1-8 函数的连续性与间断点

1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性二、函数的间断点函数图形的特点一、函数的连续性是一条连绵不断的曲线.直观的定性描述用严格的数学语言进行定量的分析设变量u从它的一个初值u1变到终值u2,终值与初值的差

u2-u1,叫做变量u的增量（改变量），记作Δu，即Δu=u2-u1一、函数的连续性增量可以是正的，也可以是负的.1.变量的增量当Δu为正时，变量u从u1变到u2=u1+Δu时是增大的；当Δu为负时，变量u从u1变到u2=u1+Δu时是减小的.u2=u1+Δuu1注：Δu是一个整体不可分割的记号，不表示乘积.自变量x从自变量的增量(改变量)Δx函数的增量(改变量)Δy2.连续的定义定义

设函数y=f(x)在x0

的某一邻域内有定义，如果那么就称函数

y=f(x)在点x0

连续.2.连续的定义定义

设函数y=f(x)在x0

的某一邻域内有定义，如果那么就称函数

y=f(x)在点x0

连续.自变量初值x0，终值x0+Δx=xf(x)在点x0连续：定义

设函数y=f(x)在x0

的某一邻域内有定义，如果那么就称函数

y=f(x)在点x0

连续.3.连续的等价定义函数在一点连续极限值等于函数值.定义

设函数y=f(x)在x0

的某一邻域内有定义，如果那么就称函数

y=f(x)在点x0

连续.(1)有定义，即f(x0)存在；(2)有极限，即存在；(3)相等，即判定函数y=f(x)在点x0

连续：必需同时满足下述条件.判定函数y=f(x)在点x0

连续：必需同时满足下述条件.(1)有定义，即f(x0)存在；(2)自变量的增量趋于0时，函数的增量趋于0；

例讨论函数在处是否连续？解函数在处有定义，且于是所以，函数在处连续.

例解函数f(x)在x=0处左连续函数f(x)在x=0处有定义，f(0)=-2例解函数f(x)在x=0处有定义，f(0)=2函数f(x)在x=0处右连续定义左、右连续函数在点连续的充要条件是：函数在点既左连续，又右连续，定理4.连续函数在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者称函数在该区间上连续.如果区间包括端点，那么在左端点连续是指右连续，在右端点连续是指左连续.定义

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.判断函数连续的直观方法:ab有理分式函数在其定义域内的每一点都是连续的。有理整函数在区间内是连续的连续函数

我们来证明,函数y=sinx在区间内是连续的连续函数三角函数积化和差公式三角函数和差化积公式

三角函数积化和差公式

三角函数和差化积公式我们来证明,函数y=sinx在区间内是连续的由三角公式有类似可证y

=cosx

在(-,+)上连续.说以

y=sinx

在(-,+)上连续.连续函数例解点x=0

称为函数f(x)的间断点二、函数的间断点1.定义

设函数y=f(x)在x0

的某一邻域内有定义，如果函数y=f(x)有下列三种情形之一：(1)

在x=x0

没有定义；(2)

虽在x=x0

有定义，但不存在；(3)

虽在x=x0

有定义，且存在，但则称函数f(x)在x0

间断，点x0

称为函数f(x)的间断点(不连续点）.思考：函数的间断点可能会在哪些点上？例1讨论的连续性xyO-

无穷间断点:f(x0-),f(x0+)中至少有一个是无穷大例2在x=0不存在讨论处的连续性振荡间断点:f(x0-),f(x0+)中至少有一个是振荡的例3间断点讨论处的连续性xy1O可去间断点:f(x0-)=f(x0+)≠f(x0)xy11O例4所以,x=1也称为该函数的可去间断点讨论在x=1处的连续性xy1-1O例5函数因为y=f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象,我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点在x=0处的连续性跳跃间断点:f(x0-)

f(x0+)

所以，x=0为函数f(x)间断点

2.间断点分类间断点第一类间断点f(x0-),f(x0+)都存在可去间断点f(x0-)=f(x0+)跳跃间断点f(x0-)

f(x0+)第二类间断点f(x0-),f(x0+)中至少有一个不存在无穷间断点f(x0-),f(x0+)中至少有一个是无穷大振荡间断点f(x0-