股定理求出的长，再由求出的长，再由三角函数定义求出的长，进而求出的长，即可得出答案．【详解】解：四边形是矩形，，，，，由折叠的性质得：，，，，，在中，，，，，，，，．类型二、特殊角的三角函数值的计算等腰直角三角形（45°）：设两直角边为1，则斜边为，可直接得出sin45°、cos45°、tan45°。含30°的直角三角形：设30°所对直角边为1，则斜边为2，另一条直角边为。由此可推导出30°和60°的所有三角函数值。

强烈建议在理解此几何推导的基础上进行记忆，而非死记硬背表格。2.巧用转化与逆向思维角度转化：当遇到120°、135°等大于90°的角时，利用“互余角”（sinA=cos(90°-A)）和“互补角”（sinA=sin(180°-A)）关系，将其转化为锐角30°、45°、60°来计算。知值求角：若已知一个特殊角的三角函数值反过来求角，属于上述过程的逆向应用。例如，已知sinα=√3/2，则锐角α可能是60°；若α是钝角，则可能是120°。关键在于明确角的范围。

核心是

“模型记忆→角度转化→得出结论”

。例2．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）计算的值为．【答案】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算．先求出特殊角的三角函数值，再计算二次根式即可．【详解】解：．故答案为：．【变式2-1】（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）计算：【答案】【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角三角函数值是关键；计算出各特殊角的三角函数值，再相加减即可．【详解】解：．【变式2-2】（25-26九年级上·全国·期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，乘方运算等知识，熟知特殊角的三角函数值是解题关键．（1）先计算出特殊角的三角函数值，再进行计算即可求解；（2）先计算乘方、特殊角的三角函数值，再进行计算即可求解．【详解】（1）解：；（2）．【变式2-3】（24-25九年级下·全国·期末）计算下列各题：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查三角函数的计算，二次根式的性质，零指数幂；熟练掌握特殊角的三角函数值以及零次幂的意义是解决本题的关键．（1）根据特殊角的三角函数值代入计算即可；（2）根据特殊角的三角函数值代入并化简，零指数幂，化简二次根式，然后求值即可．【详解】（1）解：；（2）解：．类型三、锐角三角函数的实际应用问题1.

建模转化从实际场景中抽象直角三角形模型，标注已知边/角与未知量，无直角时作高构造，明确边角对应关系，锁定需用的三角函数（正弦、余弦、正切）。2.

精准计算优先选择含已知量与目标量的三角函数关系式列方程，计算时注意单位统一，结果结合实际意义取舍，必要时借助计算器求角的近似值。例3．（24-25八年级下·北京·期末）如图，斜坡的坡度为，坡面的长为，则坡顶到水平地面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了坡度、勾股定理的应用，坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比．根据斜坡的坡度为，设，则，根据勾股定理可得，又因为，可知，可得坡顶到水平地面的距离为．【详解】解：斜坡的坡度为，，设，则，在中，，，，，解得：，坡顶到水平地面的距离为．故选A【变式3-1】（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，有一斜坡，坡顶离地面的高的长为，斜坡的坡度为，现有一辆小车从A点以的速度沿爬坡，则当爬到坡顶B处时，需要时间为．【答案】20【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，利用斜坡的坡度为求出，再利用勾股定理求，进而求解即可．【详解】解：∵，斜坡的坡度为，坡顶离地面的高的长为，∴，∴，∴，∵小车从A点以的速度沿爬坡∴当爬到坡顶B处时，需要时间为．故答案为：20．【变式3-2】（25-26九年级上·山东青岛·期末）五一假期，圆圆来到公园开展综合实践活动测量一个古塔的高度．如图，在古塔附近有一斜坡，斜坡坡度为，，古塔落在斜坡上的影长，同一时刻，圆圆又测得竖立于地面上长1m的旗杆的影长为（古塔在圆圆的正前方）．(1)求古塔的高度；(2)圆圆站在斜坡上点处，已知目高为米．某一时刻，圆圆刚好看见远处的无人机沿着平行方向，以米秒的速度向前匀速飞行，求经过秒后，无人机正好在圆圆正上方，求遥控无人机离地面的高度．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质，比例的性质，解决本题的关键是添加辅助线构造相似三角形．（1）先根据坡度比求出B到地面的竖直高度与水平宽度，再求解出影长，再由影长为即可求解；（2）先由平行证明，即可得，再由，即可求解．【详解】（1）解：如图：连接并延长交于，延长交于，斜坡坡度为，即竖直高度与水平宽度的比为，设B到地面的竖直高度为，水平宽度为，又，，由勾股定理可得，即，即，解得，∴B到地面的竖直高度为，水平宽度为，∵，∴古塔在地面的影长为，，，，；（2）解：如图：连接并延长交于，延长，交延长线于，，则，，，，，，，，，，遥控无人机离地面的高度为．【变式3-3】（2024·浙江绍兴·二模）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：）(1)如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度；(2)调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到）【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．（1）如图所示，过点D作，过点B作于点E，则，由题意得到，在中，，可得，再根据，即可求解；（2）如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H，则，，在中，由，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，过点D作，过点B作于点E，则，∵，∴，在中，，∴，∴，∴端点D距离地面的高度为；（2）解：如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴．类型四、几何图形中的三角函数问题1.

构造直角三角形针对非直角几何图形（如三角形、四边形），通过作高、作垂线等辅助线构造直角三角形，将已知边、角转移到直角三角形中，建立边角关联。2.

结合几何性质联动图形固有性质（如等腰三角形三线合一、圆的半径相等）推导隐含条件，选定合适的三角函数（正弦、余弦、正切）列关系式，计算时注意等量代换与结果验证。例4．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．过点作于点，先利用三角函数的定义和勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，最后在中求出的度数．【详解】如图所示，过点作于点，，，在中，，，，，，在中，，，故选：C．【变式4-1】（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，则的长为．【答案】【分析】证明，得出，证，从而求出，则可得出答案．本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题关键．【详解】解：是的直径，，是的切线，，，，，，，，点为的中点，，，，，即，．故答案为：．【变式4-2】（24-25九年级下·湖南·期末）如图，四边形内接于，点O在上，，过点C作的垂线，分别交，的延长线于点E，F．(1)求证：为的切线；(2)若G为位于上下方的一点，且，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）连接，，由推出，由得到，进而得到，再利用平行线的性质推出，再根据切线的判定定理即可证明；（2）连接，根据平行线的性质以及同弧所对的圆周角相等得到，得到，设的半径为，在中利用余弦的定义列出方程，求出的值，由是的直径，得出，，最后在中利用余弦的定义即可求出的长．【详解】（1）证明：如图，连接，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∵是的半径，∴为的切线；（2）解：如图，连接，∵，∴，∵，∴，∴，设的半径为，则，∴，在中，，解得：，∵是的直径，∴，，∵在中，，∴．【变式4-3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）【问题提出】（1）如图①，在矩形中，M是的中点，连接并延长与的延长线交于点E，连接并延长与的延长线交于点G，连接交于点F′，求证：；【问题解决】（2）如图②，在矩形中，M是的中点，延长到P，连接并延长与的延长线交于点E，连接、，与交于点F，已知，，，求的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）由题易证，．再根据相似比结合，即可得证；（2）过点E作，交、分别于点H、G，易得，可得，即可得解．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴．∴，．∴，，∵，∴；（2）过点E作，交、分别于点H、G，在矩形中，，，M是的中点，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．一、单选题1．（22-23九年级上·山东泰安·期末）在中，为锐角，且，则的值为（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值得出的值，进而得出答案．【详解】解：在中，为锐角，，，，．故选：D．2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，则图中的的内角的正弦值是（

）A． B． C． D．以上都不对【答案】B【分析】本题考查正弦，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．先求出，再根据正弦的定义求解即可．【详解】解：如图有，∴．故选B．3．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，延长斜边到点C，使，连接，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切函数的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质和正切的定义是解题关键，过点D作交于点E，再进一步求解即可．【详解】解：如图，过点D作交于点E．∵，，∴．∵，∴设，．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴．故选：D．4．（24-25九年级上·四川资阳·期末）圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，如图是小明根据所在城市设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角，夏至时正午阳光入射角．已知“表”高，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．分别解和，求出和的长度，然后利用线段的和差关系求解即可．【详解】解：在中，，，，∴，在中，，，，∴，∴．故选：B．5．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，是的直径，、、为的弦，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了圆周角，解直角三角形的应用，掌握相关知识点是解题关键．由直径可知，结合勾股定理可得，由同弧所对的圆周角相等，得到，再求正切值即可．【详解】解：如图，连接，，是的直径，，，，，，，在中，，，故选：A．二、填空题6．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）计算：=．【答案】1【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．根据角的三角函数值计算．【详解】解：＝1．故答案为：1．7．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，，则的值为．【答案】【分析】本题考查解直角三角形，掌握知识点是解题的关键．在直角三角形中，根据正切值设两直角边长度，利用勾股定理求斜边，再根据正弦定义求解角B的正弦值即可．【详解】解：在中，，，设，则，∴．故答案为：．8．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，，，则的值是．【答案】/【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，求正切值，由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用正切定义解答即可．【详解】解：连接，∵，，∴，∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，∴，，∵，∴，∴是直角三角形，∴，∴．故答案为：．9．（22-23九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从处的正上方处，沿正东方向以的速度飞行到达处，此时测得A处的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达处，此时测得处的俯角为．由以上测量数据，计算得隧道的长度为m．（结果精确到；参考数据：，，）【答案】242【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，由题意得：，，，，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴隧道AB的长度约为.故答案为：242．10．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，、是圆上的两点不与、重合，已知，，则．【答案】【分析】本题考查的是圆周角定理，先根据圆周角定理得出，再由特殊角的三角函数值判断出，故可得出，所以是等腰直角三角形，再由勾股定理即可得出的长．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故答案为：．三、解答题11．（25-26九年级上·山东泰安·期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)1(2)【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知特殊角三角函数值是解题的关键．（1）分别求出对应的特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可；（2）分别求出对应的特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．12．（25-26九年级上·山东烟台·月考）如图，在中，，于点D，点E是上的一点，，，，求的长和的值．【答案】，【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，由同角的余角相等可得，从而得出，解直角三角形得出，由勾股定理可得，设，则，再由勾股定理计算得出，从而得出，最后由正切的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，由勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴．13．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度，在处用高为米的测角仪测得摩天轮顶端的仰角，再向摩天轮方向前进30米至处，又测得摩天轮顶端的仰角．求摩天轮的高度．（参考数据：，，，）【答案】米【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，延长交于点，根