《时间序列分析》课件 第1-7章 概览- 单位根检验

时间序列分析

第一章概览1.1时间序列分析的范畴1.2时间序列数据特点1.3时间序列分析中的常用概念

1.1时间序列分析的范畴

时间序列分析是计量经济学中的一个重要分支,但它与其他计量经济学范畴在一些方面存在着明显的区别。

首先,时间序列分析侧重于分析时间序列数据,即按照时间顺序排列的数据,或者是随着时间变化而收集的数据。

1.2时间序列数据的特点

当涉及时间序列分析时,我们引入按时间顺序排列的数列,这个数列描述了某种随机变量的变化,数列中的数值是按时间先后顺序排列的。因此,时间序列数据的显著特征之一就是其与时间密切相关。

一般而言,时间序列变量具有两个显著的组成要素,即时间跨度和序列的频率。图1.1

上海证券综合指数:1992年1月—2024年4月(月度频率)资料来源:Wind数据库。图1.2上海证券综合指数:1992年1月1日—2024年5月1日(日度频率)资料来源:Wind数据库。图1.3人民币兑美元汇率:2000年1月1日—2024年5月1日资料来源:美联储。图1.4中国CPI同比增长率:1990年1月—2024年3月资料来源:Wind数据库。图15中国名义GDP水平值序列:2000年第1季度—2024年第1季度资料来源:Wind数据库。1.3时间序列分析中的常用概念1.3.1增长率和收益率简单净收益率（SimpleNetReturn）:连续复合收益率（continuouscompoundingreturn）：对于多期来说,

对于季度频率数据，年度化的增长率计算公式为:

对于月度频率数据，年度化的增长率计算公式是:

1.3.2随机变量与随机过程例如：其中,

表示εt服从均值为0、方差为σ2的正态分布。注意,正态分布也被称为高斯分布(Gausiandistribution),读者在阅读不同资料时应注意二者之间的等同性。

其中：表示表示随机变量:

误差项εt就是一个随机变量,这里假设这一随机误差变量服从正态分布。在更多情形下,随机变量εt被假设服从独立同分布(independentlyandidenticalydistributed),或者简记为i.i.d.。

与随机变量紧密相关但又有区别的一个概念就是随机过程。当我们希望对一个金融时间序列进行分析时，通常把

看作是一个随机过程的实现。宽泛地说，

随机过程就是定义在一定概率空间的一组具有相同特性的随机变量。1.3.3随机变量的期望与矩

从统计学角度来说，一个随机变量X的第n阶矩可以定义为：

一些定义:随机变量的1阶矩叫做均值。随机变量的2阶矩叫做方差。随机变量的3阶矩又称为偏度，它度量了随机变量分布的非对称程度。随机变量的4阶矩又称尾峰度，其衡量随机变量分布的尖峰程度或平坦程度。

样本矩:有用的运算规则:

1.3.4

经济模型与计量模型经济模型依据的是一定的经济理论所建立的等式关系。例如依据资产定价模型，写出确定的等式：

其中，rt表示单项资产的预期收益率，rf表示无风险收益率，rm表示组合资产预期收益率，β表示单项资产的风险系数。在这种等式关系（金融模型）中不包含随机扰动因素。而计量模型则是在经济模型的基础上增加了随机扰动因素,用以捕捉可能影响经济模型等式左侧变量的其他因素。虽然这种随机因素一般是不可观测的,但是我们总可以对其统计分布特征加以假设或者约束,从而实现对计量模型的回归估计。以刚才提到的资产定价模型为例，其对应的计量模型就应该写成：其中ut是模型中的随机扰动项。

图16金融计量建模流程时间序列分析张成思30

第二章AR模型2.1基础概念2.2一阶自回归模型:AR(1)2.3二阶自回归模型:AR(2)2.4p阶自回归模型:AR(p)

差分方程与滞后运算是时间序列分析的重要基础知识,也是掌握时间序列建模中动态分析方法的基石。考虑到现实中存在各种时滞问题,如政策信息对股票市场波动的影响需要一定的时间、利率变化对投资的调节进而带来经济产出等的变化等都需要一定的时间,所以经常需要利用差分方程来刻画各种时间序列变量之间的动态机制

312.1基础概念2.1.1差分方程2.1.1.1差分方程的定义令yt表示一个t期的市场利率。假设t期的这一利率是由刚刚过去的一期(即t-1期)的利率决定的,同时假设t期的利率还可能受到当期的一个随机扰动变量εt的影响,那么可以用下面的等式来表示这里陈述的内容图21中国CPI同比增长率:1990年1月—2024年5月资料来源:Wind数据库。随机变量用来捕捉可能会影响等式左侧变量的“其他”因素。有时候这种随机变量被称为“驱动过程”(forcingproces)对差分方程(2.1)进行进一步整理,即在等式左右两侧都减去yt-1,从而得到yt的一次差对其滞后项的反应关系。为简化说明,yt-yt-1可以写成Δyt的形式,其中Δ被称为差分运算符

2.1.1.2一阶差分方程的求解

在没有给定初始值的条件下,一阶差分方程的求解仍然可以使用迭代方法,但此时应该使用循环向后而不是向前迭代的方式来求解。3738图2-2一阶差分方程中不同α系数对应的yt序列说明:在数据生成过程中,初始值设为0,扰动项为高斯分布,标准差设为0.5。392.1.1.3高阶差分方程

一阶差分方程可以拓展到二阶或者更高阶的差分方程,为方便记忆,把高于一阶的差分方程统称为高阶差分方程。假设差分方程的阶数为p,则p阶差分方程的一般表达式可以写成

仔细观察可以发现,F矩阵的左下部分包含了一个(p-1)×(p-1)的单位阵,单位阵即对角线元素为1、非对角线元素为0的方阵。为了获得更为直观的印象,使用一个具体的例子来示范F矩阵的构成特点。在p=1这一特殊情况下,F矩阵就变成了一维的系数α。最后,定义p×1维矩阵et在定义了矩阵式或者更明显地写成通过迭代,可以把式(2.16)写成如下形式如果将式(2.18)恢复成对应的矩阵形式,则有进一步对式(2.18)进行向前迭代,可以得到其中,Fj表示矩阵F的j次幂,这样对比F矩阵与Y矩阵的定义,可以获得p阶差分方程的动态乘数,即2.1.2动态乘数与脉冲响应函数与差分方程联系紧密而且非常具有应用价值的概念还包括动态乘数(dynamicmultipli-er)和脉冲响应函数(impulseresponsefunction,IRF),这两个概念既有联系又存在细节上的差别。2.1.2.1动态乘数在特殊情况下,当j=0时,动态乘数也经常称作影响乘数(impactmultiplier)一阶差分方程还可以写成如下形式:2.1.2.2脉冲响应函数产出等在受到一个正向或者负向的货币政策的冲击后形成的动态路径和持续时间情况。与脉冲响应函数相联系的另外一个概念是累积脉冲响应函数(cumulativeimpulsere-sponsefunction,CIRF)。以一阶差分方程为例,累积脉冲响应函数可以写成累积脉冲响应函数经常用来衡量随机扰动因素如果出现永久性变化,即εt,εt+1,...,εt+j都变化一个单位,对yt+j造成的影响和冲击情况。图23一阶差分方程中不同α值对应的脉冲响应函数图23一阶差分方程中不同α值对应的脉冲响应函数2.1.3滞后算子与滞后运算法2.1.3.1滞后算子的定义与性质滞后算子(lagoperator)运用以上介绍的滞后算子运算规律也等同于简约的形式在滞后算子运算符的诸多性质中,有一条非常有用的性质二阶差分方程其中,c表示常数项。利用滞后算子根据滞后算子的性质,滞后算子对常数项并不产生影响,所以式(2.35)等号右侧的第一项就是(1-α1-α2)-1c。从而利用滞后算子,还可以简化高阶差分方程的表达式2.1.3.2差分方程的稳定性差分方程的稳定性是指由差分方程生成的数据的收敛性。这里需要介绍与差分方程相关的特征方程(characteristicequation)和逆特征方程(inversecharacteristicequation)。图2-4差分方程的特征根与单位圆图25差分方程的逆特征根与单位圆2.2一阶自回归模型:AR(1)2.2.1基本概念2.2.1.1随机过程与数据生成过程从随机概率论的概念出发,随机过程是一系列或一组随机变量(或随机函数)的集合,它用来描绘随机现象在接连不断的观测过程中的实现结果。每一次观测都可得到一个随机变量。如果让这种观测随时间的推移永远持续下去,就得到用来描述随机现象不断演变情况的随机变量族或者称集合,也就是一个随机过程2.2.1.2自协方差与自相关函数假定yt是一个随机变量,自协方差(autocovariance)定义的是yt与其自身滞后期之间的协方差,即“自身的协方差”。常见的协方差的基本定义是其中,E[·]表示期望。从而可以知道,yt与其自身滞后j期yt-j之间的协方差定义为显然,如果一个随机变量的期望值(均值)保持不变,如E(yt)=E(yt-j)=μ,那么式(2.44)就可以写成另外,从方差的基本定义还可以知道,随机变量yt的方差就是j=0时的特殊情况。假设yt的均值保持不变,则方差可以写成回顾基本的统计学知识,与方差、协方差相关的还有相关系数,例如,随机变量x和y的相关系数公式为在时间序列分析中,相应地有自相关(autocorelation)函数,yt与yt-j的自相关函数(autocorelationfunction,ACF)定义为2.2.1.3弱平稳与严平稳的定义弱平稳的定义:对于随机时间序列yt,如果其期望值、方差以及自协方差均不随时间t的变化而变化,则称yt为弱平稳随机变量,即yt必须满足以下条件:图2-6中国CPI同比增长率滚动样本均值估计资料来源:Wind数据库,样本区间为1990年1月—2024年3月。2.2.1.4白噪声过程白噪声过程(whitenoiseproces)是时间序列分析中最常用的平稳过程之一。如果组成一个随机过程的所有随机序列彼此互相独立,并且均值为0,方差为恒定不变值,则该过程被称为白噪声过程则yt是白噪声过程图2-7白噪声过程的自相关函数图2.2.2一阶自回归模型AR(1)顾名思义,自回归模型就是变量对变量自身的滞后项进行回归。自回归模型也可以称为自回归过程。自回归(AR)模型与差分方程联系紧密。事实上,AR模型本身就是差分方程的一种。2.2.2.1AR(1)过程的基本定义和性质一阶自回归过程记作AR(1),表现为当期的随机变量对自身的滞后一期项和一个随机扰动项进行线性回归。AR(1)模型可以写成:其中,c是截距项或者称常数项。注意,为简单起见,我们暂时假定εt是均值为0、方差为σ2的白噪声过程,即满足式(2.55)中的条件在t-1期我们可以对yt-2,yt-3,...进行类似的代换,重复这样的过程n次当n→∞时,式(2.61)中的第一项含有一个无穷等比数列求和的部分滞后算子将式2.2.2.2AR(1)过程的均值在求解AR(1)过程的均值时可以利用AR(1)过程的等同表达形式对式(2.62)左右取期望2.2.2.3AR(1)过程的方差我们求解yt序列的方差。根据方差的定义,对于平稳模型用白噪声的不变方差σ2平稳一阶自回归过程的方差解析表达式,其中第三个等号处使用了白噪声的性质熟悉的无穷等比数列求和公式,即在满足条件α2<1的情况下,有图2-8AR(1)过程模拟生成的序列图与相关统计量图28AR(1)过程模拟生成的序列图与相关统计量(续)2.2.2.4AR(1)过程的自协方差与自相关函数因为平稳AR(1)过程的均值恒定,所以自协方差的定义为AR(1)过程的自协方差的一般解析表达式:2.2.2.5一阶自回归系数α的影响阶自回归系数α取值不同对自相关系数以及yt序列动态走势的影响考虑AR(1)模型中系数α=0.9的情况,即没有特别设定常数项c的值,因为这个系数不影响自相关函数。图2-9α=0.9和α=0.5时AR(1)模型的自相关函数图图2-10α=-0.9时AR(1)模型的自相关函数图图2-11不同α值的AR(1)模型对应的模拟数据图2-11不同α值的AR(1)模型对应的模拟数据(续)图2-11不同α值的AR(1)模型对应的模拟数据(续)图2-11不同α值的AR(1)模型对应的模拟数据(续)2.3二阶自回归模型:AR(2)2.3.1AR(2)过程的基本定义和性质二阶自回归模型(过程),记作AR(2),可以写成下列形式对于AR(2)模型也是一样只要特征方程与AR(1)过程的处理类似,我们最终可以把AR(2)模型写成yt是随机扰动项的函数2.3.2AR(2)过程的均值对等式左右两边取期望求出AR(2)过程的均值利用平稳过程的特性,即均值恒定从而也可以得到同样的结果2.3.3AR(2)模型的方差、自协方差与自相关函数对于AR(2)模型,方差、自协方差的求解需要同时进行,而不再像处理AR(1)模型那样分别进行。造出自协方差的形式自相关函数在前两期的解析表达式有了ρ0、ρ1和ρ2之后,其他所有期的自相关函数的解析表达式都可以从式(2.94)中求解了。两侧乘以(yt-μ)并且取期望图2-12AR(2)模型生成的序列数据图2-12AR(2)模型生成的序列数据2.4p阶自回归模型:AR(p)2.4.1AR(p)过程的基本定义和性质一般地,p阶AR模型记作AR(p),通常写成以下形式εt是方差为σ2的白噪声过程。如果使用滞后算子,AR(p)模型还可以其中,α(L)为滞后算子多项式AR(p)模型的基本形式可以写出对应的特征根方程如果式方程的所有根都落在单位圆内,则AR(p)模型是平稳的2.4.2AR(p)过程的均值对式方程两侧取期望,则得到2.4.3AR(p)过程的方差与自协方差遵循求解AR(2)模型的方差与自协方差的思路用方程将常数项c表示成均值μ和自回归系数α的函数,然后将AR(p)模型t期的白噪声过程εt只与yt相关,而与滞后序列yt-j(j>0)不相关。进而可知AR过程是平稳的,那么t-1期与t-j期的自协方差就等于t期与t-(j-1)期的自协方差,2.4.4AR(p)过程的自相关函数于勒-沃克等式一个AR(2)过程的理论自相关函数满足以下过程时间序列分析张成思105

第三章平稳ARMA模型3.1移动平均过程3.2自回归移动平均过程3.3部分自相关函数、样本自相关函数与样本部分自相关函数3.4ARMA模型的建立与估计

3.1移动平均过程3.1.1MA(1)模型3.1.1.1MA(1)模型的基本定义与性质移动平均过程(MAproces)有时候也被称为滑动平均过程,是指将时间序列过程yt写成一系列不相关的随机变量的线性组合,为避免混淆,本书使用移动平均过程的名称。MA过程最简单的形式是一阶移动平均过程MA(1),模型形式为

106利用滞后算子来定义MA(1)过程,则式MA过程对应的序列表现是怎样的呢图3-1模拟生成的MA(1)序列两侧取期望,就可以获得MA(1)过程的均值3.1.1.2MA(1)过程的方差与自协方差3.1.1.3MA(1)过程的自相关函数MA(1)过程的自相关函数图32MA(1)过程的理论自相关函数图3.1.1.4MA(1)过程的可逆性过滞后算子的一个有用性质,就是如果|α|<1无穷阶AR过程,或写成AR(∞)3.1.2MA(2)模型3.1.2.1MA(2)模型的基本定义二阶移动平均过程,简记为MA(2)利用滞后算子,可以将式重写图3-3MA(2)过程模拟生成的序列:yt=εt+0.5εt-1+0.3εt-23.1.2.2MA(2)过程的均值、自协方差与自相关函数MA(2)过程的均值表达式图3-4MA(2)过程的理论自相关函数图3.1.3MA(q)模型MA(1)模型和MA(2)模型的更一般化的拓展形式,其基本定义j>0,那么自协方差是综合起来,MA(q)过程的自协方差公式可以写成3.2自回归移动平均过程3.2.1ARMA(p,q)过程的基本定义一般的ARMA(p,q)利用滞后算子将式写成以下形式: 3.2.2ARMA(p,q)过程的平稳性与可逆性ARMA过程,其平稳性要求是ARMA(p,q)过程的可逆条件是方程3.2.3ARMA(p,q)过程的均值、方差与自协方差ARMA基本公式两侧取期望可以得到ARMA过程的均值表达式常数项c表示成均值μ和自回归系数的函数,然后代入ARMA模型两侧都乘以(yt-j-μ),并取期望3.2.4ARMA(p,q)过程的自相关函数最后一行各项都变为0推导结果图3-5ARMA(1,1)的理论自相关函数图3.2.5AR模型与MA模型的互相转化从ARMA模型开始考察两侧都乘以θ(L)-1利用滞后算子的特性更为直观的形式3.3

部分自相关函数样本自相关函数

与样本部分自相关函数3.3.1部分自相关函数AR(1)过程中,yt通过yt-1与yt-2相关,尽管yt-2并没有直接出现在AR(1)模型中,yt与yt-2的相关程度由ρ2=ρ21给出,即图3-6AR(1)模型的理论部分自相关函数给定时间序列变量yt,假设其均值为μ,第k期的部分自相关函数定义为下面等式中的系数φk两侧同乘以(yt-j-μ)并且取期望,可以获得矩阵知识,就可以得到图3-7AR模型与MA模型的部分自相关函数比较演示3.3.2样本自相关函数T表示给定序列yt的样本大小,那么样本均值等统计量可以通过以下公式获得从而,可以求出样本自相关函数3.3.3样本部分自相关函数样本数据和样本自相关函数的公式循环计算以获得样本部分自相关函数在其他各滞后期的值图3-8上海证券综合指数:1992年1月—2024年4月3.3.4应用演示图3-9上海综合指数的样本自相关函数、样本部分自相关函数以及Q统计量3-10上海证券综合指数收益率及其样本自相关函数、样本部分自相关函数以及Q统计量3-10上海证券综合指数收益率及其样本自相关函数、样本部分自相关函数以及Q统计量3.4ARMA模型的建立与估计3.4.1ARMA模型的滞后期设立使用ARMA模型分析实际问题,首先需要处理的问题就是模型中的滞后期数。如何设立一个“最优”的滞后期数,从而使得模型能够较好地拟合现实数据的特征呢?对这个问题的回答,可以归结到著名的Box-Jenkins模型选择原则,基本思想是在确立滞后期时,应该兼顾模型的简约度和拟合程度。一个最大的滞后期数,如pm,然后估计AR(pm)模型假设不能被拒绝,那么开始下一轮估计与检验那么AIC和SIC的定义3.4.2ARMA模型的回归估计AR模型当t=1时图3-11AR模型回归估计中滞后造成的观测值缺失及处理第4章序列相关4.1Breusch-GodfreyLM序列相关性检验4.2Durbin-Watson序列相关性检验4.3序列相关性检验的基本原理:高斯牛顿回归方法4.4工具变量估计与序列相关性检验4.5多维模型的序列相关性问题4.6软件应用演示4.1Breusch-GodfreyLM序列相关性检验Breusch-GodfreyLM序列相关性检验(简称Breusch-GodfreyLM检验其中,c是常数项,α表示自回归系数,ut是一个序列相关的随机扰动项其中,φ是这个AR(m)模型的自回归系数,而εt是一个白噪声过程原始回归等式Breusch-GodfreyLM检验利用的辅助回归等式图4-1序列相关性检验中滞后造成的观测值缺失及处理至m期的序列相关性Breusch-GodfreyLM检验的统计量等于有效样本大小乘以回归等式使用与原假设和备择假设相对应的F统计量4.2Durbin-Watson序列相关性检验DW检验的统计量定义分子项展开,可以获得4.3

序列相关性检验的基本原理:高斯牛顿回归方法扰动项ut序列独立的原假设,备择假设是该序列服从AR(1)过程(即ut=ρut-1+εt)4.4工具变量估计与序列相关性检验应用Godfrey(1994)的工具变量序列相关性检验,其基本思想是基于ρ(L)表示滞后算子多项式,η~t是原始模型使用工具变量估计后获得的残差序列,Xt表示原始回归模型中的自变量矩阵,vt是辅助方程的扰动项(允许存在异方差,但不能序列相关)。4.5多维模型的序列相关性问题使用时间序列数据估计多元回归模型时,经常会遇到这些模型存在序列相关性的问题yt、ξt(β)、ut和εt都是1×m维向量,R和Ω都是m×m维矩阵可以将上式转化为如下4.6软件应用演示

4.6.1Breusch-GodfreyLM检验和DW检验的应用检验一个回归模型的残差项是否具有序列相关性4.6.2工具变量序列相关性检验假设我们有一个模型,其中自变量存在内生性,并且我们有适当的工具变量来解决这个问题,我们将使用Stata和EViews展示如何进行工具变量的序列相关性检验。(1)在Stata中进行工具变量序列相关性检验(2)在EViews中进行工具变量序列相关性检验。时间序列分析张成思第5章预测5.1基本概念与预测初步5.2基于MA模型的预测5.3基于AR模型的预测5.4预测准确度的度量指标5.1基本概念与预测初步5.1.1基本概念即预测信息集、预测期和最优预测5.1.1.1预测信息集对y的未来预测所依据的信息集可以写成还有其他变量x也影响y的未来走势5.1.1.2预测期预测期(forecastinghorizon)是指当期与预测对应的日期之间的时间间隔图5-1预测期为4期的点预测5.1.1.3最优预测最优预测(optimalforecast)是指在给定信息集下,预测结果能够最小化预测损失(假定存在损失函数)。5.1.2预测初步:基于时间趋势模型的预测基于时间趋势模型的预测可能是最简单易学的预测内容,因此这里先讲解这部分知识。事实上,时间趋势模型不仅简单,而且在现实中也有很多应用5.1.2.1线性时间趋势模型时间趋势模型又称确定性趋势模型,我们在后面的章节还会进一步涉及此类模型。时间趋势模型最简单的形式就是右侧自变量只有一个时间变量t(当然可以有一个常数项)。因为这一模型中时间变量是线性表达形式,所以这种简单形式被称为线性时间趋势模型图5-2基于不同参数取值的时间趋势序列图5-3中国人口数量的线性时间趋势模型拟合结果资料来源:世界银行。图5-4上海证券交易所股票交易总额5.1.2.2非线性时间趋势模型图5-5上海证券交易所股票交易总额与二次型时间趋势模型拟合结果5.1.2.3基于时间趋势模型的预测分析我们现在处于时刻T,预测期是h写出h期以后序列y的点预测值对应的表达式系数c和β的真实值历史数据获得对应的估计

值和5.2基于MA模型的预测MA(2)模型T+1期的点预测值就可以写成从式获得的T+1期点预测值应该继续对T+2期进行预测“T+1”和“T+2”对应的扰动项的期望都是0对应的预测等式可以写成依此类推,T+2期以上(我们用T+h表示)的点预测值应该都为0预测误差就是指实际值与预测值之间的差,即从T+1期开始一直到T+h期对应的预测误差分别可以写成如下形式:形式的MA(q)过程无穷阶的MA过程,其模型形式可以写成未来h期以后的yT+h写成对应的预测误差则可以表示为5.3基于AR模型的预测AR模型的介绍,AR(1)可以写成T+1期的点预测值表达式基于T期之前的信息集的点预测就是基于T期之前的信息集的点预测就是5.4预测准确度的度量指标时间序列分析张成思180

第6章非平稳时间序列

6.1确定性趋势模型

6.2随机趋势模型

6.3去除趋势的方法8.1确定性趋势模型

所谓确定性趋势，是指模型中含有明确的时间t变量，从而使得某一时序变量随着时间而明确地向上增长。最简单的线性确定性趋势模型可以写成

其中表示均值为0的平稳随机变量。

对方程两边同取期望，可得

方程说明，只要系数不为0，则序列的均值随时间推移而不断增大。正因为这个特点，确定性趋势模型也称为“均值非平稳”过程图6-1中国真实GDP时序数据:1992年第1季度—2024年第1季度6.2随机性趋势模型6.2.1随机趋势模型的基本定义

考虑AR(1)模型：其中代表方差为的白噪音过程。

将模型写成：。

如果假设初始观测值为

，那么通过反复迭代可以得到：

这个表达式可以看成是一种随机常数项，由于每个随机扰动因子对

的条件均值的影响都是永久性的，所以这样的模型经常被称为随机趋势模型。6.2.2随机游走模型

实际上，模型方程式的形式就是一个随机游走过程。那么随机游走过程的特点有哪些呢？首先，从基本定义式可以看到，随机游走过程就是一个常数项为0并且自回归系数为1的AR（1）模型。

进一步考察随机过程的均值和方差：根据自协方差的定义，有：进而，可以获得自相关函数的表达式：图6-2随机游走过程与高持久性AR(1)模型的比较6.2.3带有截距项的随机游走模型如果现在假设模型(6.8)中增加了一个常数项，即

其它假设均不变。此时的模型称为带有截距项的随机游走过程

RWD的均值、方差:RWD的自协方差:RWD的自相关函数:图6-3RWD过程及其样本自相关函数6.3去除趋势的方法

在实际应用当中，平稳时间序列要比非平稳时间序列具有更多吸引人的特性。另外，平稳时间序列与非平稳时间序列在某些重要特性方面差异明显。

但是，含有趋势的时间序列却永远也不会回复到一个长期的固定水平。随机扰动对含有趋势的时间序列的影响将是长久的，表现出一种长期的记忆性。

如果含有趋势成分的非平稳时间序列参与到计量回归中，许多经典的回归估计假设条件将不再满足，所以就必须小心解释相应的统计检验和统计推断，有的情况下会出现所谓的“伪回归”现象，而有的条件下需要应用协整分析方法。

一般来说，常用的去除趋势的方法有差分法和去除趋势法，前者主要针对随机趋势非平稳时间序列，而后者主要针对含有确定性趋势的非平稳时间序列。

6.3.1差分法

差分法一般用来去除含有随机趋势的非平稳时间序列。如果从AR模型的平稳性条件来考虑，它非平稳，就是因为它的特征方程的根含有一个单位根。所以也被称为“单位根过程”，或者“一阶单整过程”，记做I(1)，其中“I”表示单整，“(1)”表示单整的阶数。

随机趋势非平稳过程可以通过差分法变为平稳过程。如果是I(1)，则一次差分即可实现，而对于I(2)过程，则可以通过两次差分获得平稳过程。

以随机游走过程为例，一阶差分就是指使用原过程获得一次差分项

的表达式，其中“

”表示差分符号。所以：

从模型方程式可以看出，基于随机游走过程的一次差分

是一个平稳的随机时序变量，因为

等于平稳白噪音过程

。图6-4RWD过程与其一次差分后的序列

以上处理方法很容易拓展到高阶单整序列。例如，假设

是一个I(2)过程，那么对其二次差分就可以获得平稳序列，即：

其中：“

”表示二次差分符号。依此类推，“

”表表示三次差分符号，而“

”表示n次差分符号。对于ARIMA(p,1,q)来说，

虽然我们这里讨论的是一阶单整形式的ARIMA模型，但二阶或者其他高阶ARIMA模型可以运用类似的思路获得平稳的差分序列。概括地说，一个ARIMA(p,d,q)过程，经过d次差分后就可以获得对应的平稳过程。6.3.2去除趋势法

当然，如果不能确定时间趋势成分是否仅为一次幂的形式，还可以采用更一般的确定性趋势非平稳序列的模型形式，如：

。

然后可以通过OLS回归，运用“向下检验法”的原则或者信息准则法确定出

的阶数，最终获得平稳序列

的估计值即可。6.3.3去除趋势的方法比较

前面小节讨论了差分法和去除时间趋势法，并且认识到不同的趋势非平稳序列需要采用不同的去除趋势成分的方法。实际上，去除含有趋势成分的非平稳时间序列的方法还有很多滤波方法。常见的有HP滤波、卡尔曼滤波，以及近年来新发展起来的BK滤波和CF滤波。图6-5去除趋势法获得的序列及其自相关函数图和部分自相关函数图

本小节开始我们还提到过其他一些常用的滤波法，利用这些方法也可以获得非平稳时间序列的平稳序列成分。HP滤波就是很常用的一种。

假定一个非平稳时间序列yt可以分解为趋势成分μt和平稳成分(yt-μt),HP滤波使用下列算法求解趋势成分μt,即最小化下列函数其中,T是样本大小,λ被称为惩罚参数(penaltyparameter),用来控制趋势成分μt的平滑程度,λ越大,该序列越平滑

从式(6.3)不难看出,当λ=0时,最小化式(6.3)的结果给出的是yt=μt,即yt序列的趋势成分等于其本身。而在另一极端情况下λ→∞,最小化式(6.33)的结果给出的是(μt+1-μt)-(μt-μt-1)=0。也就是说,在λ→∞的情况下,趋势的变化幅度是恒定的,从而趋势成分就是一个线性时间趋势,因为μt-μt-1=μt-1-μt-2

注意，因为模型(6.33)中的T并不影响函数最小化过程的实质性结果，所以有的教材可能会使用最小化下面的表达式来代替模型(6.33)，即：

另外，既然惩罚系数

对HP滤波的结果至关重要，在实际应用中应该如何设定它的值呢？

已有研究表明，对于不同频率的数据，可以参考下列规则来设定

的值：图66差分法获得的序列及其自相关函数图和部分自相关函数图时间序列分析张成思

第7章单位根检验

7.1DF检验

7.2ADF检验

7.3其他单位根检验法

7.4各种单位根检验法的应用7.1DF检验7.1.1DF检验的基本概念227

检验一个时间序列是否有单位根,被称为单位根检验。而Dickey-Fuler检验(简称DF检验)是最简单的单位根检验法之一一个简单的AR(1)模型DF检验过程中一般是把模型(7.1)先改写成原来针对式(7.1)的检验DF检验的三种情况:

在原假设条件下,情况I:随机游走过程；情况II:带有截距项的随机游走过程；情况III:既带有截距项又带有时间趋势的随机游走过程。

7.1.2DF检验的三种情形7.1.2.1情形III

情况III用来检验的原假设是随机游走过程而备择假设是趋势平稳过程。

7.1.2.2情形II

原假设是模型为随机游走过程。如果待检验序列的均值不为0，并且不随时间变化，则可以考虑使用情况III来进行DF检验。

7.1.2.3情形I情况I是情况II的一种特殊情况，即截距项为0。在这种情况下，原假设和备择假设与情况II的完全相同。但是，由于没有截距项的模型暗示

序列的均值为0，而这样的情况往往比较少，因此在实际应用中并不建议使用情况I。7.2ADF检验7.2.1ADF检验介绍

ADF检验，全称为AugmentedDickey-Fuller检验，是DF检验的拓展。因为在DF检验中，所有情况对应的模型都是AR（1）的形式，而没有考虑高阶AR模型。ADF检验将DF检验从AR（1）拓展到一般的AR(p)形式。

模式（7.9）经常被称为ADF形式，因为这种表达方程式被用在ADF检验当中。一个AR(2)来说对于AR(3)模型,加、减(α2+α3)yt-1+α3yt-2,从而获得

相对于情况III的ADF模型：

7.2.2ADF检验的应用利用ADF的两种情况（II和III）分析上海证券综合指数（取自然对数）月度数据是否含有单位根。

下图绘制了这个时序变量随时间变动的情况。从图中并不能清楚地判断改序列是否存在一个确定性的趋势。因此，我们可以分别使用情况II和III进行ADF单位根检验。图7-2上海证券综合指数(取自然对数)假定

表示取自然对数的中国国际股票价格指数，

情况II:

情况III:

要设立这两种情况下分别对应的滞后期数，可以利用信息准则，如AIC或者SIC等。由于是月度数据，可以考虑设定最大的滞后期数为12，然后依据信息准则确定最优滞后期数。图7-3EViews中的ADF检验对话框表71上海证券综合指数序列(取自然对数)的ADF检验结果:情形II表7-2上海证券综合指数序列(取自然对数)的ADF检验结果:情形III7.3其他单位根检验法

除了ADF单位根检验之外，成熟的单位根检验理论方法还包括ERS-DFGLS检验、Phillips-Perron检验、KPSS检验、ERSPoint-Optimal检验和Ng-Perron检验等。图7-4EViews中的各种单位根检验对话框

7.3.1ERS-DFGLS检验

ERS-DFGLS检验是Elliott,Rothenberg,andStock(1996)提出的一种单位根检验法，全称为Dickey-FullerTestwithGLSDetrending(DFGLS)，即“使用广义最小二乘法去除趋势的DF检验”。ERS-DFGLS检验实质：利用广义最小二乘法首先对要检验的数据进行一次“准差分”，然后利用准差分后的数据对原序列进行去除趋势处理，再利用ADF检验的模型形式对去除趋势后的数据进行单位根检验，但是此时ADF检验模型中不再包含常数项或者时间趋势变量。

ERS检验最终还是要利用ADF检验的形式，所以在EViews软件中，ERS-DFGLS检验的对话界面与ADF检验是相同的，如后图所示。图7-5EViews中ERS-DFGLS检验对话框

ERS检验步骤

首先定义

的准差分形式，即：其中:a是一个给定的点，ERS建议a的值为其中：

表示

对应的是常数项，而

表示其对应的是常数项和时间趋势两个变量。

然后，依据下列方程式对准差分数据进行GLS回归，即：

这里，

表示系数向量，

为随机扰动项。模型回归估计获得的系数为

。

下面，利用估计模型得到的

来获得去除趋势的变量，即：

最后，