福建省莆田中山中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题(含答案)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页福建省莆田中山中学2025-2026学年九年级上学期期中考数学一、单选题1．下列式子中，一定是一元二次方程的是（

）A．2x+3y−5=0 B．xC．ax2+bx+c=02．若关于x的一元二次方程2x2+x−m=0有一个根为1，则mA．3 B．0 C．−2 D．−33．将抛物线y=xA．y=(x+2)2+4C．y=(x−2)2+44．如图，△ABC与△A′B′C′位似，点A．2:3 B．9:4 C．4:9 D．3:25．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．ABAP=AC6．如图，△DBE是由△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°得到的．若AB⊥DE，则∠A的度数为（）A．50° B．45° C．40° D．30°7．2025年1月7日凌晨，长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火起飞，将实践二十五号卫星成功送入预定轨道，为2025年中国航天宇航发射取得“开门红”．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（

）A．asinθ千米 B．acosθ千米 C．asin8．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，设到会的人数为x，则可列方程（

）A．12xx−1=66 B．xx−1=669．抛物线y=ax2+bx+cx…−3−2−101…y…−3−2−3−6−11…A．对称轴是直线x=−2 B．当x=−4时，y=−11C．当x>−2时，y随x的增大而减小 D．抛物线开口向下10．《九章算术》记载“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME=30步，NF=750步，则正方形的边长为（）A．150步 B．200步 C．250步 D．300步二、填空题11．抛物线y=2(x−5)212．2sin30°−13．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A−3，-1，14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=22，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接CE，则C15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为AD上一点，且AE:ED=1:2，连接BE，与AC相交于点F．则AFOC的值为16．已知抛物线y=ax2+bx+c，该抛物线过点A4−m，y1，B三、解答题17．解方程：x218．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，AD=3，19．已知关于x的方程x2(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；(2)若方程的两个实数根为x1,x20．在△ABC中，sinA=13，∠C=45°(1)求BC的长；(2)求△ABC的面积．（结果都保留根号）21．关于x的一元二次方程ax(1)方程①x2−6x+8=0，②(2)若x−2ax−b=0a≠022．如图，在ΔABC中，∠B=90°，点D在边BC上，连接AD，过点D作射线DE⊥AD．（1）在射线DE上求作点M，使得ΔADM∼ΔABC，且点M与点C是对应点(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若cos∠BAD=23，BC=623．合肥百货大楼以进价120元购进某种新商品，在5月份试销阶段发现，在售价不低于130元的情况下每件售价（元）与商品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系：每件销售价格/元130135140…180…日销售量/件706560…a…（1）请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的a值为.（2）若百货大楼该商品柜组想日盈利达到1600元，应将售价定为多少元？（3）柜组售货员小李发现销售该种商品m件与n件的利润相同，且m≠n，请直接写出m与n所满足的关系式．24．某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）．水平距离x02356…竖直高度y1.12.32.62.62.3…【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线y=ax【建立模型】求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）．【应用模型】（1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8m（2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为y=ax2+kx+1.1，发球点与球网的水平距离是5m．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1m25．问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．实践探究：（1）如图1，若∠CBE=15°，则ABBC（2）如图2，当CE=4，AF⋅FD=12时，求ABBC问题解决：（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求ABBC答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案一、选择题：题号12345678910答案DACCDAAABD二、填空题：11．(5,4)12．013．−3<x<014．415．116．m>三、解答题：17．解：∵x2∴x−5∴x−5=0或解得x118．（1）解：∵∠BAC=90°，AD⊥B∴∠∴∠B∴△ADC∽△BDA∴BD即AD2∵AD=3,∴∴BC=BD+DC=4+919．（1）解：∵Δ=∴方程总有实数根；（2）解：由根与系数的关系可得，x1+x∴x==2k+4−2=0．20．（1）解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，sinA=1∴BD=AB·在Rt△BCD中，∠C=45°∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD=2∴BC=2（2）解：在Rt△ABD中，BD=2，∴AD=6∴AC=CD+AD=2∴△ABC的面积为1221．解：（1）x2−6x+8=0的根为x1∴x∴xx2−x−2=0的根为x1∴x∴x故答案为：①；（2）由一元二次方程x2+9x+c=0是“倍根方程”，设x2+9x+c=0的两个根为∴k+2k=−9k⋅2k=c解得c=18；经检验，c=18符合题意，∴c的值为18；（3）由(x−2)(ax−b)=0(a≠0)得x1=2，∵(x−2)(ax−b)=0(a≠0)是“倍根方程”，∴ba=1或ba=4，即当b=a时，2a−ba+b当b=4a时，2a−ba+b∴代数式2a−ba+b的值为12或22．（1）解：如图点M即为所求．解法一（作∠BAC＝∠DAM）：解法二（作∠CAM＝∠BAD）：（2）解：∵△ADM∽△ABC，∴BCDM∵在Rt△ABD中，cos∠BAD＝ABAD∵cos∠BAD＝23∴ABAD∴BCDM∵BC＝6，∴DM＝9．23．解：（1）∵130+70=200，135+65=200，140+60=200，∴每件的售价与产品的日销量之和为200，∴a=200-180=20，故答案为：20；（2）由（1）知：当每件产品每涨价1元时，日销售量减少1件，设每件产品定价为x元（x＞120），则产品的日销量为（200-x）元，依题意得：（x-120）（200-x）=1600，整理得：x2-320x+25600=0，解得：x1=x2=160．答：每件产品定价为160元时，每日盈利可达到1600元；（3）由（1）知：当每件产品每涨价1元时，日销售量减少1件，∴当销售该种商品m件时，定价为：（200-m）元，销售该种商品n件时，定价为：（200-n）元，由题意得：（200-m-120）m=（200-n-120）n，整理得：（m-n）（m+n-80）=0，∵m≠n，∴m+n-80=0，即m+n=80．24．解：建立模型：将点2,2.3，3,2.6代入y=ax2+bx+1.1解得a=−0.1b=0.8所以y与x的函数解析式为y=−0.1x应用模型：（1）令y=2.8，则−0.1x整理得：x2这个方程根的判别式为Δ=所以羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m（2）∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，∴a的值不变，即a=−0.1，∴改变发球方式后，羽毛球飞行路线对应的抛物线为y=−0.1x∵发球点与球网的水平距离是5m．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1m，且球的落地点与球网的水平距离小于∴当x=5时，y>2.1；当x=5+6=11时，y<0，∴−0.1×5解得0.7<k<1，所以k的取值范围为0.7<k<1．25．解：（1）根据折叠的性质，得BF=BC，∠FBE=∠CBE=15°，∴∠FBC=∠FBE+∠CBE=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥∴∠AFB=∠FBC=30°，∵∠A=90°，∴BF=2AB，∴BC=2AB，∴ABBC故答案为：12（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=CD，∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，∴∠AFB=∠DEF，∴△FAB∽△EDF，∴AFDE∴AF⋅DF=AB⋅DE，∵CE=4，AF⋅FD=12，AB=CD=DE+CE，∴4+DE解得：DE=2或−6（不合题意，舍去），∴AB=4+2=6，∵EF=CE=4，∴DF=E∴AF=12∴BC=AD=AF+DF=23∴ABBC（3）过N作NG⊥BF于点G，如图，∵BM平分∠ABF