寒假作业15 勾股定理（知识预习+强化训练）（教师版）-人教版(2024)八上

勾股定理（5个知识点+5种题型+强化训练）知识导图知识清单知识点1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．知识点2．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．知识点3．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．知识点4．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…知识点5．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．知识复习一．勾股定理（共9小题）1．（2023秋•高安市期末）已知的边，周长为16，当为等腰三角形时，则边的长度是6或4或5．【分析】分为腰和底两种情况，分别根据等腰三角形的定义即可解答．【解答】解：当为腰时，若为腰，则；若为底，则；当为底时，则，综上，的长度是：6或4或5．故答案为：6或4或5．【点评】本题主要考查了等腰三角形的定义，掌握分类讨论思想是解题的关键．2．（2024•宝安区校级开学）如图，中，，平分，交于点，延长至点，使，连接．（1）求证：；（2）连接，若，，求的面积．【分析】（1）证出，则可得出结论；（2）求出，由勾股定理求出，根据三角形面积公式可得出答案．【解答】（1）证明：平分，，，，，，，，；（2）解：，平分，，，，，，，，，，，，．【点评】本题考查了平行线的判定，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．3．（2023秋•漳州期末）如图，在中，，若，，则的长是A．1 B． C．2 D．【分析】直接根据勾股定理列式计算即可．【解答】解：，，，，即的长是，故选：．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．4．（2023秋•姜堰区期末）如图，在平面直角坐标系中，点、，点在轴的负半轴上，连接，．若，是的高，则点的坐标是．【分析】先根据勾股定理求出，然后证明，得出，，再根据等面积法求出，进而求出，即可解答．【解答】解：过点作，、，，，设，则，，解得，，是的高，，，，，，，，，，，，，点的坐标为；故答案为：．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键．5．（2023秋•新乡期末）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为．（1）8；（2）求斜边上的高线长；（3）①当在上时，的长为，的取值范围是；（用含的代数式表示）②若点在的平分线上，则的值为．【分析】（1）利用股定理即可求解；（2）过点作于点，利用面积法求解即可；（3）①根据点的运动路径及速度表示出即可解答；②过点作于，利用角平分线的性质可知，再证，推出，最后利用股定理解即可．【解答】解：（1）在中，，，，．故答案为：8．（2）如图所示，过点作于点，，即，斜边上的高线长为．（3）①点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，，当在上时，．，即，．故答案为：，；②当点在的角平分线上时，过点作于，如图所示，平分，，，．又，．，则．由（2）易知，，．在中，即，解得．点在的平分线上时，．故答案为：．【点评】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键．6．（2023秋•兴平市期末）如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为A．6 B． C．5 D．【分析】由勾股定理得，再由求出，即可解决问题．【解答】解：在中，由勾股定理得：，即，，，由图形可知，阴影部分的面积，阴影部分的面积，故选：．【点评】本题考查了勾股定理以及正方形的面积，由勾股定理得出是解题的关键．7．（2023秋•海陵区校级期末）在中，，，，则7.5．【分析】设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设，则，在中，，由勾股定理得：，即，解得：，即，故答案为：7.5．【点评】本题考查了勾股定理，根据勾股定理列出方程是解题的关键．8．（2024•碑林区校级开学）已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以每秒1个单位长度的速度移动，设运动的时间为秒．（1）4，边上的高；（2）当为直角三角形时，求的值．【分析】（1）由勾股定理可得，再利用面积法即可求得边上的高；（2）由于为锐角，分两种情况讨论，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）在中，，，，，，，故答案为：4，；（2）由题意得：，在中，为锐角，当时，，；当时，如图，则，在中，，在中，，，解得：；综上所述，的值为4或．【点评】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．9．（2023秋•碑林区校级期末）如图，在中，过点作的垂线交的延长线于点，已知，，，则的长度为A．15 B．16 C．18 D．20【分析】先利用勾股定理求解的长，即可得的长，再利用勾股定理可求解的长．【解答】解：，，在中，，，，，，在中，，故选：．【点评】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．二．勾股定理的证明（共8小题）10．（2023秋•高青县期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则正方形的面积为A．4 B．8 C．12 D．16【分析】根据勾股定理求出另一条直角边，利用中间小正方形的面积大正方形的面积个全等的直角三角形的面积，求出即可．【解答】解：直角三角形较短的直角边为，所以，正方形的面积．故选：．【点评】本题考查勾股定理的应用，解答时需要通过图形获取信息解题．11．（2023秋•黔江区期末）我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是和，那么的值为49．【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方25，也就是两条直角边的平方和是25，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即．根据完全平方公式即可求解．【解答】解：由于大正方形的面积25，小正方形的面积是1，则四个直角三角形的面积和是，即，即，，则．故答案为：49．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是注意完全平方公式的展开：，还要注意图形的面积和，之间的关系．12．（2023秋•桥西区期末）课堂上，王老师给出如图所示甲、乙两个图形，能利用面积验证勾股定理的是A．甲行、乙不行 B．甲不行、乙行 C．甲、乙都行 D．甲、乙都不行【分析】图甲利用大正方形面积减去四周四个直角三角形面积可以表示出中间小正方形的面积，根据正方形面积公式，用边长可以直接表示出中间小正方形面积，从而验证勾股定理；图乙用直角梯形面积减去两个直角三角形面积可以表示中间直角三角形面积，利用三角形面积公式可以直接表示出面积，从而验证勾股定理．【解答】解：图甲中大正方形的面积为：，四个直角三角形的面积和为：，则中间小正方形的面积为：，中间小正方形边长为，面积为，，图甲能利用面积验证勾股定理；图乙中直角梯形的面积为：，两个直角三角形的面积和为：，中间等腰直角三角形的面积为：，中间等腰直角三角形的两条直角边为，中间等腰直角三角形的面积为，，即，图乙能利用面积验证勾股定理；综上分析可知，甲、乙都行，故正确．故选：．【点评】本题主要考查了勾股定理的图形验证，解题的关键是熟练掌握正方形面积公式和梯形面积公式，以及三角形面积公式．13．（2023秋•碑林区校级期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理．（2）如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度；（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值．【分析】（1）根据大正方形的面积的两种表示方法求解即可；（2）根据直角三角形的面积公式求解即可；（3）根据小正方形的为1得出，再结合即可求解．【解答】解：（1）如图1，大正方形的面积，整理得，；（2）在中，，，，，，；（3）大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，，，，，，即的值为25．【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形的面积的两种表示方法是解题的关键．14．（2023秋•射洪市期末）勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”长方形，则该长方形的面积为A．120 B．110 C．100 D．90【分析】延长交于点，延长交于点，证，得，同理，得，再证矩形是正方形，边长，则，，即可解决问题．【解答】解：延长交于点，延长交于点，如图2所示：则四边形是矩形，，四边形是正方形，，，，又中，，，在和中，，，，同理：，，，即，矩形是正方形，边长，，，长方形的面积为：，故选：．【点评】本题考查了勾股定理、矩形的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键．15．（2023秋•东明县期末）数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，则小正方形的面积为4．【分析】根据勾股定理求得直角三角形较长的直角边，两直角边的长的差即为小正方形的边长，从而可得答案．【解答】解：直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，较长直角边长为，小正方形的边长为，面积为．故答案为：4．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．16．（2023•海淀区校级开学）将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，观察下图，你能写出的等式是．【分析】用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案．【解答】解：大正方形的边长为，因此面积可以表示为，大正方形的面积可以用小正方形的面积加四周四个直角三角形的面积，因此大正方形面积可以表示为，因此，即，．故答案为：．【点评】本题主要考查了勾股定理的几何证明，解题的关键是用两种方法表示大正方形的面积．17．（2023秋•镇江期末）【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为，，为斜边），由勾股定理：，得，则，得到：．从而得到了勾股定理的推论：已知直角三角形三边长为，，为斜边），则【问题解决】如图2，已知的三边长分别为，如何计算的面积？据记载，古人是这样计算的：作边上的高．以，的长为斜边和直角边作（如图，其中，．（1）用古人的方法计算的值，完成下面的填空：．（2）试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成面积的计算过程；（3）你还有其他计算的面积的方法吗？写出解答过程．【分析】（1）由题中勾股定理的推论将空格补充完整即可；（2）根据材料中勾股定理的推论，完成面积的计算过程即可；（3）设，，根据勾股定理列出方程求出的值，最后用三角形面积公式求解即可．【解答】解：（1），故答案为：，，，，16；（2）在中，由勾股定理的推论，可知：．，，，，在中，，，；（3）如图2，设，，由勾股定理，得，，解得，，，．【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．三．勾股定理的逆定理（共8小题）18．（2023秋•海陵区校级期末）已知中，、、分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是A． B． C． D．【分析】依次判断出四个选项中三角形的形状即可．【解答】解：当时，因为，所以．所以是直角三角形．故选项不符合题意；因为，所以，即．所以是直角三角形．故选项不符合题意；因为，所以，．又因为，所以，则，所以是钝角三角形．故选项符合题意；因为，则令，，，所以，即，所以是直角三角形．故选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，熟知勾股定理的逆定理及三角形内角和定理是解题的关键．19．（2023秋•钟山区期末）下列各组数分别为一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是A．2，3，4 B．6，7，8 C．6，8，10 D．10，12，13【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．【解答】解：、，以2，3，4为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；、，以6，7，8为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；、，以6，8，10为边能构成直角三角形，故本选项符合题意；、，以10，12，13为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，即，那么这个三角形是直角三角形．20．（2023秋•仪征市期末）在中，、、对边是、、，哪个条件不能判断是直角三角形A． B． C． D．【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：、，，，，是直角三角形，故不符合题意；、，，，是直角三角形，故不符合题意；、，，，不是直角三角形，故符合题意；、，是直角三角形，故不符合题意；故选：．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．21．（2023秋•广平县期末）下列各组数中，能作为直角三角形边长的是A．1，2，3 B．6，7，8 C．1，1， D．5，12，13【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；、，能构成直角三角形，故本选项符合题意．故选：．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．22．（2023秋•邹平市期末）若一个三角形的三边长为3、、5，则使此三角形是直角三角形的的值是4或．【分析】由于直角三角形的斜边不能确定，故应分5是斜边或直角边两种情况进行讨论．【解答】解：当5是直角三角形的斜边时，，解得；当5是直角三角形的直角边时，，解得．故使此三角形是直角三角形的的值是4或．故答案为：4或．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．23．（2023秋•峡江县期末）先阅读下列一段文字，再回答问题．已知平面内两点，，，，这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或．（1）已知点，，试求，两点间的距离；（2）已知点，所在的直线平行于轴，点的纵坐标为2，，两点间的距离为4，求点的纵坐标；（3）已知各顶点的坐标分别为，，，你能判断的形状吗？说明理由．【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算；（2）由于横坐标相同，所以、两点间的距离等于纵坐标差的绝对值；（3）先根据两点间的距离公式计算出、、，然后根据勾股定理的逆定理进行判断．【解答】解：（1），即，两点间的距离为13．（2）点，所在的直线平行于轴，点的纵坐标为2，，两点间的距离为4，的纵坐标为或者．即点的纵坐标为6或．（3）为等腰直角三角形．理由如下：，，，，且，为等腰直角三角形．【点评】本题考查两点间的距离公式及勾股定理，熟记以上知识是解题的关键．24．（2023秋•遂川县期末）如图，在四边形中，，平分，，为上一点，，，求证：．【分析】根据勾股定理的逆定理证明．再根据角平分线的性质即可得出结论．【解答】证明：，，，，是直角三角形，，又，平分，．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理及角平分线性质的应用，掌握角平分线的性质是解题的关键．25．（2023秋•滨州期末）已知中，，，．（1）求证：是直角三角形；（2）当时，求，满足的关系式．【分析】（1）由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可；（2）根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1），，，．．是为直角三角形；（2），，．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．四．勾股数（共7小题）26．（2023秋•盐都区期末）观察下面几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；请你写出以上规律的第④组勾股数：9，40，41．【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．【解答】解：①，，；②，，；③，，；④，，；故答案为：9，40，41．【点评】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．27．（2023春•邻水县期末）观察下列各组勾股数有哪些规律：3，4，55，12，137，24，259，40，41，，请解答：（1）当时，求，的值；（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．【分析】（1）观察各组勾股数可得，当时，再结合即可求解；（2）只需求出，看结果是否等于即可求解．【解答】解：（1）由，，，得．解得，；（2）是勾股数．理由：，又，，，220，221是勾股数．【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是发现各组勾股数间的规律．28．（2023秋•高邮市期末）下列各组数中是勾股数的是A．，， B．1，2，3 C．0.3，0.4，0.5 D．9，40，41【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．【解答】解：、，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意；、，，2，3不是勾股数，不符合题意；、0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数，不符合题意；、，、40、41是勾股数，符合题意．故选：．【点评】此题考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数．29．（2023秋•衡阳期末）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解，，通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，4，，，12，，，24，，．分析上面勾股数组可以发现，，，，分析上面规律，第5个勾股数组为，60，．【分析】由勾股数组：，4，，，12，，，24，中，，，，可得第5组勾股数中间的数为：，进而得出，60，．【解答】解：由勾股数组：，4，，，12，，，24，中，，，，可得第4组勾股数中间的数为，即勾股数为，40，；第5组勾股数中间的数为：，即，60，，故答案为：，60，．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理逆定理．30．（2023秋•翠屏区期末）若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是A．13 B． C．13或 D．不确定【分析】设第三个数为，根据勾股定理的逆定理：①，②．再解即可．【解答】解：设第三个数为，是一组勾股数，①，解得：（不合题意，舍去），②，解得：，则第三个勾股数是13．故选：．【点评】本题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；31．（2023春•岑溪市期末）有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是15．【分析】设第三个数为，根据勾股定理的逆定理得出①，②，求出的值后根据勾股数必须是正整数即可求解．【解答】解：设第三个数为，是一组勾股数，①，解得：，②，解得：（不合题意，舍去），故答案为：15．【点评】本题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；32．（2023春•遵义期中）以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，4，，类似地，还可得到下列勾股数组：，6，，，8，，，10，等．（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；（2）用含且为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．【分析】（1）根据给出的四组数以及勾股数的定义即可得出答案；（2）根据给出的四组数以及勾股数的定义即可得出答案．【解答】解：（1）上述四组勾股数组的规律是：，，，，即，所以第六组勾股数为14，48，50．（2）勾股数为，，，证明如下：．【点评】此题考查了勾股数，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．五．勾股定理的应用（共8小题）33．（2023秋•鹤壁期末）如图，小华爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积以便估算产量．小明测得，，，，又已知，求这块土地的面积．【分析】先把解四边形的问题转化成解三角形的问题，再用勾股定理解答．【解答】解：连接，，，则，因此，（平方米），答：这块土地的面积为144平方米．【点评】此题考查勾股定理，解答此题的关键是解四边形的问题转化成解三角形的问题再解答．34．（2023秋•环江县期末）如图，货车车高，卸货时后面挡板折落在地面处，已知点、、在一条直线上，，经过测量，则．【分析】设，则，在△中利用勾股定理列出方程，进而解答即可．【解答】解：由题意得，，，设，则，在△中，，即：，解得：．答：的长为．故答案为：1.5．【点评】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键．35．（2023秋•邹平市期末）如图，钓鱼竿的长为5.4米，露在水面上的鱼线长为1.8米．当钓鱼者把钓鱼竿转到的位置时，露在水面上的鱼线长为4.2米，则的长为A．米 B．米 C．米 D．米【分析】直接利用勾股定理求出、的长，即可得出答案．【解答】解：由题意可知，米，米，米，在和△中，由勾股定理得：（米，（米，（米，故选：．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出和的长是解题的关键．36．（2023秋•淅川县期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为A． B． C． D．【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解．【解答】解：依题意，，，在中，，，，在中，，故选：．【点评】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．37．（2023秋•岳麓区校级期末）如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端处，发现此时绳子底端距离打结处，则旗杆的高度为8．【分析】根据旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设出旗杆的高度，再利用勾股定理解答即可．【解答】解：设旗杆的高为米，则绳子长为米，由勾股定理得，，解得．答：旗杆的高度是8米故答案为：8【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．38．（2023秋•翠屏区期末）在一次“通关”游戏中，其中一个游戏是每名队员必须从如图所示的平台处荡秋千到平台处，平台距地面，垂直于地面，点为秋千静止时在上的位置，平台、到的水平距离、分别为和，于点，于点，且．（1）求秋千的长度；（2）求秋千离地面的最小距离．【分析】（1）由题意可知，，由同角的余角相等得到，根据即可证明，得到，根据勾股定理即可求得；（2）由题意知，，，即可得到答案．【解答】解：（1）由题意可知，，，．，在和中，，，，在中，；（2）由题意知，，，，秋千离地面的最小距离为．【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．39．（2023秋•漳州期末）某医院为了方便病人进出，将门诊大厅的门改为自动感应门，感应门上方装有一个感应范围2.6米的感应器．如图，一个身高1.6米的病人走到离感应门2.4米处时，感应门刚好自动打开，请求出感应器离地面的高度．【分析】过点作交于点，根据勾股定理求出的长，即可解决问题．【解答】解：如图，过点作交于点，则，米，米，在中，米，由勾股定理得：（米，（米，答：感应器离地面的高度为2.6米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长是解题的关键．40．（2023秋•金东区期末）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一颗杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中．”若赤石标记为点“”，杉树标记为点“”，洞穴标记为点“”．（1）根据这段记载，应用数学知识描述点与线段之间的关系．（2）若在藏宝图上建立适当的直角坐标系，点、的坐标分别为、，点到线段之间的距离为5（单位长度），求出洞穴到赤石的距离．【分析】（1）由题意即可得出结论；（2）由题意画出图形，求出，再由勾股定理求出的长即可．【解答】解：（1）由题意可知，点在线段的垂直平分线上；（2）如图，设线段的垂直平分线与线段相交于点，连接，则，点、的坐标分别为、，，，，，答：洞穴到赤石的距离为．【点评】本题考查了勾股定理的应用、坐标与图形性质以及线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．强化训练一、单选题1．（2023下·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，一棵大树在离地面处折断，树的顶端落在离树干底部处，那么这棵树折断部分的长度是（

）

A．6 B．8 C．10 D．16【答案】C【分析】根据勾股定理即可求解；【详解】解：根据题意，这棵树折断部分的长度是为，故选：C．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意正确计算是解题的关键．2．（2023下·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）等腰三角形腰长为，底边长为，则底边上的高为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等腰三角形底边高线和中线重合的性质，则，可以根据勾股定理计算底边的高．【详解】解：如图，在中，，，

则为边上的中线，即为中点，，在直角中．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，考查了等腰三角形底边高线、中线重合的性质，本题中根据勾股定理正确计算是解题的关键．3．（2024下·八年级单元测试）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（

）

A．3 B．4 C．6 D．12【答案】C【分析】本题考查了折叠问题，三角形的面积，勾股定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．首先根据折叠的性质得到，设，则，然后在中利用勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，∴，设，则，在中，，∴，解得：，∴的面积为．故选：C．4．（2023上·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，则图中线段长度为的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理求出每条线段的长即可．【详解】解：由勾股定理可得：，，，，，故长度为是，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．（2024·全国·八年级竞赛）如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点（长的四等分点）处有一只壁虎．在点（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查勾股定理的应用，两点之间线段最短，长方体的展开图．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．分类讨论：①将正面和右面展开，②将正面和上面展开，分别结合勾股定理求出的长，再比较即可．【详解】解：分类讨论：①将正面和右面展开，过点B作向底面的垂线，垂足为C，∴为直角三角形，且，，∴，∴此时壁虎爬到蚊子处的最短路程为；②将正面和上面展开，如图，∴A到B的水平距离为6，A到B的垂直距离为，∴，∴此时壁虎爬到蚊子处的最短路程为．∵，∴壁虎爬到蚊子处的最短路程为．故选A．6．（2023下·广西贺州·八年级统考期中）如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（

）．

A．3米 B．4米 C．5米 D．7米【答案】D【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度（米），地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是（米）．故选：D．【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．7．（2023下·广东中山·八年级统考期末）如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上的点B处测得，，则AC的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方计算判断．【详解】解：如图，中，故选：A．【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理描述的三边关系是解题的关键．8．（2024下·全国·八年级假期作业）如图，一轮船以每小时的速度从港口出发向西北方向航行，另一轮船以每小时的速度同时从港口出发向东北方向航行．离开港口后，两轮船相距（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】略9．（2023下·河南漯河·八年级校考阶段练习）一个圆桶底面直径为10cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（

）A．20cm B．124cm C．26cm D．30cm【答案】C【分析】当桶内所能容下的木棒最长时，即为木棒为斜边，桶的底面直径及桶高构成一个直角三角形，根据勾股定理求解即可．【详解】根据勾股定理得，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，准确理解题意，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（

）A．1 B．5 C． D．【答案】D【分析】本题考查的是两点间距离公式，掌握“由两点的坐标求解两点之间的距离”是解本题的关键．【详解】解：在平面直角坐标系中，点到原点的距离是：．故选：D．二、填空题11．（2023下·河南信阳·八年级统考期中）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么．

【答案】20【分析】由题意可知:大正方形的边长为，，根据勾股定理和正方形的面积以及题目给出的已知数据即可求的长度．【详解】解：由题意可知：大正方形的边长为：，直角三角形边长分别为，根据勾股定理可得：，又，可得：，，．故答案为：20【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用几何直观和图形面积，本题属于基础题形．12．（2023下·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米．另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米．

【答案】10【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】如图所示，为树，且米，米，为两树距离8米，过作于E，则，在直角三角形中，．答：小鸟至少要飞10米．故答案为：10．

【点睛】本题主要考查了勾股定理的的实际运用和两点之间，线段最短等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．13．（2023下·重庆开州·八年级校联考期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．【答案】49【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练运用勾股定理进行面积的转换是解题关键．根据正方形的面积公式以及勾股定理，发现四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积即可解答．【详解】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B，C，D的面积之和．故答案为：49．14．（2023下·河南漯河·八年级统考期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是．

【答案】64【分析】由勾股定理，得，于是，代入求解即可.【详解】解：连接，由题意得：，，，，∵，∴.∴.∴.

故答案为：64．【点睛】本题考查正方形面积计算，勾股定理；由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键．15．（2024·全国·八年级竞赛）如图，长方形恰好被分割成8个完全相同的小正方形，现将外围的交点从1号到12号按顺序进行编号，点、分别在2号、6号和10号交点上，如果按顺时针方向同时移动三点，各点每次只移动到下一个交点，这样绕长方形外围一周回到原先的位置，在这个过程中，有次成为直角三角形．【答案】6【分析】根据点的移动规规律、勾股定理及其逆定理即可得到答案，此题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理内容是解题的关键．【详解】解：共有六次情况成为直角三角形，如图1到图6，如图1，∵，∴，∴是直角三角形，同理可证其它5个三角形都是直角三角形，即共有6次成为直角三角形，故答案为：616．（2022上·陕西西安·八年级统考期末）已知一个三角形的三边长分别为，，．则这个三角形的面积为．【答案】【分析】根据题目中的数据和勾股定理的逆定理，可以判断该三角形的形状，然后即可求得该三角形的面积；【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为，，，因为,∴该三角形为直角三角形，∴这个三角形的面积为：，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、三角形的面积，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．17．（2023下·广西南宁·八年级校考阶段练习）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”小明同学根据原文题意，画出示意图如图所示．已知：秋千静止时，踏板离地1尺，将它推送2步（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的曾记一样高，秋千的绳索始终拉得很直．若小明同学根据题意计算出秋千的绳索长为14.5尺，则文中“两步”是尺．

【答案】10【分析】由题意可知，，，从而可求出，进而可求出．再根据勾股定理求出，即得出．【详解】解：由题意可知，，，∴，∴．在中，，∴，即文中“两步”是10尺．故答案为：10．【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键是理解题意，构造直角三角形，利用勾股定理求解．18．（2023下·云南昆明·八年级统考期中）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端，如果梯子向外平移，那么梯子的顶端将下滑．

【答案】/2米【分析】根据直角三角形的勾股定理求出长度即可得到答案．【详解】解：由题意知，，，，在中，，在中，，顶端将下滑，故答案为：．

【点睛】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不变的等量关系求解是解题的关键．三、解答题19．（2024下·八年级课前预习）若的三边长分别是a、b、c，且a、b、c满足，判断的形状．【答案】直角三角形【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．将变形为，根据勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】解：∵，∴，即，∴为直角三角形．20．（2023下·湖北十堰·八年级校考期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？

【答案】铺满这块空地共需花费元【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形面积，勾股定理逆定理的应用，解答此题的关键是求出区域面积．连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理求出，求出空地面积，即可求出答案．【详解】解：连接，如图所示：

在Rt中，，米，米，由勾股定理得：米，∵，，∴，∴，∴是直角三角形，该空地面积为：平方米，即铺满这块空地共需花费元．.21．（2023下·河北沧州·八年级校考阶段练习）今日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240千米的B处，以每时12千米的速度向北偏东60度方向移动，距沙尘暴中心150千米的范围为受影响区域．

(1)A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？(2)若A城受这次沙尘暴的影响，遭受影响的时间有多长？【答案】(1)受影响，理由见解析(2)15小时【分析】（1）过点作，垂足为，在中，由题意可知，由此可以求出的长度，然后和150比较大小即可判断城是否受到这次沙尘暴的影响；（2）如图，设点，是以为圆心，为半径的圆与的交点，根据勾股定理可以求出的长度，也就求出了的长度，然后除以沙尘暴的速度即可求出遭受影响的时间．【详解】（1）解：过点作，垂足为，在中，由题意可知，，，城将受这次沙尘暴的影响；

（2）设点，是以为圆心，为半径的圆与的交点，连接，，由题意得，，城受沙尘暴影响的时间为：（小时），答：城将受到这次沙尘暴的影响，影响的时间为15小时．【点睛】此题考查了直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理的应用，当然首先正确理解题意，把握好题目的数量关系是解决问题的前提．22．（2022下·湖北咸宁·八年级校考期末）一辆装满货物的卡车，高米，宽米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为，长方形的另一条边长是．(1)此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由．(2)为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为，高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？【答案】(1)此卡车能通过桥洞，理由见解析(2)【分析】本题考查了勾股定理的应用．明确线段之间的数量关系是解题的关键．（1）如图，记长方形宽的中点为，圆心为，取，过作交半圆于，