人教A版必修第二册高一（下）数学8.1 基本立体图形【课件】

1.定义:如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由具体物体抽象出来的空间

图形就叫做空间几何体.2.常见的空间几何体有多面体和旋转体.8.1基本立体图形1|空间几何体知识点必备知识清单破1.定义、图形及表示2|特殊的多面体——棱柱、棱锥、棱台知识点名称定义要点图形及表示棱柱有两个面互相平行,其余各面

都是四边形,并且相邻两个四

边形的公共边都互相平行

记作:棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1棱锥有一个面是多边形,其余各面

都是有一个公共顶点的三角

形

记作:棱锥S-ABCD名称定义要点图形及表示续表棱台用一个平行于棱锥底面的平

面去截棱锥,底面和截面之间

的部分

记作:棱台ABCD-A1B1C1D1名称定义要点图形及表示续表2.棱柱的分类(1)底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……(2)直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱.(3)斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱.(4)正棱柱:底面是正多边形的直棱柱.拓展

几类特殊的四棱柱及其关系3.棱锥的分类(1)按底面多边形的边数可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……(2)正棱锥:底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥.4.棱台的分类(1)由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……(2)正棱台:由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.拓展

棱柱、棱台、棱锥的关系(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例):

3|特殊的旋转体——圆柱、圆锥、圆台知识点名称定义图形及表示圆柱以矩形的一边所在直线为旋

转轴,其余三边旋转一周形成

的面所围成的旋转体

记作:圆柱O'O名称定义图形及表示圆锥以直角三角形的一条直角边

所在直线为旋转轴,其余两边

旋转一周形成的面所围成的

旋转体

记作:圆锥SO续表名称定义图形及表示圆台用平行于圆锥底面的平面去

截圆锥,底面与截面之间的部

分

记作:圆台O'O球半圆以它的直径所在直线为

旋转轴,旋转一周形成的曲面

所围成的旋转体

记作:球O续表拓展

圆柱、圆台、圆锥的关系

1.简单几何体:常见的有柱体(棱柱和圆柱)、锥体(棱锥和圆锥)、台体(棱台和圆台)和球.2.简单组合体:由简单几何体组合而成.简单组合体的构成有两种基本形式:①由简单几何体

拼接而成;②由简单几何体截去或挖去一部分而成.4|简单几何体、简单组合体知识点1.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗?2.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗?3.两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体一定是棱台吗?4.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体一定是圆锥吗?5.直角梯形绕垂直于两底的腰所在的直线旋转一周得到的旋转体是什么?知识辨析

1.不一定.反例如图①所示.

2.不一定.“其余各面都是三角形”并不能保证它们都有一个公共顶点.如图②所示的几何体

不是棱锥.

图②

图③一语破的图①3.不一定.如图③,侧棱的延长线未交于一点.4.不一定.以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥,若以斜边所在

直线为轴旋转一周得到的是两个圆锥的组合体.5.圆台.1.在正棱锥中,顶点与底面正多边形中心的连线垂直于底面,且各侧棱长相等,进行相关计算

时要注意两个直角三角形:高、斜高(侧面等腰三角形底边上的高)、斜高在底面上的射影构

成直角三角形,高、侧棱、侧棱在底面上的射影构成直角三角形.2.在正棱台中,注意两个直角梯形:两底面中心连线、相应的边心距和斜高(侧面梯形的高)构

成一个直角梯形,两底面中心连线、侧棱和两底面中心分别与该侧棱相应端点的连线构成一

个直角梯形.1|空间几何体中的计算问题定点关键能力定点破3.在圆柱、圆锥和圆台中,注意两点:一要结合它们的形成过程,分辨清轴、母线及底面半径

与旋转前平面图形中的量的关系;二要切实体现轴截面的作用,可把轴截面从旋转体中分离

出来,以平面图形的计算解决立体问题.4.在球中,应注意球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离的关系,如图,R2=d2+r2.(1)已知正四棱锥的高为

,侧棱长为

,求该四棱锥的斜高;(2)正三棱台ABC-A'B'C'的上底面边长为2,下底面边长为4,高为3,求该正三棱台的斜高.典例1解析

(1)如图所示,在正四棱锥S-ABCD中,高OS=

,SA=SB=SC=SD=

,

在Rt△SOA中,OA=

=2,∴AC=4.∴AB=BC=CD=DA=2

.作OE⊥AB于E,则E为AB的中点.连接SE,则SE即为正四棱锥S-ABCD的斜高.易得OE=

BC=

,∴SE=

=

,即该四棱锥的斜高为

.(2)如图,设M,N分别为A'C',AC的中点,连接MN,MB',NB,分别取MB',NB上靠近M,N的三等分点O',O,则O',O分别为△A'B'C'和△ABC的中心,连接O'O,作MH⊥NB于H,

根据题意可得O'O=3,B'C'=2,BC=4,MN即为三棱台ABC-A'B'C'的斜高.易知四边形MHOO'为平行四边形,故MH=O'O=3,OH=O'M=

B'M=

×

×B'C'=

,NO=

BN=

×

×BC=

,在Rt△MNH中,MH=3,NH=NO-OH=

,故MN=

=

=

.故三棱台ABC-A'B'C'的斜高为

.一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4πcm2和25πcm2.求:(1)圆台的高;(2)截得此圆台的圆锥的母线长.典例2解析

(1)如图,圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,O1,O分别是圆台上、下底面的圆心,连接O1O,由已知得O1A=2cm,OB=5cm,AB=12cm,作AM⊥BC,垂足为M,则BM=5-2=3(cm),在Rt△ABM中,AM=

=3

cm.故圆台的高OO1=AM=3

cm.(2)延长BA,交OO1的延长线于点S,则SB的长即为所求圆锥的母线长,易得△SAO1∽△SBO,故

=

,即

=

,解得SA=8cm,所以SB=8+12=20(cm).故截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同侧,且距离等于1,求这

个球的半径.典例3解析

如图,设这个球的球心为O,两个截面圆的圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,球心O到截

面圆O1,O2的距离分别为d1,d2,球的半径为R,则π

=5π,π

=8π,∴

=5,

=8,又∵R2=

+

=

+

,∴

-

=8-5=3,即(d1-d2)(d1+d2)=3,又d1-d2=1,∴d1+d2=3,∴d1=2,d2=1.∴R=

=

=3.故球的半径为3.涉及空间几何体面上的问题,可以将其相关面展开到一个平面上,化“曲”为“直”,将

空间中的问题转化为平面上的问题,借助平面几何知识解题.2|与空间几何体表面展开图有关的问题定点如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面AEF,

求△AEF周长的最小值.

典例1解析

将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图,

连接AA1,则线段AA1的长即为△AEF周长的最小值.∵∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,∴∠AVA1=90°.又VA=VA1=4,∴AA1=4

.∴△AEF周长的最小值为4

.如图所示,圆台的上、下底面半径分别为5cm,10cm,AB=20cm,从圆台母线AB的中点

M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A.(1)求绳子的最短长度;(2)当绳子最短时,求上底面圆周上的点到绳子的最短距离.

典例2解析

(1)如图所示,将圆台的侧面展开,连接AM,则绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长

度,延长AB,交A'B'的延长线于点O,设OB=lcm,∠AOA'=θ,则θ·l=2π×5,θ·(l+20)=2π×10,