辽宁省抚顺市六校2026届高三上学期期末考试 数学

辽宁省抚顺市六校协作体2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题一、单选题1．已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．2．若复数为纯虚数，则实数（

）A．3 B．5 C． D．3．已知，则（

）A． B． C． D．4．函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．5．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知函数，若，则（

）A． B． C． D．7．已知直线与轴、轴分别交于两点，与圆交于两点，且，则（

）A．4 B．3 C．2 D．18．现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是（

）A．2千克 B．3千克 C．5千克 D．7千克二、多选题9．某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，则（

）

A．B．C．D．设为内一点（含边界），的最小值为610．若为锐角，，则的值可能为（

）A． B． C． D．11．已知函数是定义在上的可导函数，下列结论正确的是（

）A．若，则是的极值点B．若在上单调递增，则函数在上单调递减C．若函数在上单调递增，则在上单调递减D．若在上单调递增，在上单调递减，则函数在上单调递增，在上单调递减三、填空题12．若函数在上单调递增，则．13．已知函数没有零点，则．14．已知直线与平面所成的角为，直线与直线垂直，则直线与平面所成角的取值范围为．四、解答题15．已知圆，直线过定点．(1)求点的坐标；(2)若直线与圆相切，求的值；(3)若直线与圆交于点，且，求的值．16．如图，在四面体中，平面，是等边三角形，，是的中点．

(1)证明：．(2)求二面角的正弦值．17．如图，在边长为2的等边中，为内一点，．(1)若，求的面积；(2)若，求的值．18．已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和；(3)若，求的取值范围．19．（1）求函数的单调递增区间；（2）若存在使得对任意，都有，求的最小值；（3）已知，且，求的最值．

参考答案1．B【详解】由题可得，又全集，所以.故选：B2．D【详解】，由题意可知，则，当时，为纯虚数.故选：D.3．D【详解】当时，不等式可化为，此时，，，当时，不等式可化为，此时，，，故A，B，C错误，D正确.故选：D.4．A【详解】函数的定义域为，，，所以函数为偶函数，故排除BC，令，，即函数的值域为，故排除D.故选：A.5．D【详解】当时，可得，或，当时，，当时，，因此由不一定能推出.当时，可得，则有，因此由不一定能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D6．A【详解】作出函数的图象，如图，由图可知，若，则分别在轴的负半轴与正半轴上，所以，所以，解得.故选：A.7．C【详解】易知，所以，且，圆的半径为，则到的距离为，所以，由知.故选：C8．C【详解】依题意设十个盒子的质量构成的等差数列为，首项为，公差为（），则这十个盒子的质量分别为：，则前三位盒子总质量为：，后三位盒子总质量为：，依题意可得：，化简得：，，即，由，且，所以，有，解得，又因为是关于的减函数，当取最大值时，取得最小值，.故选：C.9．ABD【详解】对于A，延长交于点，由题意可得，，所以四边形为平行四边形，而，为等边三角形，四边形为三个全等的等腰梯形，则，，所以，故A正确；对于B，由于，则，所以，故B正确；

对于C，由B知，，且为等边三角形，边长为4，所以，故C错误；对于D，由，因为表示在的投影，显然，当位于点时，投影最小，由于，，则，所以，则，即的最小值为6，故D正确.故选：ABD10．CD【详解】由，则或，即或，由于不可能为锐角，则，当为奇数时，由，因为，则，所以，则；当为偶数时，由，即，因为，则，所以，则.综上所述，的值可能为，.故选：CD11．BCD【详解】若函数为常数函数，满足，但不是的极值点，故A错误；因为在上单调递增，所以当时，当时，，所以，所以，所以函数在上单调递减，故B正确；易得函数，函数在上单调递增，则，则当时，，，则，所以在上单调递减，故C正确；若在上单调递增，在上单调递减，则时，时，，当时，则，则，所以函数在上单调递增，由选项C得函数在上单调递减，故D正确.故选：BCD12．【详解】由题意得，，解得，函数的单调递增区间为，又在上单调递增，，，当时，不等式，解得.故答案为：.13．1【详解】函数（）没有零点，即方程无解，整理得，取对数得，当时，，由，得，方程有解，不符合题意；当时，方程变为，即，方程无解，因此函数没有零点.综上，.故答案为：114．【详解】如图，在直三棱柱中，，平面平面，平面平面，直线在平面内的投影是直线，则直线与平面所成的角都是，由平面，平面，得，而，平面，则平面，不妨令直线为直线，平面为平面，直线在平面内，，此时满足直线与平面所成的角为，当与平行或重合时，直线与平面所成的角取得最大值，最大值为；当与平行或重合时，直线与平面所成的角取得最小值，最小值为，所以直线与平面所成角的取值范围为.故答案为：15．(1)；(2)；(3).【详解】（1）因为直线的方程为，即对任意的实数恒成立，所以，解得，所以直线过定点，即点的坐标为．（2）如图，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为半径2，即，解得.（3）如图，取的中点，由圆的性质知.在中，由勾股定理知，即，解得，即圆心到直线的距离为，所以，解得.16．(1)证明见解析；(2).【详解】（1）在四面体中，由平面，平面，得，由是等边边的中点得，而平面，则平面，而平面，所以.（2）不妨令，由平面，平面，得，过点作平面，则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，取，得，设平面的法向量为，则，取，得，因此，，所以二面角的正弦值为.

17．(1)(2)【详解】（1）在中，由余弦定理得，即，∴，即或（舍去）∴.（2）设，在正三角形中，∴，∴，在中，由正弦定理，即，∴，在中，，由正弦定理，即，∴，即，∴，即.即.18．(1)(2)(3)【详解】（1）由，当时，，解得；当时，，整理得，即故数列是首项为、公比为的等比数列，所以因此（2）由.，（3）由（2）知，由，知易知单调递减，所以，而单调递增，所以，，只需，即.故的取值范围是.19．（1）；（2）；（3）最大值为，最小值为.【详解】（1）.令，得，解得.故的单调递增区间为.（2），若，则.若，则，所以的最大值的最小值为0，即的最小