山东省菏泽市牡丹区博雅学校2025-2026学年高三上学期第二次月考数学检测试卷 附答案

/高三数学第二次月考试题2026.1一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数z满足，则的虚部为（）A. B. C. D.3.椭圆上一动点，总满足关系式，椭圆的离心率为（）A. B. C. D.4.已知甲罐中有四个相同小球，标号为，乙罐中有三个相同的小球，标号为，从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（）A.事件发生的概率为B.事件相互独立C.事件是互斥事件D.事件发生的概率为5.已知圆，若圆C上有且仅有一点P使，则正实数a的取值为（）A.2或4 B.2或3 C.4或5 D.3或56.的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.7.已知则等于A.2 B.3 C.4 D.68.若关于的不等式恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中，正确的是（）A.方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度B.数据第百分位数为C.若一组样本数据的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数为D.若随机变量，且，则10．在平面四边形中，点D为动点，的面积是面积的2倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则（

）A．为等比数列B．为递减数列C．为等差数列 D．11.数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（）A.曲线由两条抛物线的一部分组成B.线段的长度与点到直线的距离相等C.若线段的长度为，则直线的斜率为D.若，则直线的斜率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.4名同学到A､B､C三个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，且同学甲安排在A小区，则共___________有种不同的安排方案.13.已知函数（）的最小正周期不小于，且恒成立，则的值为____________．14.经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知数列是等差数列，是等比数列，且满足.（1）分别求的通项公式；（2）求数列的前n项和.16.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且满足，．（1）求B；（2）若D，E为线段上的两个动点，且满足，，求的取值范围．17.某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立.（1）求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率；（2）记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列.18.在平面直角坐标系xOy中，动点M到点的距离与到直线的距离之比为．（1）求动点M轨迹W的方程；（2）过点F的两条直线分别交W于A，B两点和C，D两点，线段AB，CD的中点分别为P，Q．设直线AB，CD的斜率分别为，，且，试判断直线PQ是否过定点．若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．19.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在定义域内有两个不同零点，求实数的取值范围；（3）若且，有恒成立，求实数的取值范围．高三数学第二次月考试题答案1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C2.若复数z满足，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘方、除法化简复数z，结合共轭复数的定义写出，即可得答案.【详解】由，则，所以.故选：B3.椭圆上一点在运动过程中，总满足关系式，那么该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的定义式判断椭圆的焦点位置，求出的值即可求出离心率.【详解】由题意，可知椭圆的焦点在轴上，且，所以椭圆的离心率为.故选：B.4.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为，乙罐中有三个相同的小球，标号为，从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（）A.事件发生的概率为 B.事件相互独立C.事件是互斥事件 D.事件发生的概率为【答案】B【解析】【分析】写出样本空间以及各个事件所包含的基本事件，结合古典概型概率计算公式、独立事件以及互斥事件的概念即可逐一判断各个选项.【详解】从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，设甲罐中抽取小球的标号为，乙罐中抽取小球的标号为，则的所有可能为：，共12种可能，事件“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：，共3种可能，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”包含的基本事件有：，共7种可能，对于A，事件发生的概率为，故A不符合题意；对于BC，，而不可能同时发生，这意味着事件是互斥事件，即，故，即事件不相互独立，故B符合题意，C不符合题意；对于D，事件发生的概率为，故D不符合题意.故选：B.5.已知圆，若圆C上有且仅有一点P使，则正实数a的取值为（）A.2或4 B.2或3 C.4或5 D.3或5【答案】D【解析】【分析】根据题意可知：点P的轨迹为以的中点为圆心，半径的圆，结合两圆的位置关系分析求解.【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，且，因为，可知点P的轨迹为以线段的中点为圆心，半径的圆，又因为点P在圆上，可知圆与圆有且仅有一个公共点，则或，即或，解得或.故选：D6.的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出展开式的通项，再通过令通项中的次数等于，求出对应的值，最后将值代入通项求出系数.【详解】的展开式的通项为，令，解得，所以的系数为，故选：C.7.已知则等于A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】利用和差角公式及同角关系式求得的值，然后利用对数的运算法则即得.【详解】，，，，，，.故选：C.8.若关于的不等式恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】因式分解可得，利用导数可得，从而可得恒成立，因为，在上均单调递增，结合已知可得，计算可求得.【详解】可化为，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以恒成立.令，则的定义域为，令，得或，易知函数，在上均单调递增，则，所以，（点拨：因为恒成立，所以与同正同负，又与的单调性一样且都有零点，所以两函数的零点相等）则，当且仅当，时，取得最小值.故选：B.9.下列命题中，正确的是（）A.方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度B.数据的第百分位数为C.若一组样本数据的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数为D.若随机变量，且，则【答案】AD【解析】【分析】利用方差、极差的意义判断A；计算百分位数判断B；利用相关系数判断C；利用正态分布的概率计算判断D.【详解】对于A，方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度，A正确；对于B，计算第百分位数：数据个数为，，为整数，则第百分位数是第个数与第个数的平均值，即，B错误；对于C，样本点都在直线上，说明变量呈完全正线性相关，相关系数，C错误；对于D，由知正态曲线关于对称，，结合，代入得，又，解得，则，由对称性，D正确.故选：AD.10．BD【详解】如图，连交于，则，即，所以，所以，所以，设，因为当时，恒有，所以，，所以当时，恒有，所以，即，又，所以，所以，所以，因为不是常数，所以不为等比数列，故A不正确；因为，即，所以为递减数列，故B正确；因为不是常数，所以不为等差数列，故C不正确；因为，所以，所以，所以，所以，故D正确.故选：BD11.数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（）A.曲线由两条抛物线的一部分组成B.线段的长度与点到直线的距离相等C.若线段的长度为，则直线的斜率为D.若，则直线的斜率为【答案】ABD【解析】【分析】对于选项A，根据题干列出等式即可判断；对于选项B，利用抛物线的定义即可判断，对于选项C，利用焦半径公式列出等式即可判断，对于选项D，由焦半径，又因为可得，即可得到结果.【详解】对于A选项，设曲线上任意一点，由定义可知，满足，移项，平方可得：，即，为两条抛物线，故A正确；对于B选项，和直线分别为抛物线的焦点和准线，由抛物线定义可知，故B正确对于C选项，设与轴夹角为同时为抛物线和椭圆的焦点，，，解得，则，故C错误.对于D选项，易知为抛物线和的焦点，前者，后者分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此，由于，则，因此，所以，故D正确，故选：ABD【点睛】关键点点睛：抛物线的求解，一般利用定义和二级结论直接能够列出等式求解.12.4名同学到A､B､C三个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，且同学甲安排在A小区，则共___________有种不同的安排方案.【答案】.【解析】【分析】根据题意分为两类：小区安排2人和小区只安排同学甲1人，结合分类计数原理，即可求解.【详解】根据题意，可分为两类：（1）小区安排2人，其中一人为甲同学，共有种不同的安排方法；（2）小区只安排同学甲1人，共有种不同的安排方法，由分类计数原理，可得共有种不同的安排方案.故答案为：.13.已知函数（）的最小正周期不小于，且恒成立，则的值为____________．【答案】1【解析】【分析】根据的最小正周期不小于，得到，再根据，恒成立，得到的最大值为，可求出的值.【详解】因为函数（）的最小正周期不小于，所以，即，解得：，因为恒成立，故的最大值为，所以，所以，因为，当时，.故答案为：1.14.经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】首先求得，，而原不等式等价于，可以利用不等式放缩即可求解.【详解】，因为图象的对称中心点为，所以，所以，由，所以，原不等式为，因为，所以，设，则，当时，，当时，，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以，即，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，所以其最小值为，故.故答案为：.【点睛】关键点点睛：关键是得到恒成立，结合切线放缩不等式即可顺利得解.15.已知数列是等差数列，是等比数列，且满足.（1）分别求的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设数列的公差、公比，根据基本量运算列出方程组，求解即得的值，利用等差、等比数列的通项公式计算即得；（2）利用分组求和法，结合等差、等比数列的前项和的公式计算即得.【小问1详解】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，依题意，解得，所以.小问2详解】设等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，因为，所以数列的前n项和为.16.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且满足，．（1）求B；（2）若D，E为线段上的两个动点，且满足，，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解，（2）根据正弦定理可得的表示，即可利用三角形的面积公式，即可利用三角恒等变换，结合三角函数的性质即可求解.【小问1详解】∵∴,在中，∴∴，又在中，∴，∴∵，∴【小问2详解】∵，∴∵，∴或又，所以，故，，由正弦定理可得,故，设，其中，则，在中，由正弦定理可得则在中，由正弦定理可得则．∴的面积∵，则∴，即∴．17.某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立.（1）求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率；（2）记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列.【答案】（1）（2）分布列见解析【解析】【分析】（1）分别求出事件：“发射器第一次发送“0指向”的光子”和事件：“发射器第一次发送“0指向”的光子且第二次发送“1指向”的光子”的概率，应用条件概率计算即可.（2）应用古典概型求解事件的概率，即可写出X的分布列.【小问1详解】设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”，事件“第二次发送“1指向”的光子”，则，由条件概率公式，；【小问2详解】由题意：，，所以的分布列为：01218.在平面直角坐标系xOy中，动点M到点的距离与到直线的距离之比为．（1）求动点M轨迹W的方程；（2）过点F两条直线分别交W于A，B两点和C，D两点，线段AB，CD的中点分别为P，Q．设直线AB，CD的斜率分别为，，且，试判断直线PQ是否过定点．若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）直线PQ过定点．【解析】【分析】（1）设M，由已知得，进行化简即可.（2）设直线的方程为、，分别与W的方程联立得P的坐标为及Q的坐标为，再求出直线PQ的方程，利用，即可