人教A版高二上学期数学（选择性必修2）《4.4 数学归纳法》同步练习题（含答案）

第页人教A版高二上学期数学（选择性必修2）《4.4数学归纳法》同步练习题（含答案）基础巩固1.数学归纳法原理：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当时命题成立；（2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”.完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有都成立，这种证明方法称为数学归纳法.2.数学归纳法中的两个步骤之间的关系：记是一个关于正整数n的命题，用数学归纳法证明的形式改写如下：条件：（1）为；（2）若，为真，则也为真.结论：为真.回归教材①练习1.下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？（1）求证：当时.证明：假设当时，等式成立，即.则当时，左边右边.所以当时，等式也成立.由此得出，对任何，等式都成立.（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是.证明：①当时，左边，右边，等式成立.②假设当时，等式成立，即.则当时上面两式相加并除以2，可得即当时，等式也成立.由①②可知，等差数列的前n项和公式是.2.用数学归纳法证明：首项为，公比为q的等比数列的通项公式是，前n项和公式是.3.用数学归纳法证明：.4.若数列……的前n项和为计算由此推测计算的公式，并用数学归纳法进行证明.5.观察下列两个数列：数列：1，4，9，16，25，36，49，64，81，…；数列：2，4，8，16，32，64，128，256，512，….猜想从第几项起小于，并证明你的结论.6.猜想满足，的数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.②习题1.用数学归纳法证明下列等式：.要验证当时等式成立，其左边的式子应为().A. B. C. D.2.已知数列，满足.计算，和，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.3.已知数列……的前n项和为.计算由此猜想的表达式，并用数学归纳法证明.4.用数学归纳法证明：.5.已知数列，的通项公式分别为，其中.试推断对哪些正整数n成立，证明你的结论.6.已知数列满足.试用数学归纳法证明，并比较与的大小关系.7.证明：能够被6整除.8.一本旧教材上有一个关于正整数n的恒等式?其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了.请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明.9.已知命题：设，为非负实数，和为正实数，若，则.请将该命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.提升训练1.用数学归纳法证明（，）时，第一步应验证不等式()A. B. C. D.2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成()A.假设当时成立，再推出当时成立B.假设当时成立，再推出当时成立C.假设当时成立，再推出当时成立D.假设当时成立，再推出当时成立3.设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是()A.若成立，则成立B.若成立，则当时，均有成立C.若成立，则成立D.若成立，则当时，均有成立4.若命题在时成立，则有时命题成立，现知在时命题成立，则有()A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于的正整数不成立，对大于或等于的正整数都成立C.命题对小于的正整数成立与否不能确定，对大于或等于的正整数都成立D.以上说法都不正确5.用数学归纳法证明不等式时，初始值应等于__________.6.用数学归纳法证明：能被133整除.7.设等差数列的前n项和为，已知，且.（1）求和.（2）是否存在等差数列，对任意的都有成立？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由.参考答案及解析一、基础巩固1.正整数n2.真二、回归教材①练习1.答案：（1）错误在于没有证明第（1）步（2）错误在于证明时，没有应用时的假设解析：（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明时等式成立；（2）有错误，错误在于证明时，没有应用时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程2.答案：证明见解析解析：由题意，等比数列的首项为，公比为q①当时，显然满足；②假设时成立则当时成立由①②可知，对于任意，都有成立.证明：前n项和公式③当时成立；④假设时成立则当时成立由③④可知，对于任意，都有成立.3.答案：证明见解析解析：证明：①当时，左边，右边，左边=右边，等式成立.②假设当（，）时，等式成立即那么当时当时，等式也成立.由数学归纳法基本原理知等式成立.4.答案：猜想，证明见解析解析：；由猜想，下面用数学归纳法加以证明：检验初始值时等式成立，假设时命题成立，证明当时，命题也成立.①时，成立；②假设时，有成立，则当时所以时，猜想也成立故由①，②可知，猜想对都成立.5.答案：猜想从第5项起，证明见解析解析：根据题意可得：数列的通项公式为数列的通项公式为由猜想从第5项起即证当时（1）当时显然猜想成立；（2）假设当（）时猜想成立即当时即即当时，猜想成立由（1）（2）可知，当，时，都有，即.6.答案：，证明见解析解析：由可得得.推测.下面用数学归纳法证明：①当时，左边右边，结论成立.②假设时等式成立有则当时故当时，结论也成立.由①②可知，对任何*都有.②习题1.答案：C解析：当时，左边的式子应为.答案：C.2.答案：见解析解析：由.，同理.对于以上归纳，猜想.证明：(1)当时，猜想成立.(2)假设时，猜想成立，即则当时，所以当时猜想成立.由(1)(2)可知，猜想对任意都成立.3.答案：见解析解析：；.可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为.于是可以猜想.下面我们用数学归纳法证明这个猜想.(1)当时，左边，右边，猜想成立.(2)假设当时猜想成立，即那么所以，当时猜想也成立根据(1)(2)，可知猜想对任何都成立.4.答案：见解析解析：证明：(1)当时，左边，右边，左边=右边，等式成立．(2)假设等式成立，即，则当时，当时等式成立.由(1)(2)可知，等式对任意都成立.5.答案：见解析解析：当时；当时；当时；当时；当时；当时；当时；当时；当时；当时；当时；当时；当吋；当时；当时；当时；当时；当时.猜想，当或时.下面证明时.证明：(1)当时，不等式成立.(2)假设(且)时不等式成立，即则当时.，时，不等式成立.由(1)(2)可知，不等式对任意，都成立.6.答案：见解析解析：先证.证明：(1)当时，不等式成立.(2)假设当时，则当时，若，则，这与矛盾，当时.由(1)(2)可知，不等式对任意都成立.由上述证明知.又.7.答案：见解析解析：证明：(1)当时，能够被6整除，命题成立.(2)假设命题成立，即能够被6整除.那么当时由假设知能够被6整除，而为偶数，也能够被6整除，也能够被6整除，故能够被6整除，当时，命题成立.由(1)(2)可知，命题对任意都成立.8.答案：见解析解析：设?，则恒等式为.当时，左边，右边；当时，左边，右边；当时，左边右边联立，得得猜想.证明：(1)当时，左边，右边，等式成立.(2)假设当时，等式成立，即.那么当时当时，等式成立.由(1)(2)可知，等式对任意的都成立.9.答案：见解析解析：将该命题推广到一般形式：设…为非负实数…为正实数当则.证明：(1)当时左边右边不等式成立.(2)假设当时，不等式成立，即当时成立.那么当时，时(*)时(*)式.(★)又(★)式.当时，等式成立.由(1)(2)可知，命题对任意都成立.三、提升训练1.答案：B解析：由题意得，当时，不等式为，故选B.2.答案：B解析：第二步假设当时成立，再推出当时成立.3.答案：D解析：根据题意，若成立，则（，）成立，即成立，结合，所以当时，均有成立.故选D.4.答案：C解析：由已知可得时命题成立，则有时命题成立，在时命题成立的前提下，可推得时命题也成立，以此类推，可知命题对大于或等于的正整数都成立，但命题对小于的正整数成立与否不能确定.故选C.5.答案：6解析：由题意，当时；当时；当时；当时；当时；当时，所以用数学归纳法证明不等式时，初始值应等于6.6.答案：证明见解析解析：证明：①当时，能被133整除所以当时结论成立.②假设当时