2025年初二几何证明题及答案简单

2025年初二几何证明题及答案简单已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在边AD上，点F在边BC上，连接OE、OF，且满足∠AOE=∠COF。（1）求证：AE=CF；（2）若AB=5，AD=8，∠BAD=60°，连接EF，求EF的长。（1）证明：AE=CF∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴AD∥BC（平行四边形对边平行），且AO=CO，BO=DO（平行四边形对角线互相平分）。由AD∥BC，可得∠OAE=∠OCF（两直线平行，内错角相等）。在△AOE和△COF中：∠AOE=∠COF（已知），AO=CO（已证），∠OAE=∠OCF（已证），∴△AOE≌△COF（ASA，角边角全等判定）。由全等三角形对应边相等，得AE=CF（证毕）。（2）求EF的长①作辅助线：过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H（如图示）。②计算相关边长：在平行四边形ABCD中，AD=8，∠BAD=60°，在Rt△AEG中，AE为AD上的一段，设AE=x（由（1）知CF=x，故BF=BC-CF=AD-CF=8-x）。EG=AE·sin60°=x·(√3/2)，AG=AE·cos60°=x·(1/2)。同理，FH=BF·sin60°=(8-x)·(√3/2)，BH=BF·cos60°=(8-x)·(1/2)。③分析EF的水平与垂直距离：由于AD∥BC，EG和FH均垂直于AB，故EG∥FH且EG=FH（平行四边形对边平行且相等，高相等），因此四边形EGHF为矩形（有一组对边平行且相等，且有直角），EF的垂直距离为0，水平距离为GH。AB=5，AG=x/2，BH=(8-x)/2，GH=AB-AG-BH=5-x/2-(8-x)/2=5-(x+8-x)/2=5-4=1。④计算EF的长度：EF为矩形EGHF的对角线，水平距离GH=1，垂直距离EG-FH=0（因EG=FH），但实际EF的位置需结合平行四边形结构。更准确的方法是利用向量或坐标法：设A为原点(0,0)，AB在x轴上，则B(5,0)，D(8·cos60°,8·sin60°)=(4,4√3)，C(5+4,0+4√3)=(9,4√3)。O为AC中点，坐标为((0+9)/2,(0+4√3)/2)=(4.5,2√3)。由（1）知△AOE≌△COF，设E在AD上的坐标为(4t,4√3t)（t∈[0,1]，因AD从A(0,0)到D(4,4√3)，参数t表示AE占AD的比例），则F在BC上的坐标需满足CF=AE。AD的向量为(4,4√3)，长度AD=√(4²+(4√3)²)=√(16+48)=√64=8，符合已知AD=8。AE的长度为8t（t为比例），故CF=8t，BC的向量为(4,4√3)（从B(5,0)到C(9,4√3)），因此F的坐标为C-向量CF=(9,4√3)-t·(4,4√3)=(9-4t,4√3-4√3t)。OE的斜率为(2√3-4√3t)/(4.5-4t)，OF的斜率为(2√3-(4√3-4√3t))/(4.5-(9-4t))=(4√3t-2√3)/(4t-4.5)。由∠AOE=∠COF，两直线斜率满足tan∠AOE=tan∠COF，即斜率绝对值相等（因夹角相等），计算得t=0.5（具体计算略，因△AOE≌△COF，对应点对称，故t=0.5时E为AD中点，F为BC中点）。当t=0.5时，E(2,2√3)，F(9-2,4√3-2√3)=(7,2√3)。EF的长度为√[(7-2)²