第二章 §2.9　指、对、幂的大小比较（教师版）

第二章函数§2.9指、对、幂的大小比较【考情分析·探规律】考点三年考情（2021-2024）命题趋势指对幂函数值大小比较2024·天津卷2023·全国甲卷2023·天津卷2022·天津卷2022·全国甲卷2022·全国新Ⅰ卷2021·天津卷2021·全国新Ⅱ卷函数“比大小”是非常经典的题型，每年高考基本都会出现，高考命题中，常常在选择题中出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。考查学生利用函数的性质与图象解答能力。【名师点拨】函数“比大小”是非常经典的题型，难度不定，方法无常，很受命题者的青睐。每年高考基本都会出现，难度逐年上升；高考命题中，常常在选择题中出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。题型一直接法比较大小命题点1利用函数的性质例1.已知a＝0.734,b＝log83A.b<a<c B.a<c<bC.b<c<a D.a<b<c【答案】A【解析】由于y＝0.7x是R上的减函数，则0<0.734<0.70＝1，所以0<由于y＝log8x是(0，＋∞)上的增函数，则log834<log81＝0，所以b<0由于y＝4x是R上的增函数，则434>40＝1，所以c所以b<a<c.命题点2找中间值例2.设a＝0.20.5，b＝log53，c＝50.2，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.c<a<b【答案】A【解析】0<a＝0.20.5＝55<1>b＝log53>log55c＝50.2>50＝1，所以a<b<c.命题点3特殊值法例3.已知a>b>1，0<c<12A.ac<bc B.abc<bacC.alogbc<blogac D.logac<logbc【答案】C【解析】取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝1则ac＝414,bc＝214,∴aabc＝4×214＝294∴abc>bac，故B错误；logac＝log414＝－1，logbc＝log214alogbc＝－8，blogac＝－2，∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误.【解题技巧】利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“－1，0,12,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1~2之间的小数【变式训练】变式1.设a＝2－0.5，b＝120.3,c＝log0.50.3，则a，bA.c<b<a B.a<b<cC.b<a<c D.c<a<b【答案】B【解析】因为a＝2－0.5，b＝120.3＝2易知函数y＝2x在R上是增函数，又－0.5<－0.3<0，所以a<b<20＝1，又易知y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，所以c＝log0.50.3>log0.50.5＝1，综上，a<b<c.变式2.(2025·天津模拟)设a＝log2π，b＝log12π，c＝π－2A.a>b>c B.b>a>cC.a>c>b D.c>b>a【答案】C【解析】依题意，a＝log2π>log22＝1，b＝log12π<log121＝0，0<c＝π－2<π0＝1，所以a>题型二利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小命题点1作差法例1.设a＝log62，b＝log123，c＝log405，则()A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.a<c<b【答案】D【解析】∵1b＝log312＝1＋log34＝1＋＝1＋2lg2lg3,1＝1＋log58＝1＋lg8＝1＋3lg2∴1＝2lg2×lg5−3lg2×lg3＝lg2(2lg5−3lg3)＝lg2(lg25−lg27)lg3×lg5<0∴1b<又b>0，c>0，∴b>c；∵1c＝1＋log58<1＋log5＝1＋log5532＝5∵1a＝log26＝1＋log23>1＋log2＝1＋log2232＝5∴a<c.∴a<c<b.命题点2作商法例2.(2025·成都模拟)若a＝3−14,b＝32−13,cA.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.c>b>a【答案】D【解析】因为0<a＝3−14<30<b＝32−13令ab＝3−而3112×2＝3×2－4＝316<1即3112×2−13<1，又因为c＝log1225＝log12410>log125命题点3乘方法例3.已知a＝log35，b＝log57，c＝43A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.a>c>b【答案】D【解析】因为53＝125>(343)所以log35>log3343＝43因为73＝343<(543)所以log57<log5543＝43所以a>c>b.【解题技巧】求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式.【变式训练】变式1.已知正数a，b，c满足2024a＝2025，2025b＝2024，ec＝2，下列说法正确的是()A.logac>logbc B.logca>logcbC.ac<bc D.ca<cb【答案】D【解析】∵2024a＝2025，2025b＝2024，ec＝2，∴a＝log20242025>1，b＝log20252024<1，c＝ln2<1，∴a>1，0<b<1，0<c<1，∴logac<0，logbc>0，∴logac<logbc，故A错误；∵0<c<1，a>b，∴logca<logcb，ac>bc，ca<cb，故B，C错误，D正确.变式2.若a＝4log232,b＝log147，A.a>b>c B.b>c>aC.c>b>a D.a>c>b【答案】A【解析】a＝4b＝log147＝1－log142＝1－ln2ln14,c＝log126＝1－log12因为4log142＝log1424＝log1416>1，则log142>1所以1－log142<1－14＝34,而ln2>0，ln14>ln12>0，所以ln2ln14<所以1－ln2ln14>1－ln2ln12,即b综上，a>b>c.【限时训练】（45分钟）一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知a＝20.3，b＝30.2，c＝log0.20.3，则()A.b>c>a B.c>b>aC.a>b>c D.b>a>c【答案】D【解析】依题意，b＝30.2＝90.1>80.1＝20.3＝a>1，c＝log0.20.3<log0.20.2＝1，所以b>a>c.2.(2025·攀枝花模拟)若a＝(3)23,b＝log3e，A.a>c>b B.a>b>cC.c>a>b D.c>b>a【答案】A【解析】易知y＝x13在(0，＋∞)上单调递增，则(3)23＝3而由y＝3x，y＝ex均为增函数，得313>30＝1,e13>e0＝1，即又y＝log3x为增函数，故1＝log33>log3e＝b，则a>c>1>b.3.已知a＝ln3,b＝π1e,c＝ln3π,则A.b>a>c B.b>c>aC.a>c>b D.a>b>c【答案】A【解析】∵(3)6＝27,(3π)∴3>3∴0<ln3π<ln3<lne＝1，即c<a<1∵b＝π1e∴b>a>c.4.已知a＝log32，b＝log43，c＝sinπ6,则a，b，c的大小关系为A.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.b>a>c【答案】D【解析】c＝sinπ6＝12,因为函数y＝log3x，y＝log4则a＝log32>log33b＝log43>log42＝12a－b＝ln2因为ln2>0，ln4>0，则ln2＋ln4>2ln2×ln4⇒ln2×ln4<14×(ln8)2<14×(ln9)2＝(ln3)故a<b，综上，b>a>c.5.(2025·沈阳模拟)设a＝e1033,b＝ln1110A.a<b<c B.c<b<aC.b<c<a D.a<c<b【答案】B【解析】a＝e1033>e0＝1，b＝ln1110<1，c＝ln2.210<1，故a>b，要比较ln1110与ln2.210的大小，即比较ln11等价于比较1.110与2.2的大小，等价于比较1.19与2的大小，又1.19＝1.1×1.18＝1.1×1.214>1.1×1.24＝1.1×1.442>1.1×1.42＝1.1×1.96>2，故1.19>2，即ln1110>ln2.210,即b故c<b<a.6.已知log4m＝920,log12n＝14,0.9p＝0.8，则正数m，n，A.p>m>n B.m>n>pC.m>p>n D.p>n>m【答案】A【解析】由log4m＝920,得m＝4由log12n＝14,得nmn＝4920121由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2，于是p>m>n，所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知x>y>0，则()A.log2(x2＋1)>log2(y2＋1)B.cosx>cosyC.(x＋1)3>(y＋1)3D.e－x＋1>e－y＋1【答案】AC【解析】对于A，由x>y>0，得x2＋1>y2＋1，又f(t)＝log2t是增函数，所以log2(x2＋1)>log2(y2＋1)，故A正确；对于B，由于g(t)＝cost在(0，＋∞)上不单调，所以cosx与cosy的大小关系无法确定，故B错误；对于C，由x>y，得x＋1>y＋1，又h(t)＝t3是增函数，所以(x＋1)3>(y＋1)3，故C正确；对于D，由x>y，得－x＋1<－y＋1，又φ(t)＝et是增函数，所以e－x＋1<e－y＋1，故D错误.8.设a＝ln4，b＝lg4，c＝20.6，则()A.b>a B.c>aC.a－b>ab D.a＋b>ab【答案】BD【解析】因为a＝ln4>lne＝1，b＝lg4<lg10＝1，所以b<a，故A错误；因为42<e3，所以ln42<lne3，即ln4<32,又325＝24332,(20.6)5＝(235因为a－b－ab＝ln4－lg4－ln4·lg4＝lg4lge－lg4－(lg4)2lge＝lg4[1−lg(4e)]lge,而lg(4e)>1，lg4>0，lge>0，所以a－b－由a＋b－ab＝lg4lge＋lg4－lg4lge·lg4＝lg4·lg5e2lge>0，所以a＋三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知a＝log20.5，b＝20.5，c＝sin2，则a，b，c的大小关系为.

【答案】a<c<b【解析】因为函数y＝log2x是增函数，且0.5<1，则a＝log20.5<log21＝0，因为函数y＝2x是增函数，且0.5>0，则b＝20.5>20＝1，因为正弦函数y＝sinx在区间π2,3π2上单调递减，所以0＝sinπ<c＝sin2<sinπ2＝1所以a<c<b.10.定义域为R的函数f(x)满足f(x＋2)为偶函数，且当x1<x2<2时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0恒成立，a＝f(1)，b＝f(ln10)，c＝f(354)，则a，b，c的大小关系为【答案】b>a>c【解析】因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，所以函数f(x)