生物非线性动力学简介

第二十章生物非线性动力学简介要求

：1、理解非线性动力学的基本概念，如运动参量、

相空间、吸引子等。2、了解非线性动力学理论的一些基本知识，如

混沌运动、分形、分维数等。3、了解非线性动力学在医学中应用的方法。非线性科学的四个发展阶段1、40年代：组织理论：控制论，信息论，一

般系统论2、60年代：自组织理论(系统如何从无序→有序):超循环论，3、70年代：非线性科学(系统如何从有序→混沌和无序→更高层次的

有序)4、90年代：复杂性科学(复杂性的定义及量

度，复杂系统的行为及模型)2Plank(普朗

克)黑体辐射客体状态与

测量的关系

及其描述微观现象Poincare三体稳定性问题力学的基本问

题和方法非线性现象Einstein(爱因斯坦)运动介质中

的电动力学时空概念高速现象量子力学

相对论创始人导致变革

的研究变革内容应用领域19世纪末、20世纪初发生的对于牛顿力学的三大变革定性力学、非线性动力学出现的新科学非线性科学线性系统是指输出与输入成正比的系统，

可以用y=ax+b的形式表示，非线性系统是指除线性系统以外的所有系统。即

输出与输入不成正比的系统。最简单的非线性数学方程为y=ax²+bx+c.非线性是复杂性的集中体现，非线性科学的

中心问题是：全局分析、分岔、浑沌、孤立子、

分形、拟序结构、图象生成与演化。非线性科学的核心问题是：孤立子与混沌其特点是交叉性和新型学科.5非线性与线性的差别非线性与线性存在着本质差别：对于线性系统

小的输入变化必定引起小的输出变化，大的输入

变化对应于大的输出变化。而非线性系统则不然

。小的输入变化可引起大的输出变化，大的输入

变化倒不一定引起大的输出变化。例如某人作长途旅行：先乘公共汽车到火车站

,然后乘高速火车到机场，最后乘飞机到达目的

地。整个系统是非线性的，若几分钟的初始误差

逐渐放大，到达目的地相差的将不是几分钟，可

能是几个小时或几天，小的输入变化会引出大的

输出变化。非线性动力系统什么是非线性动力系统?一个动力系统，若其基本力学量的运动由非线

性方程描述，则称作非线性动力学系统。非线性动力学研究的是具有非线性演化规律的系统。非线性动力学理论建立在现代几何学和代数学

的基础上，相空间描述法是其基础的研究方法第一节

运动及其相空间描述一

、相空间宇宙万物处于永不停息的运动变化之中。以牛顿为代表的经典力学理论在三维空间中建立了描述机械运动的完整理论，爱因斯坦的相对论发展了经典理论，将描写运动的空间扩展到时间。实际上在描述物质系统运动的空间方法中还有相空间(statesspace)

理论。1.质点直线运动的相空间描述能够表征运动状态及其演化规律的运动量称为状态参量。将所有状态参量联合构成的抽象的空间称为相空间。质点每一时刻的运动状态可以与相空间中的一个点对应起来，而在某时段内运动状态的变化过程与相空间中的一段轨道对应，运动的演化趋势与相空间中的轨道延伸趋势对应。例如在匀加速直线运动过程中，质点随时间的变化规律可以分别表述为：

V=Vo+at

a=

常数其中x～t

曲线是抛物线，v～t曲线为直线。但如果用位移，速度和加速度三个量作为独立变

量，构成一个三维的坐标空间，此空间即为相

空

间，如图：10质点每一时刻的运动状

态就与相空间中的一个

点对应，而在某时段内

运动状态的变化过程就

与相空间中的一段轨道

对应，运动的演化趋势

与相空间中的轨道延伸

趋势对应。2.221.0一维质点运动的相空间加

速

度

(

m

sB011描写振子的运动状态，一般选它偏离平衡位置的距离和速度作为状态参量，由于运动发生在一

维直线上，因此状态参量为两个一维的物理量，这时的相空间是由位移和速度联合构成的平面直角坐标空间。在相空间中简谐振动运动轨道是一个以坐标原点为中心的椭圆或圆，运动表现出周而复始的周期性

。1

2

315速度(ms-¹)

105时间(s)4

5时

间(s)15速度(ms-1)位

移(m)-15-10-15简谐振动运动状态变化2.弹簧振子振动的相空间描述位

移(m)

212振子如果受到阻尼力作

用，振子的位移和速度不断减小，最终恢复到静止状态。从相空间来看，弹簧振子的运动轨道不再是一个圆，而为一条趋向原

点的螺旋线，这条螺旋

线起始于初始状态，终

止于原点。(a)-2.015-100505101.52.0810时间(s)(c)(b)位

移(m)6

8

1

0

时

间(s)15速

度(s-1)105-5-15阻尼振动运动状态变化13在相空间存在一个吸引点，把周围的轨道都吸引到此

处，称此特殊位置为吸引子。位

移吸引子吸引子attractor单摆及其吸引子开始安徽蚌埠医学院魏杰制作单摆速

度14奇怪吸引子15吸引子是物质系统运动的稳态运动行为在相空间中的反映。稳态运动是系统从初始状态出发，经历了长时间演化后最终达到的运动状态。对于无外驱动的阻尼振子来说，其长时间演化将趋向静止，即趋向不动点吸引子。而在外周期驱动作用

下，其运动状态将趋向一个周期运动，即极限环吸

引子。除了上述两类吸引子外，还存在准周期吸引子和奇怪吸引子，其中奇怪吸引子对应于一种称为混沌运动的演化状态。16第二节混沌运动蝴蝶效应：1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创

人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发

表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断

:南半球巴西某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微

小气流，几星期后可能变成席卷北半球美国得克萨斯州的

一场龙卷风，这就是天气的“蝴蝶效应”,即天气的不可

准确预报性。时至今日，这一论断仍为人津津乐道，更重要的是，它

激发了人们对混沌学的浓厚兴趣。今天，伴随计算机等技

术的飞速进步，混沌学已发展成为一门影响深远、发展迅

速的前沿科学。其与相对论、量子论相提并论，称为混沌

论。混沌被认为是20世纪物理学的第三次革命。17混沌混沌初开一个接近实际而没有内在随机性的模型仍然具

有貌似随机的行为的真实物理系统，即称混沌.如

布朗运动.混沌不是偶然的、个别的事件，而是普遍存在于宇宙间各种各样的宏观及微观系统中的，万事万

物，莫不混沌。混沌也不是独立存在的科学，它与

其它各门科学互相促进、互相依靠，由此派生出许

多交叉学科，如混沌气象学、混沌经济学、混沌数

学

等

。混沌学研究的是一种非线性科学，18混沌系统具有三个关键要素：一

、对初始条件的敏感依赖性

(即差之毫厘，失之千里);二

、临界水平(层流

→

湍流),

这里是非线性事件的发生点；三、分形(如山、闪电的形状)、分维(维数)

它表明有序和无序的统一。19非典是个突发事件非典是个突发事件，非典本身并不是什么大事

,几个月时间全世界因非典而死亡的也仅仅只有

几百人，还不及一天之内因患肺癌死亡的人多，也不及每天因车祸死亡的人数多。但由于其具有高度的传染性，使得“蝴蝶效应”发生了：

一个很小的原因(2个人发烧)导致了一个复杂的结果：中国宏观经济受到了很大的

冲击，多个行业为此受损严重，典型的如旅游业

、运输业等。20混沌无所不在现在这门科学正举目四望，混沌无所不在。如上升的香烟柱破碎成缭乱的旋涡，云彩的形状、闪电的踪迹、旗帜在风中前后飘拂、龙

头滴水从稳定样式变成随机样式、大气和海

洋的湍流中，飞机的飞翔中，高速公路上阻

塞的汽车群体中，野生动物种群数的涨落，

微血管的缠结、心脏和大脑的振动，股票价

格变化，星体形成银河星团的过程，甚至紧

张局势导致武装冲突的方式，

……,都可以

用混沌的方式加以分析。21从简单的例子看混沌的本质混沌是决定论系统所表现出来的随机行为的总称

。它的根源在于非线性的相互作用。所谓“决定论系统”指描述该系统的数学模型不

包含任何随机因素的完全确定的系统。随机运动的典型实例是植物学家布朗1827年在

显微镜下看到的液体中花粉颗粒的无规运动，

现称为布朗运动。自然界中最常见的运动状态，往往既不是完全确

定，也不是完全随机的，而是介于二者之间。22混沌在生命科学中的应用混沌理论在生命科学中的应用特别重要。已经

发现各种心律不齐、房室传导阻滞等均与混沌运动有联系，癫痫患者发病时的脑电波呈现明显的周期性，而正常人的脑电波呈现显著的混沌状态o人们利用混沌与神经网络相结合创造出所谓的混沌神经网络。利用混沌可实现保密通讯，解释经济领域的股票、期货的价格波动，探索厄尔尼诺(El

Nino)现

象

，等等。23厄尔尼诺赤道东太平洋南美沿岸海水温度激烈上升的现象。由于这种现象经常发生在年末圣诞节前后，所以当地人成为“圣婴”(厄尔尼诺)。厄尔尼诺发生时，由于水温高、浮游生物减少

,鱼得不到食物而大量死亡，所以以鱼为食的海鸟也将死亡或迁徒。厄尔尼诺发生时还会产生