《时间序列分析》课件 第10章 协整与误差修正模型

时间序列分析

张成思

第10章协整与误差修正模型10.1协整与误差修正模型的基本定义10.2Engle-Granger协整分析方法10.3向量ADF模型与协整分析10.4向量误差修正模型10.5确定性趋势与协整分析10.6Johansen协整分析方法10.7向量误差修正模型的估计与统计推断10.8Johansen协整分析方法的应用

12.1协整与误差修正模型的基本定义

协整分析是基于非平稳序列基础之上的，而利用非平稳序列进行回归，经常会出现伪回归现象。而另外一种情况却是更具有应用价值的协整关系。

10.1.1伪回归

对于经典线性回归模型，如：

除了对随机扰动项的独立一致性分布要求之外，一般都要求回归变量

和

为平稳时间序列。

伪回归（spuriousregression），就是指变量之间本来并不存在真正的关系，而是由于变量都是趋势（非平稳）序列造成的虚假显著性关系。

在介绍伪回归概念的时候，一般都使用非平稳序列回归来进行演示。我们这里使用计算机模拟生成两个观测值为241个的带截距项的随机游走序列:

其中：

表示服从正态一致性分布、均值为0、方差为1的随机扰动项。

图10-1模型(10.2)随机生成的带有截距项的随机游走序列表10-1伪回归估计结果

随机生成的这两个变量，虽然并没有什么经济理论能够说明它们之间存在一定的联系，但回归估计结果却显示，模型中的系数都具有统计显著性，说明二者存在显著的线性关系。并且，表9-1中的回归结果还显示，模型拟合得几近完美，

高达0.99，而DW统计量又非常小，只有0.045！这是典型的伪回归特征。

但是，并不是所有非平稳序列之间都没有一定的联系，有一种特殊情况，即非平稳时间序列的线性组合是平稳序列，这个时候，我们说这些非平稳时间序列之间存在长期的均衡关系，这就是协整关系。协整关系与伪回归不同，因为协整刻画了确实存在内在联系的经济变量之间的长期关系。10.1.2协整的定义

对于多个非平稳时间序列，有一种特殊的情况，就是由这几个非平稳时间序列变量的线性组合形成的变量，是平稳的序列。在这种情况下，我们说这些非平稳时间序列存在协整关系。

假定我们研究两个时间序列变量，分别为

和

，而且这两个变量都是一阶单整过程，即I(1)过程。如果

和

的一个线性组合，如

，构成了一个平稳的时间序列，那么我们说

和

具有协整关系，并且协整向量为

。

协整定义的更一般的陈述形式：

如果两个或多个一阶单整变量的线性组合是平稳时间序列，那么这些变量存在协整关系，而对应的刻画这种关系的系数向量称为协整向量。

如果m个变量存在协整关系，那么它们之间的长期均衡关系就可以表示成：

或者写成矩阵的形式，即：

其中：

如果出现偏离这种长期关系时，就会出现所谓的“均衡误差”，即：

10.1.3误差修正模型

模型系统(10.11)就是最简单形式的误差修正模型。因为ECM刻画的是系统内变量的动态变化（差分形式）对出现偏离均衡状态的误差的反应

，所以在ECM模型中，变量以差分形式出现。

如果考虑到各个变量的滞后项对当期值的影响，模型(12.11)对应的更一般的ECM形式是：

其中的滞后算子多项式定义为：和

对于n个非平稳序列的误差修正模型，可以直观地进行拓展。如果将n个变量写成矩阵的形式，即：

类似地，将涉及的扰动项和系数等均表示成矩阵的形式，那么，向量形式的误差修正模型可以写成：

10.2Engle-Granger协整分析方法10.2.1Engle-Granger协整分析的步骤

为方便理解，以两个变量为例。

第1步：变量的（非）平稳性检验。使用单位根检验方法检验研究的变量是否为非平稳序列。注意，协整关系的前提是分析具有相同阶数的单整过程变量的线性组合关系。第2步：假设第1步中的检验结果表明两个变量为同阶的非平稳序列，则对这两个变量进行回归，并且获得OLS回归的系数估计值，并且保存残差序列

。第3步：利用特殊的检验临界值来检验残差序列是否为平稳序列。这一步是对上一步保存的残差序列进行单位根检验。表10-5Engle-Granger协整检验中残差序列单位根检验临界值第4步：设立并估计误差修正模型。在第3步的基础上，如果判定了协整关系的存在，则设立并估计下面的ECM模型：

其中：第5步：诊断检验并解释实证结果。在协整检验和ECM估计滞后，最后就需要运用相关的诊断检验进一步验证误差修正模型是否完备，如各个滞后项的滞后期数是否合理等。同时，研究人员要对整个协整分析的结果进行综合解释，如果有可能，最好给出含义分析。

图10-4Engle-Granger协整分析方法流程图

如果以下条件满足，则向量

为具有(d,b)阶的协整向量

，记做

。这些条件是：1）

所有组成元素具有相同的大于0的单整阶数d>0。2）存在一协整向量

，

使得线性组合

具有

单整性质。

10.2.2Engle-Granger协整分析方法的应用

假设我们研究的母国和外国分别为美国和英国,我们利用美国和英国的月度物价指数和美元兑英镑的汇率数据,样本区间为USUK1988年1月—2023年5月。其中,我们使用next、Pt和Pt分别表示汇率(1英镑的美元价格)和美国、英国两国的消费者价格指数(数据均为取自然对数后的形式)图10-5美元兑英镑汇率和英美两国的消费价格指数图10-5美元兑英镑汇率和英美两国的消费价格指数

长期购买力平价理论（Long-runPPP）要求真实汇率为平稳时间序列，而真实汇率

可以写成：

现在，我们可以利用Engle-Granger协整分析法检验Long-runPPP是否成立。各个变量均为自然对数形式，所以可以构造一个序列

，用来表示英国物价的美元价值。

然后，考查下列均衡关系：

如果能验证

，并且

为平稳时间序列，则问题得到验证。可以看出，这是一个典型的长期均衡问题，即协整关系问题。根据设计，我们构造了序列

，构造出来的变量图示描绘在图12-6中。图10-6英国物价的美元价格时序图

接下来，我们利用Engle-Granger协整分析方法，以回归方程（10.21）为基础考查了此例中的协整关系问题。

第一，对

和

进行了ADF单位根检验，结果归纳在表10-6中。从单位根检验的结果可以看到，两个变量分别进行的单位根检验统计量对应的p-值都远大于10％，所以可以判断者两个变量为I(1)序列。表10-6变量和US的ADF检验结果ftpt

第二，我们运用OLS对模型(10.21)进行回归估计，并且将回归估计的结果报告在表10-7中，同时将获得的残差序列保持下来，其时序图描绘在图10-7中。表10-7模型(10.21)的普通最小二乘回归估计结果图10-7模型(10.21)回归后的残差序列

第三，我们对残差序列进行ADF单位根检验，并使用表12-5中归纳的Engle-Granger协整分析中特殊的ADF单位根检验临界值，来判断残差序列是否具有单位根。

表10-8模型(10.21)对应的残差项单位根检验结果10.3向量ADF模型与协整分析10.3.1向量形式的ADF模型

对于向量形式的自回归模型，即VAR(p)模型：

VAR模型系统是否稳定，由特征方程等式

的根决定。

VAR模型系统内变量的平稳特性与特征方程的根紧密相关：

①如果

的所有根都落在单位圆外则VAR模型系统内的所有变量均为平稳序列，即I(0)。

②如果

的一个根等于1，而其他所有根都落在单位圆外，那么VAR模型系统内的所有变量均为非平稳序列，即I(1)。

含有n个变量的VAR(p)模型可以写成向量形式的ADF模型，即：

其中：

现在，

维矩阵

实质上决定了VAR模型系统的平稳特性。

给定一个

的方阵

，则有：

从而可知：

这样就可以知道，模型(10.28)中第一个等式的绝对值有如下关系：

其中：

表示矩阵行列式的绝对值。

10.3.2矩阵Π的秩条件与协整关系

以含有n个变量的VAR(1)模型为例，其相应的特征方程是：

因为这是行列式形式，我们总可以利用因式分解，获得下面的结果，即：

所以，模型(10.35)的根为

。

现在我们看到，如果特征方程含有一个单位根，即

是方程(12.34)的一个根，那么

。但是，从模型(10.28)中第一个等式我们又知道：

所以，单位根暗示着

。

矩阵

与n个变量的VAR(p)模型系统的平稳性以及协整关系个数之间的联系，这些联系可以大致分为3种情况。

情况1：

为非奇异矩阵，即满秩矩阵，以矩阵秩的形式表示就是：

如果满足这个条件，那么VAR模型为平稳系统，其所有组成变量均为平稳序列。显然，在这种情况下，不存在协整关系。

情况2：

为非0奇异矩阵，从而

含有一个单位根。在这种情况下，VAR系统的所有组成部分都是一阶单整过程，其秩

满足下列条件，即：

这种情况下，VAR系统存在协整关系。这种情况经常被称为缩减秩，

中的元素共有

种不同的组合，形成平稳序列。

情况3：

为0矩阵，即有：

在这种情况下，模型(10.27)变成：

此时，VAR系统中的一次差分变量

是平稳的，但是每个变量自身是随机游走过程。因此，如果出现这种情况，则暗示着系统内存在n个不同的单位根过程，而这些变量并不构成协整关系。

从以上讨论我们知道，协整关系的出现要求：

因此，在

的n个变量中，至多存在

个协整向量。另外，如果

维矩阵

是满秩矩阵，那么对应的VAR模型系统是平稳的，系统内所有变量也是平稳时

间序列过程。

10.3.3VAR模型与矩阵Π的演示10.4向量误差修正模型10.4.1向量误差修正模型的表达形式

对于含有n个变量的VAR模型，当对应的矩阵

的秩介于0和n之间的时候，即

，

这n个变量之间存在

个协整关系。让我们定义一个

维的矩阵B，其中B的列含有

个不同的线性独立协整向量，所以

。

从长期来看，即所谓的均衡状态或者静止状态，这样的关系精确地存在，所以在长期，我们有：然而，从短期来看，例如对于每个确定的时刻t，都存在偏离协整关系

的成分。这种偏离代表了这些长期关系在短期内的一定程度的非均衡状态，所以偏离成分一般被称为误差。

因此，

促使

增加或者减少，从而使得

朝着它的长期均值移动(长期均值为0，为什么?)。这种增加或者减小的变化，实际上是一种调整，所以称为误差修正。因为这里我们研究的对象是VAR模型，所以VECM的名字由此而来。

根据定义，矩阵A衡量了

中每个变量是如何调整，从而回复到长期的均衡关系的水平上。所以，矩阵A经常被称为调整系数。另外，在实践中，经常对协整向量B进行标准化。10.4.2向量误差修正模型的演示10.4.2.12个变量的VAR(1)模型的向量误差修正模型表达式

协整关系的存在暗示着,y1t=2.5y2t的关系是该VAR模型系统内两个变量的一个长期均衡关系。根据定义,Zt=y1t-2.5y2t捕捉了y1t相对于y2t的非均衡状态的情况。所以,当y1t超过2.5y2t时,Zt是正值,而当y1t小于2.5y2t时,Zt是负值。。

这样，本例中的VAR模型对应的VECM形式就可以写成：

或者写成：

10.4.2.23个变量的VAR(1)模型的向量误差修正模型表达式

VAR模型的ADF形式，即：或者写成：

从最简单的协整情况开始，如果在这三个变量存在一个协整关系，即

，那么平稳的线性组合可以写成：

根据定义，就是一个一维的随机变量，协整向量(标准化了的形式)。

调整系数矩阵A就是一个的向量，从而对应的VECM形式可以写成：

(12.52)10.5确定性趋势与协整分析

在VAR模型中是否包含常数项，可以影响到协整检验的分析。所以，在大部分情况下，我们需要明确选择是否在VECM模型中加入常数项。为了将核心的问题讲清楚，我们使用VAR(1)模型来讨论向量协整分析中的确定性趋势设立问题。

第一种情况，是最简单的情形，即假设Yt的组成变量都不含有确定性趋势，协整向量中也不含有确定性趋势变量（即常数项），即：

第二种情况，假设Yt的组成变量都不含有确定性趋势，而协整向量中含有确定性趋势，即：

或者写成：

第三种情况，假设

的组成变量含有线性趋势变量（线性趋势变量就是指以时间t形式表现的），而协整等式中含有截距项，即：

其中：

指的是在协整关系之外的确定性趋势项，

表示系数矩阵。

第四种情况，假设

和协整关系式中都含有线性趋势项，即：(12.60)

第五种情况，假设

含有二次型趋势项，协整关系等式含有线性趋势项，即：

(12.61)

其中：因为

为时间趋势项，所以

就表示二次型趋势项。图10-8EViews中向量误差修正模型选项10.6Johansen协整分析方法10.6.1Johansen协整分析方法介绍

虽然Engle-Granger分析法简单易用，但是这种方法只能识别出多个变量的一种协整关系。而如果存在多于一个协整关系的情形，Engle-Granger协整分析方法就不再适用了。因此，在多个变量的协整分析中，更常用的方法是Johansen协整分析法。

Johansen