2025年高考数学一模试题分类汇编 专题08 计数原理（原卷版）

专题08计数原理题型概览题型01利用二项式定理求项的系数题型02利用二项式定理求系数和问题题型03三项式及两项积和问题题型04排列组合综合运用题型01利用二项式定理求项的系数题型011．（2025·山东泰安·一模）若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（

）A． B． C．60 D．2402．（2025·福建泉州·一模）已知的展开式中的系数为0，则的值为（

）A． B． C．640 D．12803．（2025·山东济宁·一模）的展开式中的常数项为（）A．18 B．20 C．22 D．244．（2025·辽宁·一模）设，则（

）A．B．C．D．若表示正数的整数部分，则5．（2025·江西·一模）用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有n个，则的展开式中，x3项的系数为．（用数字作答）6．（2025·湖北·一模）已知在，的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为7．（2025·黑龙江·一模）在的展开式中，常数项为.8．（2025·山东菏泽·一模）若n是数据1，3，2，2，9，3，3，10的第75百分位数，则展开式中的系数为.9．（2025·山东临沂·一模）的展开式中的一项是（

）A． B． C． D．10．（2025·北京延庆·一模）的展开式中，的系数为.题型02利用二项式定理求系数和问题题型021．（2025·江西赣州·一模）已知，，则（

）A． B．C． D．2．（2025·广东江门·一模）已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（）A．B．展开式中奇数项的二项式系数的和为256C．展开式中的系数为D．若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大3．（2025·云南曲靖·一模）若的展开式的各二项式系数之和为32，则（

）A．B．展开式中只有第三项的二项式系数最大C．展开式中项的系数为1960D．展开式中系数为有理数的项共有2项题型03三项式及两项积和问题题型031．（2025·江西新余·一模）的展开式中的系数为36，则的值为.2．（2025·广东佛山·一模）的展开式中的系数是．题型04排列组合综合运用题型041．（2025·安徽·一模）程大位（1533-1606）是明代珠算发明家，微州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具.算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”.现有一种算盘（如图1）共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字5：梁下五珠，上拨一珠记作数字1.例如：图2中算盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的3枚算珠，则可以表示不同的三位整数的个数为.2．（2025·山东泰安·一模）从名同学中选择人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有种安排方法（用数字作答）3．（2025·甘肃兰州·一模）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”这二十八字节气歌是我国古人智慧的结晶．某文具店试销二十四节气书签，每套书签24张，分别印有春夏秋冬四季节气各6张．文具店为促销进行抽奖活动，凡购买一套二十四节气书签可参加抽奖，抽奖规则如下：从一套书签中挑出6张春季卡，6张夏季卡，将其中3张春季卡和3张夏季卡装在一个不透明的盒中，剩余的3张春季卡和3张夏季卡放在盒外．现从盒中随机抽出一张卡，若抽出春季卡，则把它放回盒子中，若抽出夏季卡，则该卡与盒外的一张春季卡置换．如此操作不超过4次，将盒中的夏季卡全部置换为春季卡，则停止抽卡并获得2套二十四节气书签，否则不获奖．(1)求只抽3次即获奖的概率；(2)若促销的30天中预计有360人参加活动，从数学期望的角度分析商家准备多套少书签作为奖品更为合理？4．（2025·山西·一模）定义：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，例如“1022，3110”，则所有“吉祥数”的个数是（

）A．35 B．32 C．29 D．205．（2025·山东菏泽·一模）若从正方体的八个顶点中任取四个顶点，则下列说法正确的有（

）A．若这四点不共面，则这四点构成的几何体的体积都相等B．这四点能构成三棱锥的个数为58C．若正方体棱长为a，则这四点能构成的所有三棱锥中表面积的最大值为D．若这四点分别记为A，B，C，D，则直线与所成的角不可以为30°6．（2025·辽宁·一模）数学家欧拉把“哥尼斯堡七桥问题（如图①，如何才能走过这七座桥，且每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发点？）”转化为能否一笔画出图②的问题.定义若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点为偶点，否则称为奇点.连通图可以一笔画出的充要条件是：奇点的数目不是0个就是2个（要想一笔画成，若有奇点，起点和终点只能在奇点），因此“哥尼斯堡七桥问题”是无解的.借助上述内容一笔画完成图③的不同路径方法有种.7．（2025·山东烟台·一模）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在哈尔滨成功举行.4名大学生到冰球、速滑以及体育中心三个场馆做志愿者，每名大学生只去1个场馆，每个场馆至少安排1人，则所有不同的安排种数为.（用数字作答）8．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（

）A．16种 B．32种 C．48种 D．64种9．（2025·云南昆明·一模）在空间直角坐标系中，平面、平面、平面把空间分成了八个部分，这八个部分称为“卦限”，通过点的横坐标、纵坐标、竖坐标，可确定点的确切位置及所处卦限.“卦限”取自《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四像生八卦”，从直角坐标系中的原点，到数轴中的两个半轴，进而到平面直角坐标系中的四个象限，最终到空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单到繁复的变化过程，体现了中国古典哲学与现代数学的关系，也体现了数学名词翻译的“信达雅”.若点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合，从中任取个点，则这个点在同一个卦限的概率为.10．（2025·江西上饶·一模）将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有1个凹槽与其放入的小球编号相同的概率是（

）A． B． C． D．11．（2025·湖北·一模）有形状、质量完全相同的个不同白色小球，另有一个红色小球与每一个白色小球仅有颜色差异，将这个红色小球命名为“2025幸运星球”，将这个小球装在一个盒子里，并随机摇动放匀，则下列说法正确的是（

）A．从盒子里任取3个小球，“2025幸运星球”被选中的概率为；B．从盒子里任取3个小球，记事件“2025幸运星球’被选中”；事件“取得的3个小球都是白色球”，则事件为对立事件；C．当时，把这20个小球分别装进甲、乙、丙三个不同的盒子里，每个盒子至少装1个小球，甲、乙、丙三个盒子里装有小球的个数分别记为x，y，z，则有序数组的个数为171；D．当时，把这20个小球分别装进甲、乙、丙三个不同的盒子里，每个盒子至少装1个小球，甲、乙、丙三个盒子里装有小球的个数分别记为x，y，z，则有序数组的个数为231；12．（2025·甘肃兰州·一模）将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前三位数字构成三位数a，后三位数字构成三位数b，记，m大于100的概率是（

）A． B． C． D．13．（2025·广东江门·一模）现有编号为的4个小球和4个盒子，把4个小球随机放进4个盒子里，每个盒子装1个小球，则恰好有2个小球与盒子的编号相同的概率为（）A． B． C． D．14．（2025·吉林延边·一模）编号为，，，，的5种蔬菜种在如图所示的五块实验田里，每块只能种一种蔬菜，要求品种不能种在1，2试验田里，品种必须与品种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为（

）A．24 B．30 C．36 D．5415．（202