2025年冲刺押题浙大版概率统计卷

2025年冲刺押题浙大版概率统计卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、1.设事件A和B互斥，P(A)=0.3，P(A∪B)=0.5，则P(A|A∪B)=？2.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，则λ=？3.设随机变量X的概率密度函数为f(x)={c(x-1)^2,0<x<2;0,其他}，则c=？二、1.设随机变量X服从标准正态分布，Y=|X|，求Y的概率密度函数f_Y(y)。2.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)={k(x+y),0<y<x<1;0,其他}，求(1)常数k；(2)边缘概率密度函数f_X(x)和f_Y(y)；(3)P(X+Y≤1)。三、1.设随机变量X和Y的期望分别为E(X)=2，E(Y)=3，方差分别为D(X)=1，D(Y)=4，且协方差Cov(X,Y)=-1，求随机变量Z=3X-2Y+5的期望E(Z)和方差D(Z)。2.从装有3个红球和2个白球的袋中不放回地抽取2个球，设抽到红球的个数为X，求X的数学期望E(X)和方差D(X)。四、1.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ未知，σ^2已知。从总体中抽取容量为n的样本X_1,X_2,...,X_n，求样本均值X̄的数学期望E(X̄)和方差D(X̄)。2.设样本X_1,X_2,...,X_5来自总体X，X~N(μ,4)。若X_1,X_2,...,X_5的观测值为3,2,5,4,6，求总体均值μ的置信水平为95%的置信区间（已知σ=2）。五、1.设总体X服从两点分布B(1,p)，其中0<p<1未知。从总体中抽取容量为n的样本X_1,X_2,...,X_n，样本频率为ω=X_1+X_2+...+X_n/n。证明ω是p的无偏估计量。2.为了检验某批零件的平均长度是否等于10cm，抽取了容量为36的样本，测得样本均值为9.8cm，样本标准差为s=0.6cm。假设零件长度服从正态分布。在显著性水平α=0.05下，检验假设H_0:μ=10vsH_1:μ<10。试卷答案一、1.P(A|A∪B)=P(A)/P(A∪B)=0.3/0.5=0.62.P(X=1)=λ^1*e^(-λ)/1!=λe^(-λ),P(X=2)=λ^2*e^(-λ)/2!=λ^2e^(-λ)/2由P(X=1)=P(X=2)得λe^(-λ)=λ^2e^(-λ)/2=>λ=23.由f(x)的非负性和积分性质∫_{-∞}^{+∞}f(x)dx=1得∫_0^2c(x-1)^2dx=1=>c*[(x-1)^3/3]_0^2=1=>c*((2-1)^3/3-(0-1)^3/3)=1=>c*(1/3+1/3)=1=>c*2/3=1=>c=3/2二、1.X~N(0,1)。当X>0时，Y=X；当X<0时，Y=-X。当y>0时，F_Y(y)=P(Y≤y)=P(|X|≤y)=P(-y≤X≤y)=Φ(y)-Φ(-y)=2Φ(y)-1f_Y(y)=dF_Y(y)/dy=2φ(y)=2*(1/sqrt(2π))*e^(-y^2/2)=(2/sqrt(2π))*e^(-y^2/2)当y≤0时，F_Y(y)=0，f_Y(y)=0。故f_Y(y)={(2/sqrt(2π))*e^(-y^2/2),y>0;0,y≤0}2.(1)∫_0^1∫_y^1k(x+y)dydx=1=>k∫_0^1[xy+y^2/2]_y^1dy=1=>k∫_0^1(x-y+y^2/2-y^3/2)dy=1=>k[x^2/2-y^2/2+y^3/6-y^4/8]_0^1=1=>k(1/2-1/2+1/6-1/8)=1=>k*(1/6-1/8)=1=>k*(4-3)/24=1=>k*1/24=1=>k=24(2)f_X(x)=∫_0^x24(x+y)dy=24[xy+y^2/2]_0^x=24(x^2+x^3/2)=12x(2+x)定义域为0<x<1，故f_X(x)={12x(2+x),0<x<1;0,其他}f_Y(y)=∫_y^124(x+y)dx=24[x^2/2+xy]_y^1=24(1/2+1-y^2/2-y^2)=12(3-2y^2)定义域为0<y<1，故f_Y(y)={12(3-2y^2),0<y<1;0,其他}(3)P(X+Y≤1)=∫_0^1∫_0^{1-y}24(x+y)dxdy=24∫_0^1[x^2/2+xy]_0^{1-y}dy=24∫_0^1((1-y)^2/2+y(1-y))dy=12∫_0^1(1-2y+y^2+y-y^2)dy=12∫_0^1(1-y)dy=12[y-y^2/2]_0^1=12(1-1/2)=6三、1.E(Z)=E(3X-2Y+5)=3E(X)-2E(Y)+5=3*2-2*3+5=6-6+5=5D(Z)=D(3X-2Y+5)=9D(X)+4D(Y)+4*Cov(X,Y)=9*1+4*4+4*(-1)=9+16-4=212.X的可能取值为0,1,2。P(X=0)=C(2,2)/C(5,2)=1/10P(X=1)=C(3,1)*C(2,1)/C(5,2)=3*2/10=6/10=3/5P(X=2)=C(3,2)*C(2,0)/C(5,2)=3*1/10=3/10E(X)=0*(1/10)+1*(6/10)+2*(3/10)=0+6/10+6/10=12/10=6/5E(X^2)=0^2*(1/10)+1^2*(6/10)+2^2*(3/10)=0+6/10+12/10=18/10=9/5D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=9/5-(6/5)^2=9/5-36/25=45/25-36/25=9/25或D(X)=0*(1/10-6/5)^2+1*(6/10-6/5)^2+2*(3/10-6/5)^2=0+(6/10-12/10)^2+(6/10-12/10)^2=(-6/10)^2+(-6/10)^2=36/100+36/100=72/100=9/25四、1.E(X̄)=E((1/n)*Σ_{i=1}^nX_i)=(1/n)*Σ_{i=1}^nE(X_i)=(1/n)*n*μ=μD(X̄)=D((1/n)*Σ_{i=1}^nX_i)=(1/n^2)*Σ_{i=1}^nD(X_i)=(1/n^2)*n*σ^2=σ^2/n2.检验假设H_0:μ=10vsH_1:μ<10。选择检验统计量T=(X̄-μ_0)/(σ/sqrt(n))=(X̄-10)/(2/sqrt(36))=(X̄-10)/(2/6)=(X̄-10)/(1/3)=3(X̄-10)当H_0为真时，T~N(0,1)。拒绝域为{T≤t_{α,df}}，其中df=n-1=36-1=35，α=0.05。查标准正态分布表得t_{0.05,35}