河南省部分学校2025-2026学年高三上学期1月第四次联考数学试题（解析版）

第1页/共1页2025-2026年度上学期河南省高三年级第四次联考数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由集合的交并补运算定义即可求得结果.【详解】，.故选：B.2.若复数为纯虚数，则实数（）A.3 B.5 C. D.【答案】D【解析】【分析】由复数的除法可得且为纯虚数，即可求解.【详解】，因为复数为纯虚数，所以，解得,故D正确.故选：D3.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性及函数的值域进行判断.【详解】因为函数定义域为R，且，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除BC；又，所以，与轴无交点，故排除D.故选：A4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】结合三角函数的性质、充分条件与必要条件的定义求解判断即可.【详解】若，则或，.或；若，则或，.或；故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D5.某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（）A.120种 B.144种 C.240种 D.288种【答案】C【解析】【分析】由题意可得，小王同学有两天吃同一种套餐，先从5天中选出2天吃同一种套餐，然后将4种不同的套餐安排在这2天（作为一个整体）和另外3天中，即可求解.【详解】由题意可得，小王同学有两天吃同一种套餐，先从5天中选出2天吃同一种套餐，然后将4种不同的套餐安排在这2天（作为一个整体）和另外3天中，则不同的方案共有种.故选：C6.已知直线与轴、轴分别交于，两点，与圆交于，两点，且，则（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】利用两点间距离公式求出，利用圆心到直线的距离和半径可以求出，由计算即可.【详解】由题意得，，，圆的方程为：，圆心的坐标为，半径为，圆心到直线的距离为：，，又，，解得：.故选：C7.现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是（）A.2千克 B.3千克 C.5千克 D.7千克【答案】C【解析】【分析】记这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成的等差数列为，的公差为，由题意用基本量列不等式，解得，结合总质量求解.【详解】记这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成的等差数列为，的公差为.由题意可得，所以，即，则，因为，所以，解得，质量最重的盒子最少是5千克.故选：C.8.已知直线与平面所成的角为，直线与直线垂直，则直线与平面所成角的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据直线与平面所成的角是直线与平面内所有直线所成角的最小角，再根据直线与平面所成角的范围即可判断.【详解】如图，在直三棱柱中，，平面平面，平面平面，直线在平面内的投影是直线，则直线与平面所成的角都是，由平面，平面，得，而，平面，则平面，不妨设直线为直线，平面为平面，直线在平面内，此时满足直线与平面所成的角为，直线与直线垂直.当与平行或重合时，直线与平面所成的角取得最大值，最大值为；当与平行或重合时，直线与平面所成的角取得最小值，最小值为.所以直线与平面所成角的取值范围为.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列的前项和，则（）A.B.C.D.数列的前项和【答案】BCD【解析】【分析】由，当则，计算可得ABC，由等比数列的求和公式可以得D.【详解】，A错误.当时，，则，也满足上式，所以，，B，C均正确.，数列的前项和，D正确.故选：BCD10.某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，则（）A.B.C.设为内一点（含边界），的最小值为6D.设为等腰梯形内一点（含边界），若，则的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】延长交于点，则有，，利用向量线性运算判断A；由平面数量积的运算判断B；利用在上投影向量的最小模长，求的最小值判断C；过点作直线的平行线，分别交，于点，由向量的运算可知点在线段上，可求的取值范围判断D.【详解】A，延长交于点，易知是等边三角形，有，四边形是平行四边形，，，故正确；B，由A可知，是边长为4的等边三角形，，故错误.C，在上的投影向量的模长的最小值为，，正确.D，过点作直线的平行线，分别交，于点，.因为，点在线段上，当点与点重合时，，当点与点重合时，，所以的取值范围为，正确.故选：ACD11.已知函数的定义域为，下列结论正确的是（）A.若，则是的极值点B.若在上单调递增，则函数在上单调递减C.若函数在上单调递增，则在上单调递减D.若在上单调递增，在上单调递减，则函数在上单调递增，在上单调递减【答案】BCD【解析】【分析】根据极值点的定义、导数和单调性进行逐项判断即可.【详解】若为常函数，满足，但不是的极值点，A错误.因为在上单调递增，所以当时，，，当时，，所以，，所以函数在上单调递减，B正确.易知，由B选项可得，若在上单调递增，则在上单调递减，即在上单调递减，C正确.因为在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，当时，，，当时，，所以，，，所以在上单调递增，由C选项可得在上单调递减，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数在上单调递增，则____________．【答案】##【解析】【分析】由题意得，结合范围求解.【详解】的最小正周期为，在上单调递增，，所以，，解得，，因为，所以.故答案为：.13.已知函数没有零点，则____________．【答案】1【解析】【分析】由题意转化为方程无实数根，根据，得到的范围求解.【详解】因为函数没有零点，所以方程无实数根，即方程无实数根，因为，所以，则，故方程无实数根的条件为：，解得.故答案为：114.已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率____________．【答案】3【解析】【分析】设，先根据条件，结合双曲线和抛物线的概念，表示，的长度，进而表示点横坐标，列方程求双曲线的离心率即可.【详解】如图：根据题意可得，过作轴的垂线，过作的垂线，垂足为.显然直线为抛物线的准线，则.因为，所以.由双曲线的定义及已知条件可知，所以.设，在中，.因为，所以.因为，所以，化简得，即，解得（舍去）.故答案为：3四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知椭圆的右焦点为，离心率为.（1）求的方程；（2）若直线与交于，两点，与轴交于点，且是的中点，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意求得，代入即可求解；（2）设，，直线与椭圆联立方程组可得，，由是的中点，得，代入计算即可求解.【小问1详解】由题意可得，解得，，所以的方程为；【小问2详解】设，，由，得，，解得或，则①，②因为是的中点，所以，结合①解得，，代入②，解得，满足或，所以的值为.16.如图，在四面体中，平面，是等边三角形，，是的中点．（1）证明：．（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明得到线面垂直即可得到线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后由二面角的向量求法求解即可；【小问1详解】证明：因为平面，平面，所以.在等边中，是的中点，所以.因为，平面.所以平面.因为平面，所以.【小问2详解】解：不妨设，平面，平面，则平面平面，在等边中，做，则平面，以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设平面的法向量为，则，取，得，设平面的法向量为，则，取，得.又，所以，所以二面角的正弦值为.17.如图，在边长为2的等边中，为内一点，．（1）若，求的面积；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式求解即可；（2）设，则，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，将两式相乘，化简整理求出的值.【小问1详解】在中，由余弦定理得，即，解得（舍去），故的面积为；【小问2详解】设，则，，在中，由正弦定理得，即①.在中，由正弦定理得，则②①×②得，即，所以，，所以，即18.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局甲、乙对打，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打．假设甲、乙、丙三人打台球的水平相同，每局台球的结果相互独立．（1）求前三局中甲恰好参与了两局的概率；（2）求第局有甲参与的概率；（3）求第局是甲、乙对打的概率．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）分两种情况：甲第二局轮空和甲第三局轮空，分别求出对应的概率然后求和即可.（2）记第局有甲参与的概率为，则第局有甲参与的概率为，然后根据题意列出等式，进而求出即可.（3）记第局有丙参与的概率为，则第局有丙参与的概率为，然后列出等式，进而求出，从而求出结果.【小问1详解】分两种情况.第一种情况：甲第二局轮空，即第一局甲负，此时第三局一定有甲参与，其概率为.第二种情况：甲第三局轮空，此时第二局甲负，第一局甲胜，其概率为故所求概率为.【小问2详解】记第局有甲参与的概率为，则第局有甲参与的概率为若第局有甲参与，则第局有甲参与的概率为；若第局没有甲参与，则第局一定有甲参与，所以，即因为，所以，所以，即.【小问3详解】第局是甲、乙对打，则第局丙轮空，记第局有丙参与的概率为，则第局有丙参与的概率为.若第局有丙参与，则第局有丙参与的概率为；若第局没有丙参与，则第局一定有丙参与，所以，即.因为，所以，所以，即第局是甲、乙对打的概率为.19.（1）求函数的单调递增区间；（2）若存在使得对任意，都有，求的最小值；（3）已知，，且，求的最值．【答案】（1）；（2）0；（3）最大值，最小值为【解析】【分析】（1）利用导数分析函数的单调性即可；（2）由三角函数的值域求解即可；（3）利用导数分析函数的单调性，