北京市东城区2025-2026学年高三上学期期末考试数学 有答案

东城区2025—2026学年度第一学期期末统一检测本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合A={x|x<1},B={x∈Z|-2≤2x≤4},则A∩B=(A){x|-1≤x<1}(4)在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁史上的创举.如图所示，某抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m,拱高为4m.以桥拱最高点为原点，桥拱的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则桥拱所在的抛物线的标准方程为高三数学第1页(共6页)(5)设函数f(x)=|x|+cosx,则(A)f(x)是偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增(B)f(x)是奇函数，且在区间(0,+∞)上单调递增(C)f(x)是偶函数，且在区间(0,十∞)上单调递减(D)f(x)是奇函数，且在区间(0,+∞)上单调递减(6)已知圆经过点A(一2,4),B(2,0),则圆心到原点的距离的最小值为(7)设函数若f(x)在区间(-3,3)上的最大值为9,则a=(8)设函数f(x)=asinx+bcosx,则“f(x)的值域为[-1,1]”是“存在实数θ,使得(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(9)把物体放在空气中冷却，如果物体初始温度是θ₁℃,空气的温度是θ₀℃,那么tmin后物体的温度θ(单位：℃)可由公式θ=θo+(θ₁—θo)e-k求得，其中冷却系数k是一个随着物体与空气的接触状况而定的常数.现将一杯初始温度100℃的水置于20℃的空气中冷却.水杯先在开盖状态下放置t₁min,随后加上盖子继续放置t₂min,此时水温降至40℃.已知在开盖状态和加盖状态下水杯中水的冷却系数分别为0.05和0.01.若t₁+t₂=60,则t₁的值约为(10)如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1.平面ACC₁A₁,平面BCD₁A₁第二部分(非选择题共110分)(13)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x)且f(0)>0,写出满足条件的一个函数解析式f(x)=称h(x)具有性质P.将具有性质P的函数所构成的集合记为H.给出下列四个②存在f(x),g(x)∈H,使得f(x)g(x)∈H且f(x)+g(x)∈H;三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(16)(本小题13分)(Ⅱ)若D为BC边上的中点，从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，条件①:条件③:△ABC的周长为10+2√7.注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.(17)(本小题14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD=√2,M为AD的中点，E为棱PC上一点.(Ⅱ)设直线AE与平面PAB所成角为α,直线AE与平面ABCD所成角为β.若α=β,(18)(本小题13分)某平台开展答题比赛，比赛共进行两轮，选手每轮比赛择一类问题，平台从该类问题中随机抽取一个问题供选手回答.比赛规定：甲类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；二类问题中的每个问题回答正确得50分，否则扣10分；选手初始分数为0分.假设某选手正确回答甲类问题的概率为,正确回答乙类问题的概率为(I)若该选手两轮都选择甲类问题，求该选手累计得分不低于20分的概率；(Ⅱ)若该选手第一轮选择甲类问题，第二轮选择乙类问题，记该选手累计得分为X,求X的分布列与数学期望E(X);(Ⅲ)若该选手每轮等可能地从甲、乙两类问题中选择一类问题，如果两轮的题目类型相同，记该选手的累计得分为Y;如果两轮的题目类型不同，记该选手的累计得分为Z.试判断数学期望E(Y)与E(Z)的大小.(结论不要求证明)(19)(本小题15分)(I)求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知PF₂不与x轴垂直.延长PF₁,PF₂分别与椭圆C交于点M,N,若点M到直线x=-3的距离与点N到直线x=3的距离之和为,求m的值.(20)(本小题15分)设函数f(x)=e—er.(I)当a=2,b=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(1)求f(x)的极值；(21)(本小题15分)将A的第i项与第i+1项同时减1,其余项不变，所得数列记作T(A).对A依次进行变换T,T:.,….T(k∈N·)后，所得数列记为T…TT((Ⅱ)已知n=5,a₁=a₃=a₅=3,若存在变换T,,T,….T使得T…T.T(A)的各项均为0,求a₂+a₄的值；(Ⅲ)已知n(n≥6)为偶数，A的各项均为正整数，且对任意的变换T,T,…,T.当T,…T,₂T;(A)中的各项均为非负整数时，都有T:…T.T(A)中等于0的项的个数不大于,求A的各项之和的最小值.(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)东城区2025—2026学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案及评分标准2026.1一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)(6)C二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)(13)2#(答案不唯一)(14)三、解答题(共6小题，共85分)(16)(共13分)因为△ABC为锐角三角形，所以cosA≠0.由正弦定理(Ⅱ)选择条件②:△ABC的面积为6√3.得,故因为△ABC为锐角三角形，在△ACD中，由余弦定理选择条件③:△ABC的周长为10+2√7.因为a=6,b=4,△ABC的周长为10+2√7,高三数学参考答案及评分标准第1页(共6页)由余弦定理(17)(共14分)因为E是PC的中点，因为M为AD的中点，所以AM//EF,AM=EF.所以四边形AMEF是平行四边形.所以ME//平面PAB5分(Ⅱ)如图，取BC中点N,连接MN.因为平面PAD⊥平面ABCD,PMC平面PAD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥平面ABCD.如图建立空间直角坐标系M—xyz,则P(0,0,1),C(一1,2,0),A(1,0,0),B(1,2,0).因此AB=(0,2,0),PA=(1,0,—1),C设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),则所以平面PAB的法向量为m=(1,0,1).则AE=(λ-2,2-2λ,λ).高三数学参考答案及评分标准第2页(共6页)MP=(0,0,1)为平面ABCD的法向量，因为α=β,所,即λ²—4λ+2=0,解得λ=2±√2.(18)(共13分)解：(I)设事件M=“两轮比赛累计得分不低于20分”,由已知该选手正确回答甲类问题的概率为·所以该选手两轮比赛累计得分不低于20分的概率为.……………3分(Ⅱ)X的所有可能取值为一10,10,50,70.X的分布列为XPX的数学期望.……………10分(19)(共15分)高三数学参考答案及评分标准第3页(共6页)高三数学参考答案及评分标准第4页(共6页)(Ⅱ)设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),直线PF₁:y=k₁(x+1),直线PF₂:y=k₂(x—1),,因为点P在椭圆C上，所以4m²+5n²=20.得(5k²+4)x²+10k}x+5k²—20=0.由得(5k2+4)x²—10k2x+5k²—20=0,由于点M到直线x=-3的距离与点N到直线x=3的距离之和为解得m=±2.所以m=2.……………15分(20)(共15分)所以f'(0)=1.所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x.……………4分(Ⅱ)(i)由条件得f(x)=e³x—e²×,所以f'(x)=3e³x—2e²x.解得x一0十单调递减极小值单调递增(ii)关于x的方程等价于e³x-e²x=xe*(x≠0),所以所以p(x)在(0,+∞)上单调递增.因为p(0)=0,所以g(x)在区间(0,+∞)上单调递增.因为g(0)=0,故当,关于x的方程在(0,+∞)上无解.……………15分高三数学参考答案及评分标准第5页(共6页)高三数学参考答案及评分标准第6页(共6页)(21)(共15分)(Ⅱ)由于变换T;(i=1,2,…,n—1),将A的第i项与第i+1项同时减1,因此变换前的数列与变换后的数列的奇数项的和与偶数项的和之差不变.此时A的奇数项的和与偶数项的和之差为9—(a₂+aA).当T;T:._…T;,(A)的各项均为0时，变换后的数列的奇数项的和与偶数项的和之差为0,因此9—(a₂+a)=0,即a₂+a₄=99分(Ⅲ)因为n(n≥6)为偶数，把a₁,a₂,…,an分成组，存在变换使每组的两个数中至少一个变为0,因此存在变换T;,Ti₂,…,T;,当T;…T:T;,(A)中的项非负时，T;…T:₂T;,(A)所有项中0的个数不小于·由已知可得同一组的两个数不能相同.下证第2组，第3组，…,第1组，这组数满足：每一组中的较大数不小于3.考察第2组数a₃,a,不