2025-2026学年福建省福州八中九年级（上）月考数学试卷（1月份）(含部分答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年福建省福州八中九年级（上）月考数学试卷（1月份）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.榫卯是中国古建筑的主要结构方式，是极为精巧的发明之一，其凸出的部分叫榫，凹进去的部分叫卯.如图是某个部件“榫”的实物图，那么它的俯视图是（）A.

B.

C.

D.3.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A.y=（x+2）2+2 B.y=（x-2）2-2 C.y=（x-2）2+2 D.y=（x+2）2-24.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE与△ACB相似的是（）A.∠ADE=∠ACB

B.DE∥BC

C.

D.5.对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如表：抽取件数（件）501001502005008001000合格频数4288141176445724900合格频率0.840.880.940.880.890.9050.9若出售20000件衬衣，则其中合格品的件数大约是（）A.18000件 B.16800件 C.3200件 D.2000件6.如图，在正方形网格中，将△MNP绕某一点旋转某一角度得到△M1N1P1，则旋转中心是（）A.点A

B.点B

C.点C

D.点D

7.某校有一位同学感染了流感，经过两次感染后，全校共有144人染上了流感.设每一次感染中，平均一个人传染给了x人，列方程为（）A.x+2x=144 B.1+x（x+1）=144 C.（x+1）2=144 D.x（x+1）=1448.牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一，我们用反证法证明命题“三角形中不能两个直角”，应先假设（）A.三角形中有一个内角是直角 B.三角形中有两个内角是直角

C.三角形中有三个内角是直角 D.三角形中不能有内角是直角9.综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）.下列说法正确的是（）A.当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm

B.当液体密度ρ=2g/cm3时，浸在液体中的高度h=40cm

C.当浸在液体中的高度0＜h≤10cm时，该液体的密度ρ≥2g/cm3

D.当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm10.已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是二次函数y=x2-bx+c的图象上任意两点，设x2-x1=t,若当-2＜x1＜2且-1＜b＜4时，都有y2＞y1，则t的取值范围是（）A.t＜-4或t＞7 B.t＜-5或t＞8 C.t＜-5或t＞7 D.t＜-4或t＞8二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是______．12.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AE：CE=1：3，则=

.

13.设m,n分别为一元二次方程x2+x-2027=0的两个实数根，则m2+2m+n=

.14.如图，已知反比例函数和的图象分别为C1，C2，A是C1上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，AB与C2交于点D.若△AOD的面积为3，则k的值为

.

15.我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，∠ABE=15°，连接OE交AB于点F.若AB=2，则图中阴影部分的面积为

.

16.如图，在△ABC中，AC=6，BC=4，∠C=60°，D是线段BC上一点（不与端点B，C重合），连接AD，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F，则线段CF长度的最大值为

.

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

解下列方程：

（1）x2+5x=0；

（2）（x-3）2=3-x.18.(本小题8分)

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，D为AC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接BD，CE.

求证：BD=CE.19.(本小题8分)

已知二次函数y=x2-（m-2）x+m-3（m是常数）.

（1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点；

（2）已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且AB=2，求m的值.20.(本小题8分)

如图所示，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P.

（1）尺规作图：过点P作⊙O的切线l,并交于AC于点D，（保留作图痕迹，不写作法）

（2）若AB=4，BC=6，求CD的值.21.(本小题8分)

某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下.

摸球方案：①在一个不透明的盒子中装入9个除颜色外完全一样的小球，其中5个黄球，4个白球；

②从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回.

获奖规则：①若取出的是黄球，则获得奖品A；

②若取出的是白球，则获得奖品B.

（1）求该班某位同学参加该游戏“获得奖品A”的概率是______；“获得奖品B”的概率是______；

（2）若从原方案的盒子中取走4个黄球和2白球，请利用剩下的3个小球，设计一个新的摸球方案与获奖规则，使得“获得奖品A”和“获得奖品B”的概率和原摸球方案与获奖规则下的概率分别相等.22.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（-1，m），B（n,-3）两点，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点C.

（1）求一次函数的解析式；

（2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集；

（3）点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标.23.(本小题10分)

已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点（3，0）.

（1）求该抛物线的对称轴；

（2）当a=2时，若点P在第一象限，且点P为抛物线y=ax2+bx对称轴上一点，记原点为O，连接OP，将线段OP绕点P顺时针旋转90°，使点O的对应点M恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；

（3）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y=ax2+bx和y=x2-6x上（A，B与原点都不重合）.当时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值.24.(本小题12分)

某纸杯的尺寸（单位：cm）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片ABCD（可以看作扇形纸片OAD剪去扇形纸片OBC后剩余的部分）.

（1）的长为______

cm,OB=______

cm.

（2）记a×b表示两边长分别为a,b（a≤b,单位：cm）的矩形纸片的大小.

①图（2）是可以剪出扇环纸片ABCD的一张矩形纸片，它的一边与相切，点B，C在对边上，点A，D分别在另外两边上，直接写出a,b的值.

②用一张18.2×25.7的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD吗？说明理由.

③若一张15×b的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD，写出求b的范围的思路（无需算出最终结果）.25.(本小题14分)

如图1，⊙O中，，直径AF交弦BC于点E，点D在弦BC上，连接AD并延长交⊙O于点G.

（1）若BA=BD，∠EAD=α，求∠ABC（用含α的式子表示）

（2）如图2，在（1）的条件下，过点F作KF∥AG，交AB于点J，过点B作BN⊥AC于点N交AF于点M，连接FG，

①求证：FG2=KJ•KF；

②当AJ=AO，CD=1时，连接CM，并延长交AB于点H，连接BF、CF，探究四边形HBFC的面积是否为定值，若是，请求出四边形HBFC的面积；若不是，请说明理由.

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】（0，1）

12.【答案】

13.【答案】2026

14.【答案】-7

15.【答案】-

16.【答案】

17.【答案】x1=0，x2=-5

x1=3，x2=2

18.【答案】∵将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，

∴AD=AE，∠CAE=α，

∴∠CAE=∠BAD=α，

在△CAE和△BAD中，

，

∴△CAE≌△BAD（SAS），

∴BD=CE．

19.【答案】解：（1）当y=0时，x2-（m-2）x+m-3=0，

∵Δ=[-（m-2）]2-4×1×（m-3）=m2-4m+4-4m+12=m2-8m+16=（m-4）2≥0，

∴一元二次方程x2-（m-2）x+m-3=0有实数根，

∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点；

（2）当y=0时，x2-（m-2）x+m-3=0，

得，

∴x1=m-3，x2=1，

∴AB=|（m-3）-1|=|m-4|=2，

∴m=6或m=2．

20.【答案】如图，直线l，点D即为所求；

CD=

21.【答案】;

新的摸球方案：从袋中剩余的1个黄球，2个白球中先随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再随机摸取一个小球．

获奖规则：若取出的两个球是一个黄球，一个白球，则获得奖品A；若取出的两个球都是白球，获得奖品B，

此时列表如下：黄白白黄（黄，黄）（黄，白）（黄，白）白（白，黄）（白，白）（白，白）白（白，黄）（白，白）（白，白）共有9种等可能的结果，其中取出的两个球是一个黄球，一个白球的结果有4种，取出的两个球都是白球的结果有4种，

∴“获得奖品A”的概率=，“获得奖品B”的概率=，

“获得奖品A”的概率=“获得奖品B”的概率

22.【答案】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（-1，m），B（n,-3），

∴-1×m=-6，-3n=-6，

解得m=6，n=2，

∴A（-1，6），B（2，-3），

把A、B的坐标代入y=kx+b得，

解得，

∴一次函数的解析式为y=-3x+3．

（2）观察图象，不等式的解集为：x≤-1或0＜x≤2．

（3）连接OA，OB，由题意C（0，3），

S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×1+×3×2=，

设P（m,0），

由题意•|m|•3=×2，

解得m=±6，

∴P（6，0）或（-6，0）．

23.【答案】直线x=

P（，）

b=-6，a=2

24.【答案】9π；18；

①a=（27-9）cm，b=27（cm）；

②用一张18.2×25.7的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD，理由：

将扇环纸片ABCD按如图所示放置，AB在矩形的边AG上，延长AB，DC，延长线交于点O，过点D作DE⊥AG于点E，过点C作CF⊥AG于点F，

由题意得：∠O=60°，OB=OC=18cm，OA=OD=OE=18+9=27cm，AB=CD=9cm，

∴DE=OD≈23.38（cm），OF=OC=9cm，FC=OC•sin60°=9≈15.59（cm），

∴AF=OA-OF=27-9=18（cm），

∵18＜18.2，23.38＜25.7，

∴AF＜AG=18.2cm，DE＜GH=25.7cm，

∴用一张18.2×25.7的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD．

③设15×b的矩形纸片为矩形MNKS，MS=NK=15cm，将扇环纸片ABCD如图放置，使点A在MS边上，点B在KS边上，点D在NK边上，与边MN相切于点P，

则此时的b值最小，若求b的范围，则此时的MN为b的最小值．

延长AB，DC，延长线交于点O，连接OP，OP交SK于点H，过点D作DE⊥OP于点E，过点A作AF⊥OP于点F，设OD交SK于点G，

由题意得：∠AOD=60°，OB=OC=18cm，OP=OA=OD=OE=18+9=27（cm），AB=CD=9cm，

∵与边MN相切于点P，

∴OP⊥MN，

∵DE⊥OP，AF⊥OP，四边形MNKS为矩形，

∴四边形PNDE，四边形AFPM，四边形PNKH为矩形，

∴PN=DE，MP=AF，PH=NK=15cm，

∴b=MN=MP+PN=AF+DE，OH=OP-PH=12（cm）．

∴求得AF，DE的值即可求得b的最小值；

由于OA=OD=27cm，解Rt△OAF和Rt△ODE即可求得结论

25.【答案】∠ABC=2α