新疆阿勒泰第二高级中学2026届高二上数学期末统考试题含解析

新疆阿勒泰第二高级中学2026届高二上数学期末统考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，某铁路客运部门设计的从甲地到乙地旅客托运行李的费用c（元）与行李质量w（kg）之间的流程图．已知旅客小李和小张托运行李的质量分别为30kg，60kg，且他们托运的行李各自计费，则这两人托运行李的费用之和为（）A.28元 B.33元C.38元 D.48元2．已知等差数列，，则公差d等于（）A. B.C.3 D.-33．金刚石的成分为纯碳，是自然界中存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体.若某金刚石的棱长为2，则它外接球的体积为（）A. B.C. D.4．函数在上的最大值是A. B.C. D.5．正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是A. B.C. D.6．中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数据，即“结绳计数”，如图，一位古人在从右到左（即从低位到高位）依次排列的红绳子上打结，满六进一，用6来记录每年进的钱数，由图可得，这位古人一年收入的钱数用十进制表示为（）A.180 B.179C.178 D.1777．过抛物线的焦点作互相垂直的弦，则的最小值为（）A.16 B.18C.32 D.648．已知等差数列中的、是函数的两个不同的极值点，则的值为（）A. B.1C.2 D.39．如图，在三棱柱中，平面，，，分别是，中点，在线段上，则与平面的位置关系是（）A.垂直 B.平行C.相交但不垂直 D.要依点的位置而定10．某制药厂为了检验某种疫苗预防的作用，把名使用疫苗的人与另外名未使用疫苗的人一年中的记录作比较，提出假设：“这种疫苗不能起到预防的作用”，利用列联表计算得，经查对临界值表知.则下列结论中，正确的结论是（）A.若某人未使用该疫苗，则他在一年中有的可能性生病B.这种疫苗预防的有效率为C.在犯错误的概率不超过的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用”D.有的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用11．已知圆与圆外切，则（）A. B.C. D.12．下列命题中，结论为真命题的组合是（）①“”是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件②若命题“”为假命题，则命题一定是假命题③是的必要不充分条件④双曲线被点平分的弦所在的直线方程为⑤已知过点的直线与圆的交点个数有2个.A.①③④ B.②③④C.①③⑤ D.①②⑤二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知空间向量，，若，则______.14．在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则_______15．已知，分别是椭圆和双曲线的离心率，，是它们的公共焦点，M是它们的一个公共点，且，则的最大值为______16．已知数列，点在函数的图象上，则数列的前10项和是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某校高二年级共有男生490人和女生510人，现采用分层随机抽样的方法从该校高二年级中抽取100名学生，测得他们的身高数据（1）男生和女生应各抽取多少人？（2）若样本中男生和女生的平均身高分别为173.6、162.2厘米，请估计该校高二年级学生的平均身高18．（12分）在平面直角坐标系中，已知点.点M满足.记M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）直线l经过点，与轨迹C分别交于点M、N，与直线交于点Q，求证：.19．（12分）同时抛掷两颗骰子，观察向上点数.（1）试表示“出现两个1点”这个事件相应的样本空间的子集；（2）求出现两个1点”的概率；（3）求“点数之和为7”的概率.20．（12分）如图，点О是正四棱锥的底面中心，四边形PQDO矩形，（1）点B到平面APQ的距离：（2）设E为棱PC上的点，且，若直线DE与平面APQ所成角的正弦值为，试求实数的值21．（12分）已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，，（1）现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；（2）现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？22．（10分）已知数列满足（1）求；（2）若，且数列的前n项和为，求证：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据程序框图分别计算小李和小张托运行李的费用，再求和得出答案.【详解】由程序框图可知，当时，元；当时，元，所以这两人托运行李的费用之和为元.故选：D2、B【解析】根据题意，利用公式，即可求解.【详解】由题意，等差数列，，可得等差数列的公差.故选：B.3、A【解析】求得外接球的半径，进而计算出外接球体积.【详解】设，正八面体的棱长为，根据正八面体的性质可知：，所以是外接球的球心，且半径，所以外接球的体积为.故选：A4、D【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可，结合函数的单调性求出的最大值即可【详解】函数的导数令可得，可得上单调递增，在单调递减，函数在上的最大值是故选D【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题5、A【解析】利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可.【详解】,，且a,b为正数，，当且仅当，即时，，若不等式对任意实数x恒成立，则对任意实数x恒成立，即对任意实数x恒成立，，，故选：A【点睛】本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.6、D【解析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别为、、，然后把它们相加即可.【详解】（个）.所以古人一年收入的钱数用十进制表示为个.故选：D.7、B【解析】根据抛物线方程求出焦点坐标，分别设出，所在直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求得，，然后利用基本不等式求最值.【详解】抛物线的焦点，设直线的直线方程为，则直线的方程为.，，，.由，得，，同理可得..当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故选：B8、C【解析】对求导，由题设及根与系数关系可得，再根据等差中项的性质求，最后应用对数运算求值即可.【详解】由题设，，由、是的两个不同的极值点，所以，又是等差数列，所以，即，故.故选：C9、B【解析】构造三角形,先证∥平面,同理得∥平面,再证平面∥平面即可.【详解】连接，，.因为在直三棱柱中，M，N分别是，AB的中点，所以∥.因为平面内，平面，所以∥平面.同理可得AM∥平面.又因为，平面，平面，所以平面∥平面.又因为P点在线段上，所以∥平面.故选：B.10、C【解析】根据的值与临界值的大小关系进行判断.【详解】∵，，∴在犯错误的概率不超过的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用”，C对，由已知数据不能确定若某人未使用该疫苗，则他在一年中有的可能性生病，A错，由已知数据不能判断这种疫苗预防的有效率为，B错，由已知数据没有的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用,D错，故选：C.11、D【解析】根据两圆外切关系，圆心距离等于半径的和列方程求参数.【详解】由题设，两圆圆心分别为、，半径分别为1、r，∴由外切关系知：，可得.故选：D.12、C【解析】求出两直线垂直时m值判断①；由复合命题真值表可判断②；化简不等式结合充分条件、必要条件定义判断③；联立直线与双曲线的方程组成的方程组验证判断④；判定点与圆的位置关系判断⑤作答.【详解】若直线与直线相互垂直，则，解得或，则“”是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件，①正确；命题“”为假命题，则与至少一个是假命题，不能推出一定是假命题，②不正确；，，则是的必要不充分条件，③正确；由消去y并整理得：，，即直线与双曲线没有公共点，④不正确；点在圆上，则直线与圆至少有一个公共点，而过点与圆相切的直线为，直线不包含，因此，直线与圆相交，有两个交点，⑤正确，所以所有真命题的序号是①③⑤.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】依据向量垂直充要条件列方程，解之即可解决.【详解】空间向量，，由，可知，即，解之得故答案为：214、【解析】代入，展开整理得，①化为，与①式相加得，转化为关于的方程，求解即可得出结论.【详解】因为，所以，所以，因为，所以，则，整理得，解得.故答案为:.【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，考查三角函数化简求值，属于中档题.15、【解析】利用椭圆、双曲线的定义以及余弦定理找到的关系，然后利用三角换元求最值即可.【详解】解析：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为，半焦距为c，设，，，因为，所以由余弦定理可得，①在椭圆中，，①化简为，即，②在双曲线中，，①化简为，即，③联立②③得，，即，记，，，则，当且仅当，即，时取等号故答案为：.16、【解析】将点代入可得，从而得，再由裂项相消法可求解.【详解】由题意有，所以，所以数列的前10项和为：.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）应抽取男生49人，女生51人；（2）.【解析】（1）利用分层抽样计算男生和女生应抽取的人数；（2）利用平均数的计算公式计算求解.【小问1详解】解：应抽取男生人，女生应抽取100-49=51人.【小问2详解】解：估计该校高二年级学生的平均身高为.18、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据已知得点M的轨迹C为椭圆，根据椭圆定义可得方程；（2）直线的方程设为，与椭圆方程联立，利用韦达定理及线段长公式进行计算即可.【小问1详解】由椭圆定义得，点M的轨迹C为以点为焦点，长轴长为4的椭圆，设此椭圆的标准方程为，则由题意得，所以C方程为；【小问2详解】设点的坐标分别为，由题意知直线的斜率一定存在，设为，则直线的方程可设为，与椭圆方程联立可得，由韦达定理知，所以，，又因为，所以又由题知，所以，所以，所以，得证.19、（1）（2）（3）【解析】（1）由题意直接写出基本事件即可得出答案.（2）样本空间一共有个基本事件,由（1）可得答案.（3）列出“点数之和为7”的基本事件，从而可得答案.【小问1详解】“同时抛掷两颗骰子”的样本空间是{1，2，…，6；1，2，…，6}，其中i、j分别是抛掷第一颗与第二颗骰子所得的点数.将“出现两个1点”这个事件用A表示，则事件A就是子集.【小问2详解】样本空间一共有个基本事件，它们是等可能的，从而“出现两个1点”的概率为.小问3详解】将“点数之和为7”这个事件用B表示，则{，，，，，}，事件B共有6个基本事件，从而“点数之和为7”的概率为.20、（1）（2）或【解析】（1）以三棱锥等体积法求点到面距离，思路简单快捷.（2）由直线DE与平面APQ所成角的正弦值为，可以列关于的方程，解之即可.【小问1详解】点О是正四棱锥底面中心，点О是BD的中点，四边形PQDO矩形，，两点到平面APQ的距离相等.正四棱锥中，平面，平面，，，设点B到平面APQ的距离为d，则，即解之得，即点B到平面APQ的距离为【小问2详解】取PC中点N，连接BN、ON、DN，则.平面平面正四棱锥中，，直线平面平面，平面平面，平面平面平面中，点E到直线ON的距离即为点E到平面的距离.中，，点P到直线ON的距离为△中，，设点E到平面的距离为d，则有，则则有，整理得，解之得或21、（1）（2）【解析】（1）由相互独立事件的概率可得；（2）根据各产品的市场占有率和合格率，由条件概率公式计算可得.【小问1详解】记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件，，，则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D，则故从三家企业的