人教A版必修第二册高一（下）数学8.6.3 平面与平面垂直【课件】

1.半平面:平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面.2.二面角:如图,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面

角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.将这个二面角记作二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二

面角P-l-Q或二面角P-AB-Q.

8.6.3平面与平面垂直1|二面角知识点必备知识清单破3.二面角的平面角:如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分

别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.

二面角的大小可以用它的平面角来度量.范围:0°≤∠AOB≤180°.当∠AOB=90°时,二面

角α-l-β叫做直二面角.一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平

面α与β垂直,记作α⊥β,如图.

2|平面与平面垂直的定义知识点如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直.如图,l⊥α,l⊂β⇒α⊥β.(线面垂直⇒面面垂直)

3|平面与平面垂直的判定定理知识点两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另

一个平面垂直.如图,α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.(面面垂直⇒线面垂直)

4|平面与平面垂直的性质定理知识点

1.二面角与平面几何中的角是一样的,对吗?2.二面角的平面角的大小与角的顶点在棱上的位置有关系吗?3.若α⊥β,过平面α内的一点作平面β的垂线,该垂线与平面α有什么位置关系?4.两个平面垂直,则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗?5.如果α⊥β,β⊥γ,那么平面α与平面γ有什么样的位置关系?知识辨析一语破的1.不对.平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形;二面角是从一条直线出发的两

个半平面组成的图形.二面角的平面角是一个平面几何中的角.2.没有.二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关.3.该垂线在平面α内.4.不是.两个平面垂直时,在一个平面内,只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面.5.平行或相交.证明面面垂直的常用方法(1)定义法:说明两个半平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为线面垂直;(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.1|证明面面垂直定点关键能力定点破如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证:(1)DE=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.

典例

思路点拨

(1)取EC的中点F,连接DF,证明Rt△EFD≌Rt△DBA,从而可得DE=DA.(2)取CA的

中点N,连接MN,BN,可得MN∥BD,从而B,D,M,N四点共面,由EC⊥BN,CA⊥BN,可得BN⊥平面

ECA,进而得平面BDM⊥平面ECA.(3)由DM∥BN,BN⊥平面ECA可推出DM⊥平面ECA,再由

面面垂直的判定定理得平面DEA⊥平面ECA.证明

(1)如图,取EC的中点F,连接DF.因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EC⊥BC.易知DF∥BC,所以DF⊥EC.因为BD∥EC,所以BD⊥平面ABC,因为AB⊂平面ABC,所以BD⊥AB.因为EF=

EC,EC=2BD,所以EF=BD.又∠DFE=∠DBA=90°,FD=BC=AB,所以Rt△EFD≌Rt△DBA,故DE=DA.(2)如图,取CA的中点N,连接MN,BN,则MN∥EC,CA⊥BN.因为EC∥BD,所以MN∥BD,所以B,D,M,N四点共面.因为EC⊥平面ABC,所以EC⊥BN.又EC∩CA=C,EC,CA⊂平面ECA,所以BN⊥平面ECA.因为BN⊂平面MNBD,所以平面MNBD⊥平面ECA,即平面BDM⊥平面ECA.(3)易知DM∥BN,因为BN⊥平面ECA,所以DM⊥平面ECA.又DM⊂平面DEA,所以平面DEA⊥平面ECA.1.求二面角大小的方法(1)定义法求二面角的平面角的步骤①作:作出二面角的平面角;②证:证明这个角是二面角的平面角;③求:将作出的角放到三角形中,利用解三角形求出角的大小.(2)射影面积法:若多边形的面积为S,它在一个平面内的射影图形的面积为S',且多边形所在面

与该平面所成的二面角为θ,则cosθ=

.2.作二面角的平面角的常见方法(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如

图①,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.2|求二面角的大小定点(2)垂面法:过棱上一点作垂直于棱的平面,该平面与二面角的两个半平面各有一条交线,这两

条交线所成的角即二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(3)垂线法:如图③,过二面角的一个半平面内不在棱上的点A向另一个平面作垂线,垂足为B,

由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.

如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.

(1)证明:OA⊥BC;(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且三棱锥A-BCD的体积为

,求二面角E-BC-D的大小.典例解析

(1)证明:因为AB=AD,O为BD的中点,所以AO⊥BD,因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO⊂平面ABD,所以AO⊥平面BCD,因为BC⊂平面BCD,所以OA⊥BC.(2)因为△OCD是边长为1的等边三角形,所以S△OCD=

,则S△BCD=

.因为AO⊥平面BCD,所以AO为三棱锥A-BCD的高,则VA-BCD=

S△BCD·OA=

OA=

,所以OA=1.所以OC=CD=OD=OB=OA=1,即有OC=

BD,所以CD⊥CB.

因为AO⊥平面BCD,所以EF⊥平面BCD,又BC⊂平面BCD,所以EF⊥BC,因为FM⊥BC,FM∩EF=F,FM,EF⊂平面EFM,所以BC⊥平面EFM,又ME⊂平面EFM,所以BC⊥ME,则∠EMF为二面角E-BC-D的平面角.因为DE=2EA,所以EF=

AO=

,因为FM⊥BC,CD⊥CB,所以FM∥CD,作EF⊥BD于F,FM⊥BC于M,连接EM,则AO∥EF,由OA=OD知∠ODA=

,故DF=EF=

,所以BF=

,即

=

,所以FM=

CD=

,从而EF=FM=

,所以∠EMF=

.故二面角E-BC-D的大小为

.1.在立体几何中经常出现“是否存在一点使得线面垂直或面面垂直”的问题,对于此类题目,

一般采用倒推法,把要探索的结论作为条件,利用垂直关系进行转化求解.2.空间中三种垂直关系的相互转化如图.

3|与垂直有关的探索性问题定点如图,在△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD

上的动点,且

=

=λ(0<λ<1).(1)求证:无论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;(2)是否存在λ∈(0,1),使平面BEF⊥平面ACD?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

典例

解析

(1)证明:∵AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.∵BC⊥CD,且AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC,∴CD⊥平面ABC.∵

=

=λ(0<λ<1),∴EF∥CD,∴EF⊥平面ABC,∵EF⊂平面BEF,∴平面BEF⊥平面ABC.∴无论λ为何值总有平面BEF⊥平面ABC.(2)存在,当λ=

时,平面BEF⊥平面ACD.∵EF⊥平面ABC,BE⊂平面ABC,∴BE⊥EF.若平面BEF⊥平面ACD,则由平面BEF∩平面ACD=EF,BE⊥EF,BE⊂平面BEF,可得BE⊥平面ACD,又AC⊂平面ACD,所以BE⊥AC.∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∴BD=

,∵∠ABD=90°,∠ADB=60°,∴AB=

tan60°=

,∴AC=

=

.易得Rt△AEB∽Rt△ABC,∴

=

,解得AE=

,∴λ=

=

.故当λ=

时,平面BEF⊥平面ACD.素养解读线面位置关系是立体几何中重要的学习内容,也是高考的必考点之一,主要考查线面、面面

平行或垂直关系的证明.在解决线面位置关系问题时,首先分析图形与条件,把已知线段的长度、平行、垂直或相等关系在图形中标注出来,再结合定义、定理,综合结论寻找解决方法.逻辑推理素养与直观想象素养是最应具备的两大素养,解决线面位置关系问题时,良好的空间想象能力和严谨的推理必不可少.

|通过解决线面位置关系问题发展逻辑推理和直观想象的核心素养素养学科素养情景破在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E,F分

别是CD,PC的中点,求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.

典例呈现例题解题思路

(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD=AD,PA⊂平面PAD,PA⊥

AD,所以PA⊥底面ABCD.(利用面面垂直的性质定理,实现面面垂直到线面垂直的转化)(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,所以AB∥DE,且AB=DE,所以四边形ABED为平行四边形,所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BE∥平面PAD.(利用线面平行的判定定理,实现线线平行到线面平行的转化)(3)因为AB⊥AD,且四边形ABED为平行四边形,所以BE⊥CD,