2026届江苏省扬州市武坚中学数学高二上期末预测试题含解析

2026届江苏省扬州市武坚中学数学高二上期末预测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则.例如《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至.已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺，按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺2．已知抛物线的焦点为，为抛物线上第一象限的点，若，则直线的倾斜角为（）A. B.C. D.3．过点P(2，1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有A.1条 B.2条C.3条 D.4条4．下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.5．已知公差不为0的等差数列中，（m，），则mn的最大值为（）A.6 B.12C.36 D.486．试在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为A. B.C. D.7．已知函数在区间有且仅有2个极值点，则m的取值范围是（）A. B.C. D.8．双曲线型自然通风塔外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为米，上口半径为米，下口半径为米，高为24米，则该双曲线的离心率为（）A.2 B.C. D.9．已知数列的通项公式是，则（）A10100 B.-10100C.5052 D.-505210．已知命题：，；命题：在中，若，则，则下列命题为真命题的是（）A. B.C. D.11．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为，，，则△ABC的欧拉线方程为（）A. B.C. D.12．离心率为，长轴长为6的椭圆的标准方程是A. B.或C. D.或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，若，则实数m的值是___________.14．已知数列满足，则＝________.15．椭圆的两焦点为，，P为C上的一点（P与，不共线），则的周长为______.16．给出下列命题：①若两条不同的直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；②若两个不同的平面同时垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行；③若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行；④若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相垂直.其中所有正确命题的序号为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，为的中点，.请用空间向量知识解答下列问题：（1）求线段的长；（2）若为线段上一点，且，求平面与平面夹角的余弦值.18．（12分）已知中，内角的对边分别为，且满足.（1）求的值；（2）若，求面积的最大值.19．（12分）已知圆C的方程为.（1）直线l1过点P(3，1)，倾斜角为45°，且与圆C交于A，B两点，求AB的长；（2）求过点P(3，1)且与圆C相切的直线l2的方程.20．（12分）如图，已知抛物线的焦点为F，抛物线C上的点到准线的最小距离为1（1）求抛物线C的方程；（2）过点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线C交于A，B两点，l2与抛物线C交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF|·|NF|的最小值21．（12分）如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角.22．（10分）已知，，其中（1）已知，若为真，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据等差数列定义求得公差，再求解立夏的晷影长在数列中所对应的项即可【详解】设从冬至到夏至的十三个节气依次为等差数列的前13项，则所以公差为，则立夏的晷影长应为(尺)故选：B2、C【解析】设点，其中，，根据抛物线的定义求得点的坐标，即可求得直线的斜率，即可得解.【详解】设点，其中，，则，可得，则，所以点，故，因此，直线的倾斜角为.故选：C.3、B【解析】利用几何法，结合双曲线的几何性质，得出符合条件的结论.【详解】由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±x，则点P(2，1)在渐近线y＝x上，又双曲线的右顶点为A(2，0)，如图所示．满足条件的直线l有两条：x＝2，y－1＝－(x－2)【点睛】该题考查的是有关直线与双曲线的公共点有一个的条件，结合双曲线的性质，结合图形，得出结果，属于中档题目.4、B【解析】对各个选项进行导数运算验证即可.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B5、C【解析】由等差数列的性质可得，再应用基本不等式求mn的最大值，注意等号成立条件.【详解】由题设及等差数列的性质知：，又m，，所以，即，当且仅当时等号成立.所以mn的最大值为.故选：C6、A【解析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为过点P作于点，由定义可得,所以，由图形可得，当三点共线时，最小，此时故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点P的坐标为．选A点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决7、A【解析】根据导数的性质，结合余弦型函数的性质、极值的定义进行求解即可.【详解】由，，因为在区间有且仅有2个极值点，所以令，解得，因此有，故选：A8、A【解析】以的中点О为坐标原点，建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，设，，代入双曲线的方程，求得，得到，进而求得双曲线的离心率.【详解】以的中点О为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设双曲线的方程为，则，可设，，又由，在双曲线上，所以，解得，，即，所以该双曲线的离心率为.故选：A.第II卷9、D【解析】根据已知条件，用并项求和法即可求得结果.【详解】∵∴∴.故选：D.10、C【解析】分别求得的真假性，从而确定正确答案.【详解】对于，由于，所以为假命题，为真命题.对于，在三角形中，，由正弦定理得，所以为真命题，为假命题.所以为真命题，、、为假命题.故选：C11、A【解析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.【详解】由题可知，△ABC的重心为，可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为，直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为，联立方程可得△ABC的垂心为，则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，故△ABC的欧拉线方程为.故选：A.12、B【解析】试题解析：当焦点在x轴上：当焦点在y轴上：考点：本题考查椭圆的标准方程点评：解决本题的关键是焦点位置不同方程不同二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】结合已知条件和空间向量的数量积的坐标公式即可求解.【详解】因为，所以，解得.故答案为：.14、4【解析】根据对数的运算性质得，可得，即数列是以2为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式化简可得值.【详解】因为，所以，即数列是以2为公比的等比数列，所以.故答案为：4.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式以及对数的运算性质，熟练运用相应的公式即可，属于基础题.15、【解析】结合椭圆的定义求得正确答案.【详解】椭圆方程为，所以，所以三角形的周长为.故答案为：16、②③【解析】由垂直于同一直线的两直线的位置关系判断①；由直线与平面垂直的性质判断②③；由空间中平面与平面的位置关系判断④【详解】①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故错误；②根据线面垂直的性质知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行，故正确；③由线面垂直的性质知：若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行，故正确④若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，这两个平面相交或平行，故错误.其中所有正确命题的序号为②③故答案为：②③三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知可得出，求出的值，即可得解；（2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】解：平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则、、、，则，，，则，解得，故.【小问2详解】解：，则，又、、，所以，，，设为平面的法向量，则，取，可得，显然，为平面的一个法向量，，因此，平面与平面夹角的余弦值为.18、（1）2；（2）.【解析】（1）利用正弦定理以及逆用两角和的正弦公式得出，而，即可求出的值；（2）根据题意，由余弦定理得，再根据基本不等式求得，当且仅当时取得等号，即可求出面积的最大值.【小问1详解】解：由题意得，由正弦定理得：，即，即，因为，所以【小问2详解】解：由余弦定理，即，由基本不等式得：，即，当且仅当时取得等号，，所以面积的最大值为19、（1）（2）x=3或【解析】（1）首先利用点斜式求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后利用垂直定理、勾股定理计算可得；（2）依题意可得点在圆外，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线的斜率不存在直线得到直线方程，但直线的斜率存在时设直线方程为，利用点到直线的距离公式得到方程，解得，即可得解；【小问1详解】解：根据题意，直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为故；【小问2详解】解：根据题意，点在圆外，分两种情况讨论：当直线的斜率不存在时，过点的直线方程是，此时与圆C：相切，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，直线与圆相切时，圆心到直线的距离为解得此时，直线的方程为，所以满足条件的直线的方程是或.20、（1）（2）8【解析】（1）由抛物线C上的点到准线的最小距离为1，所以，即可求得抛物线的方程；（2）设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为，得到直线AB的方程为，联立方程，求得，进而求得的坐标，得到的表达式，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：因为抛物线C上的点到准线的最小距离为1，所以，解得，所以抛物线C的方程为【小问2详解】解：由（1）可知焦点为F(1，0)，由已知可得ABCD，所以直线AB，CD的斜率都存在且均不为0，设直线AB斜率为k，则直线CD的斜率为，所以直线AB的方程为，联立方程，消去x得，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，因为M(xM，yM)为弦AB的中点，所以，由，得，所以点，同理可得，所以，＝，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由题意可证得，所以以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明，（2）求出两个平面的法向量，利用空间向量求解【小问1详解】∵平面平面，平面平面，∴平面，∴，以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则，令，则，∵平面，∴∥平面.【小问2详解】，设平面的法向量为，