2025高考数学必刷题 第32讲、解三角形

第32讲解三角形

知识梳理

知识点一：基本定理公式

(1)正余弦定理：在中，角A,B,。所对的边分别是“，〃，c,R为aABC外

接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2/?ccosA；

a=bc

公式——Ab2=c2+a2-2z?ccosB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-2abcosC

b~+c2-a1

cosA=----------；

(1)a=2RsinA,Z?=2/?sinB,c=27?sinC；2bc

(2)sinA=—>sinB=-^->sinC=：

常见变形cosB=----------；

2R2R2Rlac

a2+b2-c2

cosC=----------.

lab

(2)面积公式：

S^AI3C=—abs\nC=-Z?<?sin4=—6/csinB

222

S^ABC=—=-(a+b+c)r(r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R,r.)

4R2

知识点二：相关应用

(1)正弦定理的应用

①边化角，角化边o。::c=sinA:sin/3:sinC

②大边对大角大角对大边

A>8osinA>sin80cosAvcosB

③合分比：

a+b+ca+bb+ca+cabc

————，9八R

sinA+sinB+sinCsin4+sin8sin8+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)△ABC内角和定理：A+B+C=TT

®sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB<=><?=6cosB+bcosA

同理有：a=Z?cosC+ccosB,h=ccosA+acosC.

②-cosC=cos(A+为=cosAcosA-sinAsinB；

tanA+tanB

③斜三角形中-tanC=tan(A+B)=

1-tanA•tanB

<=>tan八+tan4+tanC=tanA-tanB-tanC

公A+8CA+B.C

{4;sin(-----)=cos—：cos(-----)=sin—

2222

⑤在A48C中，内角AB,。成等差数列o8=^.4+C=@.

33

知识点三：实际应用

(1)仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角

（如图①）.

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a（如图②）.

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角.

（1）北偏东。，即由指北方向顺时针旋转。到达目标方向（如图③）.

（2）北偏西a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向.

（3）南偏西等其他方向角类似.

（4）坡角与坡度

（I）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角。为坡角）.

（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，，为坡度）.坡度乂称为坡比.

【解题方法总结】

1、方法技巧：解三角形多解情况

在AABC中，已知m力和A时，解的情况如下：

4为锐角A为钝角或直角

C

图

形

A•.…BA-........B八B

AB

关

a=bsinAOsinA<a<baNba>ba<b

系式

解

一解两解一解一解无解

的个数

2、在解三角形题目巾，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦

定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

（1）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”：

（3）若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

（4）代数变形或者三角恒等变换前置：

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A+B+C=;r.

3、三角形中的射影定理

在△A8C中，a=/?cosC+ccosB；b=tzcosC+ccosA；c=Z?cosA+acosB.

必考题型全归纳

题型一：正弦定理的应用

例1.（2024•福建龙岩•高三校联考期中）在一8。中，角4凡。所对的边分别为

a,b,c,若“=4,A=C=」，则〃=()

412

A.2百B,2石C.2瓜D.6

【答案】C

【解析】因为A=弓,C=^,所以8=兀-4-。二^,

,.兀，石

,.„4xsin—4x——

ab「UnasinB3，'斤

因为^=所以占=—=----z^=-k=2T6♦

sinAsinBsinA；兀J2

42

故选：C.

例2.（2024•全国•高三专题练习）在“14c中，设命题p：号===七，命题

smCSUVAsine

q：“18C是等边三角形，那么命题〃是命题q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

bb

【解析】由正弦定理可知，若

sinAsinBsinCsinCsinAsinB

abc

则rllI一=-=：=/

cab

HPa=tc,b=ta.c=bt.

则8=7T-A-C=7T一巴一2=2.

2510

故选：C.

变式2.（2024•河南郑州•高三郑州外国语中学校考阶段练习）a,b,c分别为内

角A,B,。的对边.已知a=4,6//?sinAsinC=csinB,则AABC外接圆的面积为（）

A.164B.647rC.128乃D.256^

【答案】B

【解析】因为“方sinAsinC=csin3,由正弦定理得4/?csinA=〃c,可得sinA='.

4

设dAC外接圆的半径为r,则J==2/=16,即〃=8,

sinA

故AABC外接圆的面积为647r.

故选：B.

变式3.（2024•甘肃兰州•高三兰州五H^一中校考期中）ZkABC的三个内角A,B,C所对

的边分别为a，b,c,若“sinAsinB+〃cos?4=也〃，则2=（）

a

A.y/2B.73C.2V2D.275

【答案】B

【解析】由正弦定理得asinB=/;sinA,化简得分sin2A"cos"=/?=,

则2=6

a

故选：B

变式4.（2024•宁夏•高三六盘山高级中学校考期中）在“BC中，内角A,B,C所对的

边分别是小b，c.若a=?b，则2sin"：sin-A的值为（）

sinA

1

2

【答案】A

【解析】依题U4

2sin2S-sin2A

由正弦定理得

sin2A

故选：A

变式5.（2024•河南•洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）AABC的内角A,B,C的

对边分别为4，b,C,已知/^0$4=。（石一（:004）,。=2,贝|Jc=（）

A.4B.6C.242D.2&

【答案】D

【解析】因为〃cosA=a（g-cosB）,根据正弦定理得

sinAcosA—y/3sin4-sinAcosR，

移项得sinAcos4+sinAcos8=>/3sinA,

即sin（A+3）=\/5sinA,即sinC=>/3sinA,

则根据正弦定理有c=&=2G.

故选：D.

【解题方法总结】

（1）已知两角及一边求解三角形；

（2）已知两边一对角；.

.大角求小角一解（锐）

‘曲解一sinA<1（一锐角、一钝角）

小角求大角一“一解一sinA=1（直角）

无解一sinA>1

<

（3）两边一对角，求第三边.

题型二：余弦定理的应用

例4.（2024•全国•高三专题练习）已知△4AC的内角AB,C所对的边分别为,也。满足

6+c?-/=be且a=6,则b=（）

sinB

A.2B.3

C.4D.26

【答案】A

【解析】由题〃2+°2—：.cosA=b'+C~~a'=-=-,

2bc2bc2

一乃・，-=」^=3=2

又OvAv/r，A=-,inBsinAG，

Ds--

2

故选:A.

例5.(2024•河南•高三统考阶段练习)在A4BC中，用4B,C的对边分别为，,Ac,若

sinBsinC/、

tanA=—--T---r-，则A=()

sin8+sinC-sin-A

A乃r»〃万兀-5.7、冗一p2兀

A.—B.—C.一或二D.一或丁

346633

【答案】C

be

【解析】由正弦定理，得tanA=下一:一7,

b~+c-a~

e,,icsinAbe

又b~+c~-a~=2/JCCOSA,所以-----=—-------，

cosA28ccosA

所以sin4=t，因为Ae(0/),所以A=1或苧，

266

故选：C.

例6.(2024•全国•高三专题练习)设AA8C中，角A,B,。所对的边分别为小b,c,

若sinA=sin6,且/=24(1+sinC),则0二()

nc兀c3九

A.-B.-C.—D.—

6434

【答案】D

【解析】因为sinA=sinB,由正弦定理有a=b,

根据余弦定理有c2=a2+b2-2a〃cosC=2a2-2/cosC,

且c?=2a2(I+sinC),故有sinC=-cosC,即tanC=-l,

又Cw(O,冗)，所以。二岑.

故选：D.

变式6.(2024•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)在△A4C中，角A,B,。的

对边分别为a，b,c,"+/=3。2,则二^十二一-!—=()

tanAtanBtanC

A.0B.1C.2D.y

【答案】A

【解析】由余弦定理以及/+从=3/可得：

-._1-4-r>z->•2x-.cosCsinC

2a。cosC=2c=>sinAsinDcosC=sin*C=>-------=--------------,

sinCsinAsinB

又在三角形中有sin(A+8)=sinC,即sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

“…cosCsinAcosB+cos/IsinBcosBcosA

所以二——=-----:--------------=-——+-——

sinCsin/AsinBsinBsinA

tanAtanBtanC

故选：A.

变式7.（2024,全国•高三专题练习）在中，角4B,C的对边分别为a,b,c,

口cosBcosCsinA/、

且「一+----,则力的值为（）

bcsinC

A.1B.&C,-D.2

2

【答案】A

【解析】因为竿+.=当，

bcsine

所以，由正弦定理与余弦定理得1-从+，+尸一■’,化简得〃=1

2abc2abcc

故选：A

【解题方法总结】

（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.

（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值,

>0,则△ABC为锐角三角形

若余弦值，=（）,则AABC为直角三角形.

<0,则AABC为钝角三角形

题型三：判断三角形的形状

例7.（2024•甘肃酒泉•统考三模）在△ABC中内角的对边分别为。也c,若

4=出必8sB,则的形状为（）

bsinBcos/1

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【解析】由正弦定理，余弦定理及,JcosAsin4=〃2cos4sinA得，

,b2+c2-a2.,a2+c2-b2

a'---------------b=b~2----------------a,

2bclac

a2（Z?2+c2-f/2）=Z?2（«2+c2-Z?2）,Bpa4-bA+c2（/?2-fl2）=0,

贝|J(/+Z?2)(rr-Z?2)+C2(Z?2-tz2)=O,即一6)(/+/?2-c2)=0,

.•.a=h或/+〃=C2,.%ABC为等腰三角形或直角三角形.

故选：D.

例8.（2024•全国•高三专题练习）在△ABC中，角A，B,C的对边分别为“，b,c,

且c-AcosAvO,则“IB。形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】c-bcosA<0,

所以由正弦定理可得2RsinC-2/?sin8cosA<0

所以sinC—sinBcosA<0,

所以sin（A+B）-sinBcosA<0,

所以sinAcosB+cosAsinB-sin8cosA<0,

所以sinAcosBvO,

在三角形中sinA>0,

所以cosB<0,

所以4为钝角，

故选：C.

例9.（2024•全国•高三专题练习）在“16。中，若处空=1-cos）,则的形状

ccosBl-cos2C

为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【解析】由正弦定理，以及二倍角公式可知，"尤=西"述=上5竺=空空，

c-cosBsinCcosBI-cos2C2sin'C

IIP8S0=,而B,整理为SinReosA?=sinCcosC.

cosBsinC

BP-sin2^=-sin2C,得2B=2C,或23+2C=180=B+C=90,

22

所以的形状为等腰三角形或直角三角形.

故选：D

变式8.（2024•全国•高三专题练习）设的内角A,B,C的对边分别为小b,c,

若从=《2+/-的，且sinA=2sinC,则“ABC的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案】B

［解析】因为力2=/+/-ca=/+/-2ct7cosB,

所以cos8=:，

2

又8<0,兀），所以B=1,

因为sinA=2sinC,由正弦定理得a=2c,

则b2=c2+a2-ca=c2+4c2-2c2=3c2,

则力2+c2=a2，

所以△ABC为有一个角为巳的直角三角形.

故选:B.

变式9.（2024•河南周口•高三校考阶段练习）已知的三个内角48,C所对的边分

别为a,A,c.若sin?4+csinA=sinAsinB+lsinC,则该三角形的形状一定是（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.锐角三角形

【答案】C

【解析】因为sin?A+csinA=sinAsin8+/?sinC>

由正弦定理£=工==2R（2尺为^ABC外接圆的直径）,

sinAsinBsine

-rra.人ab.人1c

可得—,sinAH------c=—,sinA+h,—,

2R2R2R2R

所以a（sinA+c）=伙sinA+c）.

又因为sinA+c>0,所以a=〃.即AABC为等腰三角形.

故选：C

变式10.（2024•全国•高三专题练习）设△A8C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,

C,若。2<：0540m4=人，亩/1（?0§区，贝1］»8。的形状为（）

A.等腰三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.直角三角形D.锐角三角形

【答案】B

［解析】由/cosAsinB=b'sinAcosB得

6/2/?COSA=aircosB=aeonA=Z?cosB=sinAcosA=sin5cosB,

由二倍角公式可得sin2A=sin2A=24=2笈+2E或24-2B=n+2E、keZ,

由于在AAAC,Ae(0,兀),3t(0,兀)，所以A=3或A+8=1,故A/WC为等腰三角形或直角

三角形

故选：B

变式11.(2024•北京•高三101中学校考阶段练习)设“6。的内角A,8,。所对的边

22

分别为“，〃，c,gacos>4sinB=bsinAcosB,则AABC的形状为()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等边三角形

【答案】C

2

【解析】已知等式利用正弦定理化简得：lxrcosA=abcosBf

整理得：4cosA=〃cos8,即sinAcos4=sin8cos8,

/.2sinAcosA=2sinBcosB,即sin2A=sin2B，

sin[(A+B)+(A-5)]=sin[(A+13)—(A—3)],

.,.sin(A+B)cos(A-Z?)+cos(Z+£?)sin(A-/J)=sin(A+B)cos(4-B)-cos(4+Z?)sin(A-

/.cos(A+8)sin(A-6)=(),

,/()<A+B<n,-n<A-B<nf

则A=8或A+8=5,即为等腰三角形或宜角三角形.

故选：C.

【解题方法总结】

(1)求最大角的余弦，判断A43C是锐角、直角还是钝角三角形.

(2)用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是

直角三角形.

题型四：正、余弦定理与的综合

例10.(2024•河南南阳•统考二模)锐角△人是单位圆的内接三角形，角A&C的对

边分别为a，b,c,Ka2+Z?2-c2=442co朗-laccosB，则"等于()

A.2B.2>/2C.J3D.1

【答案】C

【解析】由/+A?-c?=4a2cosA-laccosB>

2

ZH»a~+b~—c_.

得b----------------=2acosA-ccosB，

lab

由余弦定理，可得与cosC=2acosA-ccos4,

又由正弦定理，nfWsinficosC=2sinAcosA-sinCeosB,

所以sinBcosC+sinCcosB=sin(8+C)=sinA=2sinAcosA,

得cosA=g,又4c(0,71,所以A=W，所以sinA=@

232

b

又=2r=2,所以a=>/5

sinAsinBsinC

故选：C

例11.（2024•河北唐山・高三开滦第二中学校考阶段练习）在中,角A,B,C所

«/?sin4abs\nB

对的边分别为“，b,c---------1-------=---a2+b2-c2.

2sinB2sin74

⑴求证：0<04；

⑵若,求cosA.

tanBtan>4tanC

abs\nAabsinB

【解析】⑴在中,因为---------1-------=---a2+bz-c2,

2sin42siiiA

由正弦定理可得"+空=/+//—化简可得3.

2b2a2

,2a2十〃2

22i1er«

由余弦定理可得「az+b2-c2a+7~2a~+Zr、lab1当且仅当。=〃

cosC=--------------=---------------->----------=—

2ab2ab4ab4ab2

时取等号，所以cosCN],因为角。是△ABC的内角，所以OvCv兀,

所以o<cwg.

1cosAcosCsinCcosA4-cosCsinA

(2)由L+-------4---------=-------------------------------

tanBtaiiAtanCsinAsinCsinAsinC

sin(C+A)sinBcosB...八sin2Bb1

---------=---------=-----,则cosB=

sinAsinCsinAsinCsinBsinAsinCac

4—2Q,所以/+/=36，乂3=C

即

lacac2

所以b=£,a=旦,在“中，由余弦定理可得,

22

352

.b2+c2-a24'

cosA=---------------=-2—4

2bc6•

2c-----c

2

例12.（2024•重庆•统考三模）已知”14c的内角A、B、C的对边分别为“、b、（.

sin（A-B）tanC=sinAsinB.

⑴求幺捍；

b-

2

（2）若cos8=§,求sinA.

【解析】（1）tanC=sin4sin,

所以sin（A-=sinAsin8,所以sin（A-B）sinC=sinAsin4cosC,

cosC

即sinAcosAsinC-cosAsinAsinC=sinAsinBcosC，

由正弦定理可得accos.B-becosA=abcosC,

,I,ZvJ-4-eirTm―r4B,1+C—一万一,b~+C~—Cl~.（l~+b~-

由余弦定理可得ac----------------be---------------=ab-----------

2GC2bc2ab

所以/+c,2_h2_h2_c2+a2=a2+h2一片,

即/+<?=3必，

所以US1=3.

b-

（2）由题意可知cos5=.+M—“=2,又/+02=3/，可得〃2+/一2.c=o,

lac3

所以。=c,即“1KC为等腰三角形，

B.2B向—B同

由cos3=2ocos2解得cos—=------或cos—=-------,

232626

因为,所以苫€（0,孚，所以cosO=g^,

k2；2V4）26

所以sinA=sin（四一巨Bx/30

=cos-=-----

122J26

变式12.（2024•山东滨州•统考二模）已知AABC的三个角A,B,C的对边分别为〃，

b,c,2cos（B-C）cosA+cos2A=1+2cosAcos（B+C'].

（I）若A=C,求A；

（2）求匕F的值.

a~

【解析】（1）若…，则cos（B-C）=l.

因为2cos（8-C）cosA+co$2A=l+2cosAcos（8+C）,

所以2cosA+cos2A=1+28s（乃一A）cosA,

2cosA+2cos2A-1=1-2cos?A，

整理得2cos2A+cos>4-1=0.

解得cosA=-l(舍)，cosA=—,

2

因为A«O,71),所以A=g.

(2)因为2cos(A-C)cosA+cos2A=1+28»COS(A+C).

所以?.cos(R—C^cos;A—9ros4cos(〃+C)=1—cos?4

2[cos(B-C)-cos(4-C)]cos4=1-cos2A,

2[cos8cosC+sinBsinC-(cosBcosC-sin8sinC)]cosA=l-cos24

整理得2sin8sinCcosA=sii/A

由正弦定理得2bccosA=〃

由余弦定理得h2+r2-i72==a

即b2+c2=2a2,

所以匕F=2.

变式13.（2024•全国-高三专题练习）在△A4C中,

(a+c)(sinA-sinC)=/?(sinA-sinB),则NC=()

、5兀

ABD.—

-?-?6

【答案】B

【解析】因为(a+cXsinA-sinC)=b(sin)-sinB),

所以由正弦定理得（。+。）（。一。）="，一切，^a2-c2=ab-h2,

a2+b2-c2abI

则a2+b2-c2=ah,故cosC=

2ab2ab2

又OCCVTT,所以C=1

故选：B.

变式14.（2024•青海•校联考模拟预测）在中，内角A,B,。所对应的边分别是

a,b,c,若“3C的面积是+d-",则4二（）

4

A色271_5兀

A，3B.—D.—

3c?6

【答案】A

222

【解析1由余弦定理可得：/?+c-«=2^ccosAAe(0,7i)

由条件及正弦定理可得：

222

1>j3(b+c-a}g

S=—bcsinA=--------------=——becosA,

242

所以tan4=J5,则A=g.

J

故选：A

变式15.(2024•全国•校联考三模)已知小乩c分别为AABC的内角4,B,C的对

..B.B\

边，a2+c2=ac\3cos2----sin-2-.

I22)

⑴求证：a,b,c,成等比数列；

⑵若而端已4'求c°S的值.

【解析】(1)0^a2+C2=^f3C0S2y-Sin2y

I+cosBI-cosB

所以/+/=ac3x

22

所以a2+c2=ac(l+2cos8).

/+c2—〃2

根据余弦定理，得/l+2x

lac

所以/+(*=〃(+/+。2-/

所以从=«.

所以mb,C成等比数列.

⑵由余弦定理，得8SB=3Ua2+c2-ac_a2+c21

2aclac2

所以由正弦定理，得

因为就n4T

所以缶3

4

所以—,

2326

变式16.(2024•天津武清•天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测)在aAAC中，角

A,B,C所对的边分别为“，b,c,已知csin'；0=4sinC

(I)求角A的大小;

(2)若。=1,sinB=与，求边c及cos(24+4)的值.

【解析】(1)因为csinO^C=asinC,可得而11(±")=。8$々=登而。，

A

所以由正弦定理可得sinCeos-=sinAsinC,

2

又。为三角形内角，sinCwO,

所以cos4=sinA=2sin4cos4,

222

因为4任(0,兀)，ye^O.y^,cos-^>0,

所以sin[=:，可得[=3

2226

所以A=;

(2)因为A=S，b=\,sinB=^^~,

37

所以由正弦定理白=刍，可得〃=与黑=XIm4>r"'

sinAsinBs,n/»V212

~T

所以8为锐角，cosB=Vl-sin2B=2^,sin2B=2sinBcosB=,

cos2B=2cos2B-\,

22

由余弦定理/=b+c-'2bccosAf可得:=1+/-2xlxcxg,

31

整理可得牝2-4c-3=0,解得0=5或-](舍去)，

所以cos(2B+A)=cos28cosA-sin2BsinA=；xg-x§=-.

【解题方法总结】

先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角

函数转化求解.

题型五：解三角形的实际应用

方向1:距离问题

例13.（2024•全国•高三专题练习）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图

1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“8”完美嵌入其中，寓意无限未

知、无限发展、无限可能和无限的科技创新.如图2,为了测鼠科技馆最高点A与其附近一建

筑物楼顶8之间的距离，无人机在点C测得点八和点B的俯角分别为75。，30°,随后无人

机沿水平方向飞行6（乂）米到点。，此时测得点人和点B的俯角分别为45。和60。（A,B,

C,。在同一铅垂面内），则4,B两点之间的距离为米.

（图1）

【答案】100而

【解析】由题意，ZDCB=3（）,ZCD£?=60',所以NCBO=90,

所以在RtZ\C4O中，80=gc0=300,BC=与CD=3OU6，

XZDCA=75,ZCDA=45°,所以NC4力=60",

在中，由正弦定理得，=所以AC=^X¥=200«,

sin45,sin60—

2

在。中，ZACB=ZACD-ZBCD=75°-30°=45°,

由余弦定理得，AB2=AC2+BC2-2ACBC-cosAACB

=（200^-+（300X/3）2-2X200ax300Gx—=150000,

2

所以AB=100厉.

故答案为：100厉

例14.（2024•安徽阜阳・高三安徽省临泉第一中学校考期中）一游客在A处望见在正北

方向有一塔8,在北偏西45。方向的C处有一寺庙，此游客骑车向西行Iknl后到达。处，这

时塔和寺庙分别在北偏东30。和北偏西15。，则塔力与寺庙C的距离为km.

【答案】O

【解析】如图，在△48。中，由题意可知AO=1,ZB/M=60°,可得

ACAD

在AACD中，AD=\,ZADC=105%N/)CA=30，/.

sinZADCsinZDG4

.，八ADsinZ.ADC

..AC=

sinZ.DCA2

在“8。中，

BC2=/\C2+/\fi2-2AC-AB-cos45o=8+4^+3-2x^+^xV3x—=2,

422

・•・BC=72(km).

故答案为：VL

例15.（2024•河南郑州•高三统考期末）如图，为了测量AC两点间的距离，选取同一

平面上的8,D两点,测出四边形A8CO各边的长度（单位：km）：A8=5,BC=8,

CD=3,DA=5,且A,属C,。四点共圆，则AC的长为km.

【答案】7

【解析】・・・4B,C,力四点共圆，圆内接四边形的对角和为九

/B+Z.D=71,

，由余弦定理可得

AC2=AD2+CD2-2ADC£)cosZ£>=52+32-2x5x3cosZD=34-30cosND

AC2=AB2+BC2-2AB-^CcosZB=52+82-2x5x8cosZB=89-80cosNB,

VZB+ZD=K,即COSN8=-COSND,

...89AC2=_34『解得AC",

8030

故答案为：7

变式17.（2024•山东东营•高三广饶一中校考阶段练习）如图，一条巡逻船由南向北行

驶，在八处测得灯塔底部C在北偏东15。方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，此时测

得灯塔底部。在北偏东60。方向上，测得塔顶。的仰角为60。，已知灯塔高为26km,则

巡逻船的航行速度为km/h.

【答案】6(73+1)

【解析】由题意知在ABCP中，PC=2j5,NPBC=60,故tan/P8C=g,即JJ=拽,

BCBC

解得BC=2,

在“BC中，NBC4=180-15-120=45°

BCAB2AB

而sin15=sin(45-30)=

sin/.BACsinZBCAsin15sin45

所以=2(6+1),

所以2(G+l)+；=6(6+1),

即船的航行速度是每小时6（6+1）千米,

故答案为：6（6+1）

方向2：高度问题

例16.（2024•重庆•统考模拟预测）如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某

座山峰的高度，先在山脚A处测得山顶。处的仰角为60。，又利用无人机在离地面高300m

的M处（即MD=300m）,观测到山顶。处的仰角为15。，山脚A处的俯角为45。，则山高

BC=m.

【答案】450

【解析】依题意N4MZ)=45。，则AM=J5MZ)=300JLZC/VM=45°+15°=60°,

ZC4B=60°,

故Z.MAC=180°-60°-45,=75°,ZACM=180°-75°-60°=45°,

ACMA|>rAC300V2

在△MAC中，由正弦定理得'Hsin60°-sin450

sin/AMCsin/4cM

解得AC=300G,则BC=/ACsin60°=450.

故答案为：450

例17.（2024•河南•校联考模拟预测）中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算

山高的问题（如图1）：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相

直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人

目着地取望岛峰，亦与表末参合•问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题，如图

2,要测量海岛上一座山焰的高度人从立两根高48丈的标杆8C和。E,两竿相距80=800

步，D,B,“三点共线且在同一水平面上，从