2025年高三数学期末空前绝后卷二

2025年高三数学期末空前绝后卷二2025年高三数学期末空前绝后卷二

姓名：______班级：______学号：______得分：______

（考试时间：90分钟，满分：100分）

1.选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

2.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

3.解答题（本大题共3小题，共15分）

4.解答题（本大题共4小题，共20分）

5.解答题（本大题共2小题，共20分）

6.解答题（本大题共1小题，共15分）

7.解答题（本大题共1小题，共10分）

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1.选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

（1）若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则A∩B=（）

A.{1}B.{2}C.{1，2}D.∅

（2）若复数z满足|z|=1，且z^2不为实数，则z=（）

A.1B.-1C.iD.-i

（3）函数f(x)=log_a(x+1)在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A.(0，1)B.(1，+∞)C.(0，1)∪(1，+∞)D.R

（4）在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C=（）

A.75°B.105°C.75°或105°D.无法确定

（5）若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=2，a_4=7，则S_5=（）

A.20B.25C.30D.35

2.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

（6）函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期为______。

（7）在直角坐标系中，点P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为______。

（8）若直线l：y=kx+1与圆C：x^2+y^2-2x+4y-3=0相切，则k=______。

（9）若某校高三年级有1000名学生，随机抽取200名学生进行体检，其中男生120名，女生80名，则该校高三年级男生人数的估计值为______。

（10）在△ABC中，若a=3，b=4，C=60°，则c=______。

3.解答题（本大题共3小题，共15分）

（11）（5分）解不等式：|x-1|>2。

（12）（5分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求其单调区间。

（13）（5分）在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边a=√2，求边b的长度。

4.解答题（本大题共4小题，共20分）

（14）（5分）计算极限：lim_(x→0)(sinx)/x。

（15）（5分）已知等比数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_1=1，q=2，求T_4。

（16）（5分）求函数f(x)=e^x-x^2在区间[0，2]上的最大值和最小值。

（17）（5分）在直角坐标系中，已知点A(1，2)，点B(3，0)，求直线AB的方程。

5.解答题（本大题共2小题，共20分）

（18）（10分）已知函数f(x)=2cos^2x+sinx-1，求其最大值和最小值。

（19）（10分）在△ABC中，若a=5，b=7，c=8，求△ABC的面积。

6.解答题（本大题共1小题，共15分）

（20）已知函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1时取得极值，且f(0)=1，f(1)=3，求a，b，c的值。

7.解答题（本大题共1小题，共10分）

（21）在△ABC中，若角A=30°，角B=45°，边a=2，求sinC的值。

8.解答题（本大题共2小题，共20分）

（22）（10分）已知函数f(x)=lnx-ax^2在x=1时取得极大值，求a的值。

（23）（10分）在直角坐标系中，已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，求该圆的圆心和半径。

9.解答题（本大题共1小题，共15分）

（24）已知函数f(x)=x^3-3x^2+3x-1，求其所有零点。

10.解答题（本大题共1小题，共10分）

（25）在△ABC中，若a=3，b=5，c=7，求cosA的值。

11.解答题（本大题共2小题，共20分）

（26）（10分）计算定积分：∫_0^1(x^2+1)dx。

（27）（10分）在等差数列{a_n}中，若a_1=1，d=2，求a_10的值。

12.解答题（本大题共1小题，共15分）

（28）已知函数f(x)=sinx+cosx，求其在区间[0，π/2]上的最大值。

13.解答题（本大题共1小题，共10分）

（29）在直角坐标系中，已知点A(1，0)，点B(0，1)，求直线AB的斜率。

14.解答题（本大题共1小题，共15分）

（30）已知函数f(x)=e^x-1-x，求其在x=0处的导数。

15.解答题（本大题共1小题，共10分）

（31）在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边c的长度。

1.选择题

（1）C

（2）C

（3）B

（4）C

（5）D

2.填空题

（6）π

（7）（-a，b）

（8）-2√3

（9）600

（10）5

3.解答题

（11）解：|x-1|>2

x-1>2或x-1<-2

x>3或x<-1

故解集为(-∞，-1)∪(3，+∞)

（12）求导：f'(x)=3x^2-6x+3=3(x^2-2x+1)=3(x-1)^2

令f'(x)=0，得x=1

当x<1或x>1时，f'(x)>0，函数单调递增

当x=1时，f'(x)=0，函数取得极值点

故单调增区间为(-∞，1)∪(1，+∞)，单调减区间为(1，1)，即函数在x=1处单调性不变

（13）由正弦定理：a/sinA=b/sinB

√2/sin45°=b/sin60°

√2/(√2/2)=b/(√3/2)

2=2b/√3

b=√3

故边b的长度为√3

4.解答题

（14）lim_(x→0)(sinx)/x=1（基本极限公式）

（15）T_4=b_1(1-q^n)/(1-q)=1(1-2^4)/(1-2)=15

（16）求导：f'(x)=e^x-2x，令f'(x)=0，得e^x=2x

在[0，2]上，f'(x)在x=1时为0，f(0)=1，f(1)=e-1，f(2)=e^2-4

比较得最大值为max{e^2-4，e-1}，最小值为min{1，e-1，e^2-4}

实际计算可知最大值为e^2-4，最小值为1

（17）直线斜率k=(0-2)/(3-1)=-1

直线方程：y-2=-1(x-1)

即x+y-3=0

5.解答题

（18）f(x)=2cos^2x+sinx-1=1+cos2x+sinx-1=cos2x+sinx

令y=cos2x+sinx，求导：y'=-2sin2x+cosx

令y'=0，得-4sinxcosx+cosx=0，即cosx(1-4sinx)=0

当cosx=0时，x=π/2+kπ，不在[0，π/2]内

当1-4sinx=0时，sinx=1/4，x=arcsin(1/4)

计算f(0)=1，f(π/2)=0，f(arcsin(1/4))=cos(2arcsin(1/4))+1/4

比较得最大值为max{1，cos(2arcsin(1/4))+1/4}，最小值为0

（19）由余弦定理：cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=18/35

sinC=√(1-cos^2C)=√(1-(18/35)^2)=√(1-324/1225)=√(901/1225)=31/35

面积S=(1/2)absinC=(1/2)×5×7×(31/35)=31/2

6.解答题

（20）f'(x)=2ax+b，f'(1)=0，即2a+b=0

f(1)=a+b+c=3

f(0)=c=1

联立得：

2a+b=0

a+b+1=3

解得a=2，b=-4，c=1

7.解答题

（21）由正弦定理：a/sinA=c/sinC

√3/sin30°=c/sinC

√3/(1/2)=c/sinC

2√3=c/sinC

sinC=c/(2√3)

由余弦定理：cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=1/2

sinC=√(1-cos^2C)=√(3/4)=√3/2

故sinC=√3/2

8.解答题

（22）f'(x)=1/x-2ax，f'(1)=1-2a=0

解得a=1/2

验证：f''(x)=-1/x^2-a，f''(1)=-1-1/2=-3/2<0

故x=1处为极大值点

（23）圆方程配方：(x-2)^2+(y+3)^2=16

圆心(2，-3)，半径4

9.解答题

（24）令f(x)=x^3-3x^2+3x-1，求导f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2

f'(x)=0时x=1，f(1)=0

f(x)为三次函数，有唯一零点x=1

10.解答题

（25）由余弦定理：cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=12/25

sinA=√(1-cos^2A)=√(1-144/625)=√(481/625)=√481/25

11.解答题

（26）∫_0^1(x^2+1)dx=[x^3/3+x]_0^1=1/3+1=4/3

（27）a_10=a_1+(10-1)d=1+18=19

12.解答题

（28）f'(x)=cosx-sinx，令f'(x)=0，得cosx=sinx，x=π/4

f(π/4)=√2/2+√2/2=√2

比较f(0)=1，f(π/2)=1，最大值为√2

13.解答题

（29）斜率k=(1-0)/(0-1)=-1

14.解答题

（30）f'(x)=e^x-1，f'(0)=e^0-1=0

15.解答题

（31）由正弦定理：a/sinA=c/sinC

√3/sin30°=c/sinC

2√3=c/sinC

由余弦定理：c^2=a^2+b^2-2abcosC

c^2=4+3-2√3×2×(√2/2)=7-4√6

c=√(7-4√6)

知识体系分类总结

一、集合与函数

1.集合运算：交集、并集、补集

2.函数性质：单调性、奇偶性、周期性

3.函数图像：对数函数、指数函数、三角函数

二、三角函数

1.基本公式：同角三角函数关系、诱导公式

2.图像性质：周期、振幅、相位

3.解三角形：正弦定理、余弦定理

三、数列

1.等差数列：通项公式、前n项和

2.等比数列：通项公式、前n项和

3.数列应用：递推关系

四、解析几何

1.直线方程：点斜式、斜截式、一般式

2.圆方程：标准式、一般式

3.距离公式：点到直线、点到圆

五、导数与极限

1.导数定义：瞬时变化率

2.导数应用：单调性、极值、最值

3.极限计算：基本极限、洛必达法则

六、积分

1.定积分定义：面积计算

2.积分计算：基本公式、换元积分

各题型知识点详解及示例

1.选择题

考察基础概念与性质，如集合运算（示例：|x-1|>2的解法）、复数模长（示例：|z|=1的条件）、对数函数单调性（示例：log_a(x+1)单调递增的条件）、三角函数值（示例：cos60°=1/2）、正弦定理（示例：a/sinA=b/sinB的应用）

2.填空题

考察基本计算能力，如三角函数周期（示例：sin(2x+π/3)的周期为π）、对称点（示例：点关于y轴对称）、直线与圆相切（示例：判别式Δ=0）、抽样估计（示例：200名学生中男生比例）、余弦定理（示例：a=3，b=4，C=60°求c）

3.解答题（3小题）

考察基础解题方法，

（11）绝对值不等式解法：分类讨论|x-a|>b

（12）函数单调性：求导数f'(x)符号变化

（13）正弦定理应用：已知两角一边求另一边

4.解答题（4小题）

考察综合应用能力，

（14）基本极限：sinx/x（x→0）

（15）等比数列求和：T_n=b_1(1-q^n)/(1-q)

（16）函数最值：导数与端点比较

（17）直线方程：两点式与一般式转化

5.解答题（2小题）

考察复杂函数分析，

（18）三角函数最值：利用辅助角公式sinx+cosx=√2sin(x+π/4)

（19）三角形面积：海伦公式或正弦定理×1/2

6.解答题（1小题）

考察函数极值：求导数f'(x)零点与二阶导数符号判断

7.解答题（1小题）

考察解三角形：已知两边一角求第三边正弦值

8.解答题（2小题）

考察数列进阶，

（22）函数极值：判断f''(x)符号

（23