第1讲：集合（6个题型）（教师版）

【第一讲：集合】总览总览题型梳理【知识点清单】1．描述法表示集合【知识点的认识】一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法．【解题方法点拨】明确描述对象：要清楚集合中包含的元素以及不包含的元素．理解描述条件：描述条件要准确、简洁，通常用文字或符号来表示集合中的元素特征．统一标准：确保描述的方法能够唯一确定一个集合，避免模糊或歧义的描述．2．元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．3．判断元素与集合的属于关系【知识点的认识】元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．【解题方法点拨】明确集合定义：了解集合的定义及其包含的元素范围．验证条件：检查元素是否满足集合的定义条件．符号表示：用∈表示元素属于某集合，用∉表示元素不属于某集合．4．判断两个集合的包含关系【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．5．集合的包含关系的应用【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．6．求集合的交集【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．7．集合的交并补混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．题型题型分类知识讲解与常考题型【题型1：元素与集合之间的关系】例题精选例题精选【例题1】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（

）A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3【答案】B【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可.【详解】因为集合，且，则或，所以或；当时，不合题意舍；当时，符合题意；故选：B.【例题2】（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果.【详解】由题可知且解得.故选：C.【例题3】（2024·广东河源·模拟预测）已知集合，，若且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由元素与集合的关系列出不等式组，解之即得.【详解】因为且，所以，解得.故选：A．相似练习相似练习【相似题1】（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据描述法表示的集合元素特征，对选项逐一判断即可得出结论.【详解】因为，所以，因为，所以所以，故A错误，B正确；所以，故C错误；所以，故D错误；故选：B．【相似题2】（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a所有取值的集合为（

）A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}【答案】D【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出的取值集合.【详解】因为集合的元素之和为1，所以一元二次方程有等根时，可得，即，当方程有两不相等实根时，，即，综上，实数a所有取值的集合为.故选：D【相似题3】（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）集合，若且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据元素与集合的从属关系列出限制条件可得答案.【详解】因为且，所以且，解得.故选：B.【题型2：集合间的基本关系】例题精选例题精选【例题1】（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化简集合B，再利用集合之间的包含关系即可得到结果.【详解】因为集合，，故，故选：B【例题2】（2025·江西景德镇·模拟预测）满足的集合的个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】A【分析】用列举法写出满足条件的集合，即可得答案.【详解】解：由题意可得，共3个.故选：A【例题3】已知集合，，，则、、的关系满足（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将集合中的元素进行通分，即可根据分子的形式进行比较，集合子集定义即可求解.【详解】,故,由于，故，由于为任意整数，故，因此,,故，故，所以，故选：B．相似练习相似练习【相似题1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知集合，若，则a的值可以是（

）A． B． C．1 D．4【答案】D【分析】先求出集合，再利用求得的范围，判断即得.【详解】由可得，由可得，依题意，，故得.故选：D.【相似题2】（2024·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知：，则是的真子集，对比选项分析即可.【详解】由题意可知：，显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12，所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误.故选：B.【相似题3】多选题（2024·湖北·模拟预测）已知集合，，集合满足，则（

）A．， B．集合可以为C．集合的个数为7 D．集合的个数为8【答案】AC【分析】根据题意可确定C的元素情况，由此一一判断各选项，即可得答案.【详解】由题意得，，又.所以，，故A正确；当时，不满足，B错误，集合的个数等价于集合的非空子集的个数，所以集合的个数为，故C正确，D错误，故选：AC.【题型3：集合的运算】例题精选例题精选【例题1】（2025·四川广安·模拟预测）已知集合，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】交集的概念及运算【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解.【详解】解方程得或，所以集合，集合，因此.故选：C.【例题2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】并集的概念及运算【分析】根据并集的含义进行运算即可得答案.【详解】∵，由并集的含义得.故选：B.【例题3】（2025高三·全国·专题练习）已知全集，集合，，则（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【知识点】交并补混合运算【分析】先求出集合的补集，再利用并集运算求解即可.【详解】由题可得或，则或．故选：A.相似练习相似练习【相似题1】（2025·天津和平·三模）设全集，集合，，（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】交并补混合运算【分析】根据集合并集的定义以及补集的定义即可求解.【详解】由，可得，，故，故选：B【相似题2】（2025·重庆·模拟预测）已知集合，，则（

）.A． B．C． D．【答案】C【知识点】交集的概念及运算【分析】集合A，B可化为分母相同的元素，其中分子分别为除3余2整数，除2余1整数，据此可得出交集.【详解】集合，,所以，故选：C【相似题3】多选题（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（

）A．的取值有个 B．C． D．所有子集的个数为【答案】BCD【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、判断两个集合的包含关系、交并补混合运算【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，，且，则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误；对于B选项，，，所以，故B正确；对于C选项，，，故C正确；对于D选项，，所以，，则，其的子集的个数为，故D正确．故选：BCD.【题型4：集合中的参数问题】例题精选例题精选【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合的基本关系分类讨论计算求参即可.【详解】因为，所以当，即时，，满足，即；当，即时，，满足，即；当，即时，由，得，，即；综上，．故选：C．【例题2】（2024·全国·二模）已知集合，集合，则满足的实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据交集的结果，代入不等式，即可求解.【详解】由条件可知，解得：.故选：C【例题3】（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围．【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素，结合，可知，即，且区间,中含有4个整数，①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数；②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意；③当时，,的区间长度大于3，若,的区间长度，即．若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，，此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意．若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得；若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意；当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数，故，即，结合可得．综上所述，或或，即实数的取值范围是,,．故选：D．【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解.相似练习相似练习【相似题1】（20-21高一上·浙江嘉兴·阶段练习）若集合，，则能使成立的所有a组成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】考虑和两种情况，得到，解得答案.【详解】当时，即，时成立；当时，满足，解得；综上所述：.故选：C.【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集的情况是容易发生的错误.【相似题2】（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为．【答案】【分析】结合B是否为空集进行分类讨论可求的范围．【详解】由，且，当时，，则，即，当时，若，则，解得，综上，实数的取值范围为．故答案为：．【相似题3】（2024·全国·模拟预测）设集合.若且，则.【答案】6【分析】根据集合间的关系可知，可得，再由求得，即可得解.【详解】因为集合，若，则且，可得，解得，即有，又，所以，所以.故答案为：6【题型5：韦恩图的应用】例题精选例题精选【例题1】（2025·山东枣庄·二模）已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据Venn图，集合间的关系及集合的运算逐项判断即可.【详解】作出Venn图，如图，对于A，，故A错误；对于B，与集合交集是空集，若，则不是的子集，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，与集合交集是空集，若，则不是的子集，故D错误；故选：C.【例题2】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）若集合、、满足：，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出韦恩图，结合韦恩图与集合运算逐项判断即可.【详解】如下图所示：由韦恩图可知，，，，，故选：C.【例题3】（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用韦恩图法即可判断.【详解】如图，对于A：，所以A错误；对于B：，所以B错误；对于D：，所以D错误，对于C：由图观察显然，故C正确．故选：C相似练习相似练习【相似题1】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图所示，集合是全集的三个真子集，则图中阴影部分表示的集合是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由韦恩图写出阴影部分的对应集合即可.【详解】由韦恩图知：阴影部分表示对应元素不属于集合，但属于集合，所以阴影部分所表示的集合是.故选：C.【相似题2】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果为U的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根据，结合交并补的运算即可判断选项【详解】如图，因为，所以，故A错误；因为，故B错误；因为，所以，故C错误；因为，所以，故D正确.故选：D【相似题3】多选题（2022·福建泉州·模拟预测）已知集合均为的子集，若，则（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据题意，画出韦恩图，结合韦恩图和选项，逐一判断，即可得到答案.【详解】因为集合均为的子集，且，画出韦恩图，如图所示：结合图像：由，所以A正确；由，所以B错误；由，所以C错误；由，所以D正确.故选：AD.【题型6：集合中的新定义问题】例题精选例题精选【例题1】（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（

）A．B．C．或D．或【答案】D【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解.【详解】集合，集合，则，由韦恩图得或.故选：D【例题2】（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（

）A．10 B．40 C．45 D．50【答案】C【分析】由题列举出所有的集合A的三元素子集，求出最大值，求和即可.【详解】由题知：，，，，，，，则故选：C【例题3】多选题（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据题中定义以及集合运算逐项判断即可.【详解】对于A选项，根据题中信息可得，A对；对于B选项，根据题意可得，故，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，，D对.故选：ABD.相似练习相似练习【相似题1】（2024·广东广州·模拟预测）已知集合，若集合，且M中的所有元素之和为奇数，称M为A的奇子集，则A的所有“奇子集元素之和”的总和为.【答案】【分析】设为的奇子集，中的所有元素之和为偶数，可称为偶子集，分析得的奇子集与偶子集个数相等；计算奇子集元素之和时，含元素的和是，即可求得奇子集的元素之和.【详解】设为的奇子集，则若，令，若，令为把中的去掉后剩下的元素形成的集合，则中的所有元素之和为偶数，可称为偶子集，显然每个奇子集，均恰有一个偶子集与之对应，每个偶子集，均恰有一个奇子集与之对应，故的奇子集与偶子集个数相等；对任一，含的子集共有个，用上面的对应方法可知，在时，这个子集中有一半为奇子集，在时，由于，将上边的3换成5，同样可得其中有一半为奇子集，于是在计算奇子集元素之和时，含元素的和是，奇子集容量之和是.故答案为：.【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.【相似题2】（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”.(1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”；(2)证明：是“好的”，是“好的”；(3)求所有“好的”正整数.【答案】(1)，是“好的”(2)证明见解析(3)除、、外的正整数【分析】（1）根据题中定义可求出集合，并由此作出判断；（2）当时，取集合，；当时，取集合，，结合题中定义验证可得出结论；（3）先证明出：若正整数是“好的”，则也是“好的”，再证：为奇数是“好的”，不是“好的”，同理易知，不是“好的”，由此可得出结论.【详解】（1）当时，由题中定义可得，且，故是“好的”.（2）时，取，，则的值为、、、，除以8的余数为4，7，5，0.所以，此时，合乎题意；时，取，，的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16的余数为4，7，12，15，5，8，13，0.所以，则，满足条件.故是“好的”，是“好的”.（3）①首先证明：若正整数是“好的”，则也是“好的”.（*）事实上，若正整数是“好的”，设，，，此时集合、满足时条件.时，考虑，，则也满足条件，（*）得证.②再证：为奇数是“好的”.（**）事实上，取，，则满足条件，（**）得证.由（*）（**）及（2）知除1，2，4外的正整数均为“好的”.③再证：不是“好的”.对集合，记为中元素个数，由条件，.若，则，矛盾.若或，则，则，矛盾.于是不是“好的”.同理易知，2不是“好的”.所以，所求为除1，2，4外的正整数.【相似题3】（2024·全国·模拟预测）已知集合，若对任意的，，有或，则称集合为完美集合．(1)分别判断集合与是否为完美集合；(2)当时，若，求完美集合；(3)若集合为完美集合，记，求证：．【答案】(1)集合为完美集合，不是完美集合；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）根据完美集的定义直接判断即可；（2）根据完美集的定义及依次确定，即可得答案；（3）根据完美集定义先确定，结合得到，又，把各项累加即可证结论.【详解】（1）集合，当时，，又，，所以集合为完美集合．集合，因为，所以不是完美集合．（2）因为，所以，所以，因为，所以，故，即，所以．（3）因为，故，所以，则．因为，所以，所以，所以．因为，所以，又因为，全部相加得，即，所以，又，所以．【点睛】关键点点睛：第三问，根据完美集定义确定，并得到，为关键.课后针对训练课后针对训练一、单选题1．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（

）A． B．C． D．2．（23-24高二下·浙江温州·期中）设集合，若，则（

）A． B． C． D．3．（2024·福建泉州·模拟预测）若全集是实数集，集合，，则如图阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．4．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．5．（2025·福建福州·模拟预测）已知集合，则（

）A． B． C． D．6．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（

）A． B．C． D．7．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合，则（

）A． B． C． D．8．（2023·山东青岛·三模）已知全集，集合A，B满足，则下列关系一定正确的是（

）A． B． C． D．9．（2023·福建漳州·模拟预测）已知是全集，集合，满足，则下列结论一定成立的是（

）A． B． C． D．10．（2023·福建龙岩·二模）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（

）

A． B． C． D．11．（2023·福建·模拟预测）已知集合，，全集，则以下集合（

）是空集A． B． C． D．12．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．13．（2024·福建泉州·模拟预测）已知集合，，若，则（

）A．-3 B．-1 C．1 D．314．（2025·福建泉州·一模）（

）A． B． C． D．15．（2021·湖北武汉·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．二、多选题16．（24-25高一上·贵州黔西·阶段练习）下列四个命题：其中正确的命题为（

）A．已知集合，集合，则B．集合中有两个元素C．已知集合，且，则的取值构成的集合为D．记，，则17．（2025·江西·模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则可以取3三、填空题18．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则的最小值为．参考答案题号12345678910答案AAADCDDCCD题号11121314151617答案DACADBDAC1．A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集，，所以，．故选：A．2．A【分析】由可得方程有一个根是1，且2一定不是它的根，从而代入，解得，再解得，满足，从而可计算出结果.【详解】因为，，所以方程有一个根是1，且2一定不是它的根，则，解得，当时，方程的根是1和，所以，满足，即.故选：A.3．A【分析】根据韦恩图，先求，再由集合去掉中的元素即可.【详解】∵全集是实数集，集合，∴，∴故图中阴影部分所表示的集合为集合去掉中的元素,即.故选：A.4．D【分析】先计算出集合，逐一验证即可.【详解】由，所以，故A错误，，故B错误；，故C错误，D正确.故选：D.5．C【分析】由交集运算即可求解.【详解】因为集合，则．故选：C．6．D【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答