【冲锋号考场模拟】高考数学模拟仿真卷 07卷（新高考专用）（解析版）

【冲锋号•考场模拟】高考数学模拟仿真卷03卷（新高考专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.（陕西省安康市2022-2023学年高三上学期12月第一次质量联考理科数学试题）记集合

M>21,TV=|x|y=In（x2-,则McN=（）

A.{x|2<x<3}B.{x|x>3或rv-2}C.1x|0<x<2}D.{x|-2<x<3}

【答案】B

【分析】先解不等式确定集合M,N,然后再根据交集的定义求其交集即可.

【详解】区>2,「.工>2或1<一2,

所以集合例={x\x>2或rv-2},

={.v|x2-3x>01={X|X<0SKX>3},

所以用门"={/,>3或1<-2}.

故选：B.

2.（2023•浙江温州•模拟预测）若复数z满足邑现=1-2"其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）

z

1010.

A.-----B.------1C.2iD.2

33

【答案】D

【分析】根据复数的运算法则求得z即可求得虚部.

【详解】由已知岂叫=>2i,故5=（l-2i）z=z=W=l+2i,

z1—21

故z的虚部是2.

故答案为：D

3.（2022•天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习）已知函数"”=2$出上"+#），。>0,。<。<|^的

图象的相邻两个零点的距离为/（。）=枕，贝"（力=（）

A.Vising2x+-jB.2sin（2x+?

C.V5sin（4x+?D.2sin（4x+?）

【答案】B

【分析】先根据函数图象相邻两个零点的距离为I,求出周期，算出”的值，再根据/（0）=&求出。的值，

即可得到答案.

【详解】因为函数/（司=2m（8+。）（。>0,0</<三）的图象的相邻两个零点的距离为1,所以

T=-x2=7r,所以/=生=包=2,所以/（x）=2sin（2x+°）：

2T7U

又因为/（0）=&，所以八O）=2sin0=&,解得sine=1,

因为0<夕节，所以夕=?,所以/（x）=2sin（2x+5）.

故选：B.

4.（2022•内蒙古鄂尔多斯•高三期中（文））下列各式大小比较中，其中正确的是（）

A.币—由>由-乖>B.tansin；C.21n3<31n2D.心。1<|If

515J号2[2）

【答案】D

【分析】由不等式的性质，三角函数和指数对数函数的单调性，逐个判断选项是否正确.

【详解】（77+6）2=10+2后〈（石+石了=10+2后，0x/7+T3<x/5+x/5,即将一逐<逐一百，选项

A错误；

L

.•0<cos-<l,则一三，得sin（三）=sinS<—=tan^,故选项B错误；

5COS555325

5

21r）3=ln9>In8=31n2,选项C错误；

5

iog|-=log52<log5^=-,^|>^=1,团]选项D正确.

故选：D

5.（2022•河南•民权县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线£-1=1（。>0力>0）的离心率为典，右

arb~2

焦点为广，直线《4均过点尸且互相垂直，4与双曲线的右支交于AC两点，6与双曲线的左支交于“点，

\FC\

。为坐标原点，当A三点共线时，品=（）

\AF\

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据题意作出图形，由双曲线的对称性及双曲线的定义，利用勾股定理建立方程求解可得.

【详解】设双曲线另焦点为广，连接Ak,CP,5产，如图，

因为A。,8三点共线，《1（

所以由双曲线的对称性知，四边形4所9为矩形，

设|4万|=若|尸C|=a,贝lJ|A尸'|=2a+x,icr|=2a+tx,

在R，Z\AF7中,lArp+IAFlM^FI2,即（2a+4+f=4/,

又eM,解得工=。或4=一初：舍去），

2

在KfZXAP'C中，|A尸『+|ACT=C'f'『，gp（2a+a）2+（a+taf=（2a+ta）2,

\FC\

解得f=3,即a=3.

\AF\

故选：B

6.（2022・湖南•高二期末）第19届亚运会即将在西子湖畔--杭州召开，为了办好这一届“中国特色、浙江风

采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛会志愿者招募，在杭大学生纷纷

踊跃参加.现有4名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在游泳、篮球、体操三个项目进行忐愿者服务，假

设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到游泳项目的条件下，

乙也被安排到游泳项目的概率为（）

1112

A.—B.-C.-D.-

12649

【答案】B

【分析】利用条件概率的公式直接求解即可.

【详解】记“甲被安排到游泳项目"为事件A,记"乙也被安排到游泳项目〃为事件8,

甲被安排到游泳项目分为两类，甲一人被安排到游泳项目的种数为C；A；,

两人被安排到游泳项目的种数为C；A；,

故种数为C；A；+C；A；=12,

甲乙被同时安排到游泳项目的种数为A；=2,

所求概率为P（,B.M）、=木n（AB\广/A胡：飞1

故选：D.

【答案】B

【解析】设底面圆的半径为JOS”,以£5所在直线为X轴，以垂直于方B所在直线为y轴,以OS所在直线

为z轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角N-QA-8与M-A8-B夹角的余

弦值.结合即可求得8的取值范围，即可得夕的最大值.

【详解】设底面圆的半径为「,0S=〃,以夕5所在直线为x轴，以垂直于用3所在直线为丁轴，以OS所在直线

为z轴建立空间直角坐标系,如下图所示：

则由ZAOB=6(0<0<7r)

可得0(0,0,0),B(r,0,0),5(0,0,6/),A(rcos0,rsin0,0),B'(T,0,0)

M.N是S8的两个三等分点

则陪，吟｝'仔局

所以OA=(rcos6,rsine,0),ON=|日,。,三)

设平面NOA的法向量为帆=(内,y,zj

(xyz)-(rcos<9,rsin<7,0)=0

in•QA=0rp(

则，代入可得

m-ON=0,0,=o

xjcos6+yrsin6=0

化简可得，2xraz.

--+—L=0

33

Ai皿/□cosO2r

令X‘解得H"高万=

cos。_2r}

所以加=

，sin0'a)

平面OAB的法向量为〃=（0,0,1）

由图可知，二面角N-04-A的平面角。为锐二面角，所以二面角N-OA-A的平面角a满足

cosa=

,cos204r2

1+-+^-

sin2^a

设二面角M-49-4的法向量为k=（孙、2,Z2）

B'4=(r+rcos0,rsin。,。)，4M=|j-rcos-rsin

(x,y,z)(r+rcos^,rsin^0)=0

::窘代人可得222

则

(x,y,z)---rcosa-rsin6,—=0

22233；

x2r+x2rcos^+y2rsin^=0

化简可得

号-x2rcos0-y2rsin6+=。

..--l-cos/72r

令石=1,解得九二F^，Z2=一T

.(.-1-cos^

平面AB'B的法向量为力二（0,0,1）

由图可知，二面角的平面角”为锐二面角，所以二面角M-AZ-4的平面角2满足

2r

kha

-1-cos。

丽一1+

sin。I”tr

由二面角的范围可知几

结合余弦函数的图像与性质可知8SQNCOS/?

_2r_2r

a、a

i；U［=■>—］:

Vsm0aY（sin。Ja2

化简可得cosOK-g,且0<。<乃

所以0<0咛

所以0的最大值是告

故选:B

【点睛】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用，根据题意建立合适的空间直角坐标系,求得平

面的法向量，即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂，属于难题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.（2022•江苏•南京师大附中高二期中）为迎接党的二十大胜利召开，某中学举行党史知识竞赛，对全校参

赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照［50,60）、［60,70）、［70,80）、［80,90）、［90,100］分成5

组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，卜.列说法正确的是（）

B.得分在区间［60,70）内的学生人数为200

C.该校学生党史知识竞赛成绩的中位数大于80

D.估计该校学生党史知识竞赛成绩的平均数落在区间［70,80）内

【答案】ABD

【分析】根据频率分布直方图的性质直接计算即可.

【详解】对于A,由频率分布直方图性质得：（4+0.02+0.035+0.025+4）x10=1,解得，故A正确:

对于B,由频率分布直方图得：成绩落在区间［60,70）的频率为0.2,所以人数为0.2x1000=200,故B正确:

对于C,由频率分布直方图得：［50,70）的频率为（0.01+0.02）x10=0.3,［70,80）的频率为0.035x10=0.35,

所以成名责的中位数位于区间［70,80）内，故C错误：

对于D,估计成绩的平均数为：

J=55x0.01x10+65x0.02x104-75x0.035x10+85x0.025x10+95x0.01x10=75.5,所以成绩的平均数落在

区间［70,80)内，故D正确.

故选：ABD.

10.(2022・福建•厦门市湖滨中学高二期中)如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示

的六面体，其中四边形AOE"和BCFG为直角梯形，A,D,C,8为直角顶点，其他四个面均为矩形，

AB=BG=3,FC=4,BCT,下列说法不正确的是()

A.该几何体是四棱台

B.该几何体是棱柱，平面A8C。是底面

C.EG1HC

D.平面EFG”与平面A8CO的夹角为45。

【答案】ABC

【分析】根据台体、柱体、空间直角坐标系、线线垂直、面面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答

案.

【详解】因为四边形ADE"和8CFG为直角梯形，A,D,C,8为直角顶点，其他四个面均为矩形，

所以这个六面体是四棱柱，平面AOEH和平面4cFG是底面，故A,B错误；

由题意可知DA,DC.DE两两垂直，如图，以点。为坐标原点建立空间直角坐标系，

则E(0,0,4),G(l,3,3),C(0,3,0),”(l,0,3),EG=(l,3,—l),C"=(l,—3,3),

则EGCH=1-9-3=-11w0，所以EG,"C不垂直，故C错误：

根据题意可知平面A8C。，所以。E=(0,0,4)为平面A8CD的•个法向量，

EH=(1,O,-1),//G=(0,3,0),

设〃=(x,y,z)为平面EFGH的法向量,

n•EH=x-z=0,

则有则可取〃=(1,0,1),

n-HG=3y=(),

n-DE4V2

则cos(〃,DE)=

-2

所以平面EFG”与平面ABC。的夹角为45。，故D正确.

故选；ABC

11.(2022•湖北•恩施市第一中学模拟预测)已知O为坐标原点，圆a：(x-cos6)2+()，-sine)2=l,则下列

结论正确的是()

A.圆。恒过原点O

B.圆。与圆/+)，=4外切

C.直线x+)，=呼被圆Q所截得弦长的最大值为G

D.直线Acosa+.ysina=0与圆。相切或相交

【答案】ACD

【分析】A.代入点(0,0)可判断；B.计算圆心距离与半径差的大小关系；C.利用垂径定理求弦长然后求最值;

D.求圆心到直线的距离来判断.

【详解】对于A：代入点(0,0)得(-94+㈠而。)、1恒成立，A正确；

对于B：Vcos*2^+sin2^=|l-2|,即两圆心距离等于两圆半径差.两圆内切，B错误；

对于C：直线x+)，=土区被圆G所截得弦长为

・八八3五

sin。+cos。-----sin0+cos0-

1-^--------------------

22=2'

~12~2

sine+cose=\Z5sin[e+：]e『&,5/^],

sin6»+cos<9--0-啜

2

.•・2^1--心K2y八_____?

2~~2~

即直线x+y=半被圆。所截得弦长的最大值为6,C正确;

|cos^cosa+sinOsina]

对于D：圆心到直线的距离=|cos(^-a)|<l,故圆和直线相切或相交,D正确;

Vcos2a+sin2a

故选：ACD.

12.（2022・福建•莆田华侨中学高二期中）已知数列｛4｝满足%=28,q=[21）”+〃卜,1（〃22）,

〃eN"

数列也｝的前〃项和为S“，且2=1%3“+2,4〃7）-1。殳3〃"%），则下列说法正确的是（）

A.%=21

a2

B.=16

C.数列]絮J为单调递增的等差数列

D.满足不等式3-5>0的正整数〃的最小值为63

【答案】ABD

【分析】由%=28和递推公式凡=8fq=2,久=168玲A选项正确，B选项正确；

4=12臼+〃卜,“（〃？2”幺=2（川"+〃今上"=2（臼"+2〃=2〃+2为单调递增的等差数列fC选项不正

aa

L」n-\2n-\

确；

b„=log,-^S„=log,塔>5玲〃>62-^D选项正确

【详解】因为。3=28,所以%=2（可./+3%=28,所以生=8,

则4=2（F〔4+2q=8，解得4=2,

〃4=2（叫'・％+4%=168,所以包=21,4-勺=16,所以A选项正确，B选项正确;

%

因为4=12(-°"+〃]%(〃之2),所以区=2(少+〃(〃之2),

L」an-\

所以(〃

=27"+2=2/2+2,又〃eN’，

a2n-\

所以上J=2〃+2-2〃=2,〃eN

a2n-\a2n-3

所以^为单调递增的等差数列,

.。2"-1.

则数列&L±不是单调递增的等差数列，所以C选项不正确；

'>=2(-产+2〃+2=2〃+4,

“2/1

a

则b"=log2(a2n+2•)-log?(2n•。2”+J=log2&"必H=log?卑，

ci3।4n+1.〃+234〃+ln+2\n+2

—X-XX----------X------------=

S„=log2-+log2-++log2—.log=loglog>5,

〃+1223nn+\)2

解得〃>62,乂neN*»

所以正整数〃的最小值为63,所以D选项正确.

故选:ABD.

【点睛】数列问题，常常需要由递推公式求出通项公式，方法有累加法，累乘法，构造法等，要根据数列

特征选择不同的方法.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2022・上海交大附中高一期末）古代典籍《周易》中的“八丰、”思想对我国的建筑有一定影响.图1是受

"八卦"启示设计的正八边形的八角窗..在正八边形ABCDEFGH中,^AC=xAB+yAH（x,yeR）,则x+），=

【答案】O+2##2+&

【分析】根据题意结合向量的线性运算分析运算.

【详解】如图，连接C",则ABgC”,

不妨设A5=2,则CH=20+2,即”C=（应+1）AB,

^AC=AH+HC=[42+\）AB+AH,则工=&+1,），=1,

故x+y=x/i+2.

故答案为：4+2.

14.（2022•天津市汇文中学高三期中）!=|的展开式中，/的系数是.（用数字填写答

（2

案）

35

【答案】v

O

【分析】写出二项式的通项公式，然后计算即可.

【详解】因为、一9)的通项公式为尸'9)=(7)，x(jC"喙，

4

令8-三3r=2得厂=4,则其系数为C与=3任5.

2248

35

故答案为：v

O

15.(2022•上海市金山中学高二期末)已知6、F?为双曲线巳=13＞。为＞。)的两个焦点，P、。为。

a'b'

上关于坐标原点对称的两点，且1。。1=1”鸟1,若直线2。的倾斜角为?，则C的离心率为—.

【答案】G+i##i+V5

【分析】由题意画出图形，可得4。。名为正三角形，进一步得到四边形〃鸟QK为矩形，再由双曲线的定义

求解得答案.

【详解】如图，

团直线尸。的倾斜角为%团"06=60。，

又IPQIHK/I,回区=|。闻,可得△o。鸟为正三角形,

由对称性可得，四边形尸6Q”为矩形，得到仍用=篦?居|=Gc,

由双曲线定义可得，＞/3c-c=2a,

团e=G+l»

故答案为：G+1.

16.(2020•黑龙江•哈九中高三期末(文))若存在实常数A和〃，使得函数P(x)和G(x)对其公共定义域上

的任意实数工都满足尸(力？丘+。和G("W履+6恒成立，则称直线尸丘+》为尸(x)和G")的"隔离直

线”.已知函数/(X数,(xw/?),g(x)=/＜0),h(x)=2e]nx,则有下列命题：

X

①y=-g(x)与右⑺有"隔离直线";

②/(X)和g(x)之间存在“隔离直线”，月力的最小值为-4;

③和g(x)之间存在"隔离直线"，且k的取值范围是(Y。];

④和力(x)之间存在唯一的“隔离直线〃y=2&x-e.

其中真命题的序号为.(请填上所有正确命题的序号)

【答案】②④

【分析】利用导数结合“隔离直线”的定义可判断①的正误；利用“隔离直线”的定义求出〃、〃所满足的不等

式，求出左、力的取值范围，可判断②③的正误；求出函数/(X)和〃(“图象的公共点以及公切线方程，

结合利用导数法证明出〃"22〃彳-6、结合“隔离直线”的定义可判断④的正误.

【详解】对于①,构造函数p(x)=/(x)+g(x)=Y+；其中xvO,

则d(x)=2x—=1=与9二—1<0,所以，函数*(外在(-8,0)上单调递减，

X

8(-1)=0,当天<一1时，°(力>0(-1)=0,此时〃x)>-g(x)；

当一l<x<0时，0(x)〈e(—1)=0,此时/(x)v-g(x).

所以，y=-g(x)与M6不存在"隔离直线"，①错误；

对于②，设/(X)和g(力之间的例离直线"为y=H+b,

当XV。时，x2>^,则f之米+方在(-8,0)上恒成立，

设工⑺=/-4i,二次函数工⑴图象的对称轴为直线x=g.

当上之0时，则工(0)=-此0,可得后0；

2

当也V0时，^]=k+4b<Ot则。S一£.

4

不等式依+羟，在(y,0)上恒成立，即-船在(f,0)上恒成立，

XX

若左>0,函数y=:-履在(-8,0)上单调递减，该函数在(-8,0)上无最小值，此时b无解；

若k=0,可得力之,，当XW(YO,0)时，-G(-OO,0),则Z?NO；

XX

若，:<0,则"N」•一Ax,

x

由基本不等式可得，一"二—[(一~^)+京4—2^—•L).%r=_2j—A,

当且仅当工=一左时，等号成立，则力之-2Q.

由上可知，当〃=0时，6=0；

当左<()时，-2yTk<b<--.k=0,〃=()也满足一2々工人4一土,

由上可知—2GV—£,整理可得-64&N/,即可公+环)^。，/.-4<^<0.

由题意可知，12GL产后(一引，所以故②正确；

1/max

对于③，由②可知，-4<k<0,故③错误；

对于④，/(x)=x\h(x)=2e\nx,则/(G)=e,h(&)=2eln&=e,则/(&)=/?(&),

所以，函数〃同、8(力的图象的公共点为(4,e),

r(x)=2x,则/(五)=2五，g'(x)=三，则g'(G)=2G,所以，r(&)=g'(e),

所以，函数/(力、g(x)的图象在公共点(&，«)处有公切线y1=2正卜-巧，即)，=2&-e.

构造函数0](x)=x2-(2\/^・e)=--2\/Jx+e=(x-\/?)>0,所以，f(x)>2\[ex-e.

构造函数02(犬)=2elnx-(2&x-e)=2elnx-2\/?x+e,

则映上工2G2冈GT.

XX

当()<“<血时，d(x)>0,此时函数仍(X)单调递增；

当x>右时，d(x)<0,此时函数@(X)单调递减.

所以，^2(x)<^2(x/ej=O,g|Jg(x)<2>fex-e.

综上可知，/(')和之间存在唯一的“隔离直线"y=2向-e,④正确.

故答案为：@(4).

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法：证明不等式〃”)>g(x)(或〃6<gG))转化为证明〃x)—g(x)>0(或

/(x)-^(x)<0),进而构造辅助函数M"=/(x)-g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据己知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似〃函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(河北省张家口市部分学校2023届高三上学期期中数学试题)已知正项数列｛为｝的前〃项和为S”，其

中4=2,4S“=(4+1『+49亚2,〃£N*).

⑴求｛4｝的通项公式，并判断｛q｝是否是等差数列，说明理由；

1I111

(2)证明：当〃22时，一+——+——+•,•+-----<-.

〃必2%的。“《用3

【答案】⑴4r=2〃二〃>2,数列｛%｝不是等差数列，理由见蟀析;

(2)证明见解析.

【分析】(1)由4s“=(々“+1)2+4得，当〃23时，45„_,=(«„_,+I)2+4,然后两式相减得见-%=2,即数

列｛q｝从第2项起为等差数列,根据45.=(q+1)?+4和4=2得到生=3,即可得到&一q=1*2,数列｛〃”｝

不是等差数列，然后求通项即可；

1111111I1

(2)利用裂项相消的方法求---+----+----+,+-----,即可证明----+----+----++-----

44444%凡〃向%/生生3

22

【详解】⑴由44“=&+if+4得，当心时,4Sn_,=(a„_,+if+4,两式相减得4an=(an+l)-(%+1),

整理得(4+4I)(4—4I—2)=0,

因为数列｛叫为正项数列，所以q+见一产。，则可-%-2=0,即/—-=2,

在4s〃=(可+1)2+4中，令〃=2,则4s2=44+4出=(%+1『+4,解得。2=3或口(舍去)，所以生一《二1,

数列｛《,｝从第2项起为等差数列，公差为2,

2n=l

所以4=2〃_1〃>2,数列｛叫不是等差数列•

(2)当〃22时，(2«-l)(2«+l)=^\2^\~^V\

1

所以当，此2时，—+—+—++----

a\a2。2。3。3。4anan+\2x32(3557

11

3-2(2/?+l)>

111111I

因为酒而>仇所以3—酒旬9印莉+莉+/

18.(2022•湖北•华中师大一附中高三期中)在锐角A8C中,佯.A,B,。所对的功分别为〃，b,C,R

知、6+b2-c2)=2bcs\nA.

⑴求sin,A+cos*的取值范围；

(2)若。是A4边上的一点，且人。：38=1:2,8=2,求工3C面积的最大值.

【答案】⑴借

(2)生

2

【分析】（1）先求出C，再根据三角变换公式化简si/A+co/B.利用余弦函数的性质可求其取值范围;

1o

（2）根据题设可得CD=（CK+（CA,平方后利用基本不等式可求故可求面积的最大值.

【详解】（1）因为+〃-c［）=2Z?csirt4,故+〃-a?-/尸+2abeosC）=2〃csio4,

整理得到：26abcosC=2bcsinA即GacosC=csin/l,

Aft75sinAcosC=sinCsinA♦而A为三角形内角,故sinA>0.

所以JJcosC=sinC,故tanC=、行，而C为锐角三角形内角，故。=石.

sin'A+cos*=1+—(cos23-cos2A)

2

1__2n_

=t1+—cos28-cos2-----B

2](3

1+—I—cos2B+—sin2B|=1+—cosf2B--

2(222{6)

71

0<B<-

因为三角形为锐角三角形，故o2,故

。〈2-八兀62

3

tt1・2.2n7

故：<2B故-正<CQS（23-二故<sin~八Icos"?<

6662I6咚44

(2)由题设可得80=204,故CD-C8=2(C4-C。),

1?

整理得到：CD=-CB+-CA,

•4].24241c4、41

^CD=-CB~+-CA'+-CBCA^4=-a2+-b2+-abx-,

9999992

整理得至ll：36=/+4/?2+lab>4ab+lab=6ab，

当且仅当a=2百,〃=石时等号成立，故("L=6.

故三角形面积的最大值为:x6x^=乎.

19.（2022•黑龙江•哈尔滨三中模拟预测）如图，在三棱柱ABC-A8c中，△/1&C为等边三角形，四边形

AA43为菱形，AC1BC,AC=4,8c=3.

（1）求证：1\C；

⑵线段CG上是否存在一点E，使得平面AqE与平面A8C的夹角的余弦值为，？若存在，求出点E的位置;

4

若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

?

⑵点E存在，CE=^CCt.

【分析】（1）连接43与A4相交于点尸，连接C/,证明AB|_L平面8R7,可得A81_L8C,再利用已知

条件证明平面ABC,可证得4g_LAC.

（2）建立空间直角坐标系，设出点E坐标，利用法向量表示平面八用七与平面ABC的夹角的余弦，求出点E

坐标.

【详解】（1）连接43与AB1相交于点尸，连接C〃，如图所示：

四边形44M6为菱形，团尸为44的中点,有BFJ.AB「

VA8C为等边三角形，有CF1AB1,

B£CFu平面BFC,BFcCF=F,0Aql平面8户C,

BCu平面BFC,

四边形为菱形,团知，昭,

BA,8Cu平面A8C,B%cBC=B,

Aq_L平面ABC,ACu平面ABC,

（2）O,G分别为AC,AB的中点，连接用O,OG,

由（1）可知44_LBC,又4C_Z8C,

A4，ACu平面AgC,AB]AC=A,BC上平面AgC,

OG//BC,OGI平面MC,

△力当。为等边三角形，B.O1AC,

以。为原点，OG,OC，的方向分别为x轴、）'轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,-2,0),C(0,2,0),4(3,2,0),q(O,O,2x/5),

由屈=4瓦，8C=AG,团4(-3,-4,26)，G(-3,O,2X/5),

设CE=2CG(OM/lWl),则OE-OC=2CG，有

OE=2CC,+OC=2(-3,-2,2^)-(0,2,0)=(-32,2-22,2仞)，

国网-342-2426/1),AE=(-3/l,4-2A,2x/3/l),AB,=(0,2,2x/3),

,、(A£：-/2=-32x+(4-2A)y+2^Az=0

设平面4修后的一个法向量〃=(x,y,z,则有J；

|A耳.〃=2)，+2任=0

令z=6，则)'=-3,±Lzf即〃=

x=(『同,

A

平面A8C的一个法向量为081的方向上的单位向量/?/=（0,0,1）,

V3_1

若平面—平面"C的夹角的余弦值为“I则有I|cosn,/n|

4A-4Y4,

+9+3

(44—4、42-42

=36,由0W4W1,0--------=-6,解得a=一.

2A5

2

所以，点£存在，CE=-CCi.

20.（2022♦上海市金山中学高二期末）近两年因为疫情的原因，线上教学越来越普遍了.为了提升同学们的

听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮

签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了.经

过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到.为了能

够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：

①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；

②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分.

请回答如下两个问题：

⑴若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？

（2）记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为〃分的概率为P,（比如：R表示累计得分为1分的概率，P2

表示累计得分为2的概率），求：

①的通项公式：

②｛匕｝的通项公式.

【答案】（1）5.7；

+，

⑵①匕+T=f--T；②Pn=.

W+1I10J"1919I10J

【分析】（1）根据二项分布的期望求解，求得三次监测中完成签到次数的数学期望，再求结果即可；

（2）求得的递推关系，结合等比数列的通项公式，即可求得再结合累加法，以及等比

数列前〃项和公式，即可求得

【详解】（1）设某班同学在3次专注度监测中完成签到的次数为X,由题可知，X~B（3,0.9）,故

E（X）=3xO.9=2.7,

设某班同学3次专注度监测的总得分为y,根据题意y=2X+（3-X）=X+3,故司y）=E（X）+3=5.7.

故某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是5.7.

（2）①由题可知，A=0.1,?=0.9+0.1x0.1=0.91

Io▲9,

根据题意,*♦，故可得“「匕=三优-心）

QIQ

故数列优厂马为首项2-4=0.81=夫，公比为的等比数列，

I（）010

1km2r

则匕+「匕=x

100ViojI10J

②根据上式可得?=（匕一匕T）+（KT-5.2）++（々-々）+4,

109<9

-----1-—x

1919I10J

故优｝的通项公式4*+

21.（2022・重庆•高二阶段练习）已知椭圆过点M惇用，且离心率为《=学

⑴求椭圆的标准方程；

⑵当椭圆C和圆0：/+）,2=］.过点A（〃A（））（/〃＞］）作直线（和心且两直线的斜率之积等于1,（与圆。相

切于点/＞，4与椭圆相交于不同的两点M，N.

（i）求，"的取值范围；

（ii）求OMN面积的最大值.

【答案】（1）］+）1=1

加J行+1］V2

（2）（I）1,---；（II）——

I＞2

【分析】（1）结合椭圆过点",离心率，即。，b,c的关系即可求解;

（2）（D可设4的斜率为A,则乙的斜率为:小工0）,从而得到直线卜4的方程，

K

由《与圆。相切于点可得到*=1+公,

由4与椭圆相交于不同的两点M,N,联立方程组，得至1］（2/+1卜2-4/成2工+2严62-2=0,由△＞（）,即

可求解;

（ii）设〃（内，y）,N（%，兄），结合韦达定理可得X+占，x/2，从而得至U|MN|,

再根据点到直线的距离公式“J得到。到直线4的距离，即可表示例OMN的面积，从而求解.

【详解】（1）由题意।眸彳？a2=2t〃=।,c2=1>

所以椭圆的标准方程为会

(2)(i)由题意，两直线右、6的斜率均存在，且两直线的斜率之积为1，

设4的斜率为3则4的斜率为"AH0),

K

则直线A的方程为y=k(x-ni),即U-y-k〃=0,

直线人的方程为y=J(工一〃。，即x-ky-m=0,

K

4与陵。相切r点〃，:,］=1,化简得病=1+干,

J1+F

y=女(1-〃?)

由・f得，(2公+1)/_为?而x+2k2m2-2=0,

—+y2=l''

2

22222

A=(-4nik)-4(2k+l)(2m^-2)＞0,化简得，1+/(2-也＞0,

由加2=1+公得，3=〃?2一］,代入上式化简得，那一3川+1＜0,

解得匕叵＜〃人必叵，

22

又用＞1,则士至，得［〈,〃＜垦!

22

所以加的取值范围是

(ii)设M&，y),N(w，y2),

4〃店2m2k2-2

由(1)可知〃?2=1+攵2,Xy+x=—;——,X,X.=----——

22/+11-2/+1

4mk2、2.2nrk'-2

又MM=J(l+&2“(芭+')2―41莅1+公)1

乂原点0(0,0)到直线A的距离d=,

.•3v面积s=L且L丝叵叵回

2ViTF2^+1

2222

、份胪叫1+2D叫r-Irnkzmk.

----------------------』的-(西)-，

设，=空则5=&匚77,由1＜〃?〈叵见以及〃P=i+M得

2A»+12

所以当/=!时，QWV面枳取最大值叵.

22

所以.OMN面积的最大值是它.

2

22.(2022・重庆一中高三期中)已知函数/(x)=adnx,g(x)=-x^+er(x>0),(awR,e为自然对数的

g(x),g(x)vf(x)

底数)，=

f(x)tg(x)>f(xy

⑴若/(X)与g(x)在x=l处的切线相互垂直，求a的值并求MM的单调递增区间;