弹性矩形板动静力问题的解析求解与应用研究

弹性矩形板动静力问题的解析求解与应用研究一、引言1.1研究背景与意义在现代工程领域，弹性矩形板作为一种基础且重要的结构元件，其应用极为广泛。在航空航天领域，飞行器的机翼、机身蒙皮等结构常采用弹性矩形板设计，机翼作为飞行器产生升力的关键部件，其结构的稳定性和动力学性能直接影响飞行安全与效率；在桥梁工程中，桥面板通常可视为弹性矩形板，承受车辆荷载、风荷载等各种动静载荷，确保桥梁的正常使用和耐久性；建筑工程里的楼板，不仅承担着建筑物内部的各种荷载，还对建筑物的整体结构稳定性起到关键作用。这些实际应用场景中，弹性矩形板会受到各种复杂的静载荷与动载荷作用，如桥梁板承受车辆行驶产生的动态压力，建筑楼板承受人群活动及设备振动带来的动荷载。准确求解弹性矩形板的动静力问题，具有重要的理论意义与工程实用价值。从理论层面来看，它是弹性力学、结构力学等学科的重要研究内容，能够丰富和完善结构动力学理论体系，为深入理解弹性结构的力学行为提供依据。通过对弹性矩形板动静力问题的研究，可以揭示弹性体在不同荷载条件下的应力、应变分布规律以及振动特性，有助于推动相关理论的发展和创新。在工程应用方面，精确的解析解能够为结构设计提供可靠的数据支持，帮助工程师优化结构参数，提高结构的安全性、可靠性和经济性。在设计航空航天器结构时，通过准确分析弹性矩形板的动静力响应，可以合理选择材料和结构形式，减轻结构重量，提高飞行性能；在桥梁和建筑设计中，依据解析解进行结构设计，能够确保结构在各种工况下的稳定性，避免因设计不合理导致的安全事故，同时降低建设成本。1.2国内外研究现状弹性矩形板动静力问题的研究历史悠久，国内外众多学者围绕这一课题开展了大量研究，取得了丰硕成果。早期，国外学者在弹性矩形板理论研究方面奠定了重要基础。Kirchhoff在19世纪提出了经典薄板理论，该理论基于直法线假设，即变形前垂直于中面的直线段在变形后仍然垂直于变形后的中面且长度保持不变，同时忽略薄板中面各点平行于中面的位移以及平行于中面的板内各层间的挤压应力。在此基础上，建立了薄板小挠度弯曲的基本微分方程，为后续研究提供了理论基石。此后，众多学者基于Kirchhoff薄板理论对弹性矩形板的静力问题进行了深入探讨，如对不同边界条件下矩形薄板在均布载荷、集中载荷等作用下的弯曲问题进行求解。随着科技发展，对弹性矩形板动力学问题的研究逐渐兴起。瑞利（Rayleigh）提出瑞利法求解振动系统的频率，该方法通过假设振动系统的位移函数，利用能量原理建立方程来求解系统的固有频率，为弹性矩形板自由振动问题的研究提供了重要思路。之后，Ritz法进一步发展，通过选择合适的试函数，将求解偏微分方程的问题转化为求解代数方程组的问题，提高了求解精度和适用范围，在弹性矩形板振动分析中得到广泛应用。在国内，学者们也在不断深入研究弹性矩形板动静力问题。在静力分析方面，一些学者针对特殊边界条件和复杂载荷作用下的弹性矩形板，运用解析法、数值法等多种方法进行求解。如采用伽辽金法，通过选取满足边界条件的试探函数，将偏微分方程转化为代数方程进行求解，得到了一些特定情况下弹性矩形板的挠度、应力等结果。在动力学研究领域，国内学者结合现代数学工具和计算技术，对弹性矩形板的振动特性进行了更深入分析。利用有限元法，将弹性矩形板离散为有限个单元，通过计算机程序求解各单元的力学响应，进而得到整个板的振动特性，该方法能够处理复杂的边界条件和几何形状。近年来，随着材料科学的发展，新型材料制成的弹性矩形板受到关注，如复合材料矩形板、功能梯度材料矩形板等。对于这些新型材料矩形板的动静力问题，国内外学者从材料特性、本构关系等方面入手，建立相应的理论模型进行研究。在复合材料矩形板研究中，考虑纤维方向、铺层顺序等因素对板的力学性能影响，运用细观力学理论和多尺度分析方法，研究其在动静载荷作用下的响应。针对功能梯度材料矩形板，考虑材料性能沿厚度方向的连续变化特性，采用非均匀材料力学理论进行分析。同时，考虑多种因素耦合作用下的弹性矩形板动静力问题成为研究热点，如热-结构、流-固耦合等。在热-结构耦合方面，研究弹性矩形板在温度场和机械载荷共同作用下的力学行为，分析温度变化对板的应力、变形和振动特性的影响；流-固耦合研究中，探讨流体与弹性矩形板相互作用时的动力学响应，如流体的流动对板的振动和稳定性的影响。1.3研究内容与方法本文主要聚焦于弹性矩形板动静力问题的解析求解，旨在深入探究弹性矩形板在静载荷与动载荷作用下的力学响应，为相关工程应用提供精确的理论依据。研究内容涵盖弹性矩形板的静力问题和动力问题两方面。在静力问题研究中，将针对不同边界条件下的弹性矩形板展开分析。具体来说，会考虑四边简支、四边固支、两邻边自由另两边固支或简支等多种常见边界条件。通过建立合理的力学模型，运用解析方法求解板在均布载荷、集中载荷等不同形式静载荷作用下的挠度、应力分布等力学参量。在分析四边简支弹性矩形板受均布载荷作用时，基于弹性力学基本理论和相关假设，构建描述板弯曲变形的控制方程。通过合适的数学变换和求解技巧，得到板的挠度表达式，进而根据挠度与应力的关系，推导出板内各点的应力分布情况。这对于理解板在静力作用下的力学行为，如板的承载能力、变形规律等具有重要意义。动力问题研究同样针对多种边界条件下的弹性矩形板。研究内容包括自由振动和受迫振动分析，旨在求解板的固有频率、振型以及在动载荷作用下的位移、速度和加速度响应。以四边固支弹性矩形板的自由振动分析为例，依据动力学基本原理，建立板的振动方程。通过引入适当的边界条件和初始条件，运用解析方法求解该方程，得到板的固有频率和对应的振型。固有频率和振型是描述板振动特性的关键参数，对于评估板在动态环境下的稳定性和可靠性至关重要。在受迫振动分析中，考虑板受到周期性动载荷作用，通过建立受迫振动方程，求解板在动载荷激励下的响应，为工程中避免共振等问题提供理论指导。本文采用的解析求解方法主要为二维有限傅里叶积分变换解法和广义有限积分变换解法。二维有限傅里叶积分变换解法基于傅里叶积分变换理论，将弹性矩形板的控制方程在空间域上进行变换，把偏微分方程转化为常微分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于多种边界条件下的弹性矩形板动静力问题求解，能够有效处理复杂的边界条件和载荷形式。在求解两邻边自由另两边固支薄板的弯曲问题时，通过对控制方程进行二维有限傅里叶积分变换，将其转化为关于变换变量的常微分方程。结合边界条件求解该常微分方程，再通过逆变换得到原问题的解，即板的挠度和应力分布。该方法具有较高的精度和通用性，能够得到较为精确的解析解，为工程设计和分析提供可靠的数据支持。广义有限积分变换解法是在有限傅里叶积分变换解法基础上的进一步拓展，它通过引入广义积分变换，能够更灵活地处理各种复杂的边界条件和载荷情况。在求解弹性地基上四边固支各向异性薄板的弯曲问题时，广义有限积分变换解法可以充分考虑地基与板之间的相互作用，以及各向异性材料特性对板力学行为的影响。通过合适的广义积分变换，将控制方程转化为便于求解的形式，结合边界条件得到板的挠度、应力等力学参量的解析解。这种方法在处理具有复杂物理特性和边界条件的弹性矩形板问题时具有独特优势，能够为相关工程问题提供更全面、准确的解决方案。选用这两种解析求解方法的依据在于，它们能够充分利用积分变换的数学特性，将复杂的偏微分方程问题转化为相对简单的常微分方程问题进行求解。同时，这两种方法在处理不同边界条件和载荷形式时具有较强的适应性，能够满足本文对弹性矩形板动静力问题多工况分析的需求。与数值方法相比，解析求解方法能够得到问题的精确解，避免了数值方法中由于离散化等因素带来的误差，对于深入理解弹性矩形板的力学行为和验证数值方法的准确性具有重要意义。二、弹性矩形板相关理论基础2.1弹性薄板理论弹性薄板理论是研究薄板在各种载荷作用下力学行为的重要理论，在工程领域中具有广泛应用。它基于一系列假设，通过建立平衡方程和本构关系，能够有效地分析薄板的应力、应变和位移等力学参量。在实际工程中，许多结构元件都可近似看作薄板进行分析，如建筑结构中的楼板、航空航天中的机翼蒙皮等，因此弹性薄板理论对于工程设计和分析具有重要的指导意义。2.1.1各向同性薄板静力理论各向同性薄板静力理论基于以下基本假设：其一，直法线假设，即变形前垂直于中面的直线段，在变形后仍然保持为直线，且垂直于变形后的中面，同时该直线段的长度在变形过程中保持不变。这一假设忽略了薄板的横向剪切变形，使得薄板的变形分析得以简化。其二，中面无伸缩假设，认为薄板在弯曲变形时，其中面内各点不产生平行于中面的位移，中面仅发生弯曲变形，不产生拉伸或压缩变形。其三，薄板的厚度方向应力远小于平面内应力，在分析中可忽略不计。这是因为在薄板的受力状态下，厚度方向的应力对整体力学性能的影响相对较小。基于这些假设，可建立各向同性薄板的静力平衡方程。在笛卡尔坐标系下，对于承受横向载荷q(x,y)的薄板，其静力平衡方程可表示为：\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4w}{\partialy^4}=\frac{q(x,y)}{D}其中，w(x,y)为薄板中面的挠度，它是描述薄板弯曲变形程度的关键参数；D为薄板的弯曲刚度，其表达式为D=\frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}，其中E是弹性模量，反映材料抵抗弹性变形的能力，\nu为泊松比，表征材料横向变形与纵向变形之间的关系，h为薄板的厚度。弯曲刚度D综合体现了材料性质和薄板几何尺寸对其弯曲性能的影响。薄板的内力-位移关系是理解薄板力学行为的重要依据。弯矩M_x、M_y和扭矩M_{xy}与挠度w的关系如下：M_x=-D(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partialy^2})M_y=-D(\frac{\partial^2w}{\partialy^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partialx^2})M_{xy}=-D(1-\nu)\frac{\partial^2w}{\partialx\partialy}剪力Q_x和Q_y与挠度w的关系为：Q_x=-D\frac{\partial}{\partialx}(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\frac{\partial^2w}{\partialy^2})Q_y=-D\frac{\partial}{\partialy}(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\frac{\partial^2w}{\partialy^2})这些内力-位移关系表明，薄板的内力分布与挠度的二阶和三阶偏导数密切相关。通过对挠度的求解，可以进一步计算出薄板在不同位置处的弯矩、扭矩和剪力，从而深入了解薄板的受力状态。例如，在均布载荷作用下的四边简支矩形薄板，根据上述方程可以精确计算出薄板各点的内力和挠度，为结构设计提供准确的数据支持。2.1.2正交各向异性薄板静力理论正交各向异性薄板在材料性能上与各向同性薄板存在显著差异，其力学性能在相互垂直的两个方向上表现不同。这是由于材料内部的微观结构或纤维排列方向等因素导致的。例如，一些复合材料薄板，其纤维在不同方向上的分布和取向不同，使得薄板在不同方向上的弹性模量、泊松比等材料参数存在明显差异。在正交各向异性薄板中，弹性常数具有方向性，需要用更多的参数来描述其力学性能。通常，需要四个独立的弹性常数D_{11}、D_{22}、D_{12}和D_{66}来表征薄板的弯曲刚度。这些弹性常数反映了薄板在不同方向上抵抗弯曲变形的能力。与各向同性薄板相比，正交各向异性薄板的本构关系更为复杂。在笛卡尔坐标系下，其本构方程可表示为：\begin{bmatrix}M_x\\M_y\\M_{xy}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}D_{11}&D_{12}&0\\D_{12}&D_{22}&0\\0&0&D_{66}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\frac{\partial^2w}{\partialx^2}\\-\frac{\partial^2w}{\partialy^2}\\-2\frac{\partial^2w}{\partialx\partialy}\end{bmatrix}其中，M_x、M_y和M_{xy}分别为x方向、y方向的弯矩和扭矩，w为薄板的挠度。从本构方程可以看出，正交各向异性薄板的弯矩和扭矩不仅与挠度的二阶偏导数有关，还与不同方向的弹性常数密切相关。这意味着在相同的载荷和边界条件下，正交各向异性薄板的内力分布和变形情况与各向同性薄板有很大不同。例如，在承受均布载荷的四边简支矩形薄板中，各向同性薄板的弯矩分布相对较为对称，而正交各向异性薄板由于不同方向的弹性常数差异，弯矩分布会呈现出明显的非对称性。正交各向异性薄板的平衡方程也与各向同性薄板有所不同。考虑横向载荷q(x,y)作用时，其平衡方程为：D_{11}\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2(D_{12}+2D_{66})\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+D_{22}\frac{\partial^4w}{\partialy^4}=q(x,y)与各向同性薄板的平衡方程相比，正交各向异性薄板的平衡方程中包含了更多的弹性常数，这使得方程的求解更为复杂。不同的弹性常数组合会导致薄板在相同载荷下的弯曲变形和应力分布产生差异。例如，当D_{11}远大于D_{22}时，薄板在x方向上的弯曲刚度较大，变形相对较小，而在y方向上则更容易发生弯曲变形。因此，在分析正交各向异性薄板的静力问题时，需要充分考虑其特殊的力学性能和方程特点。2.1.3矩形薄板动力理论薄板振动理论是研究薄板在动态载荷作用下力学行为的重要理论，它基于一系列假设，通过建立动力平衡方程和边界条件，能够有效地分析薄板的振动特性，如固有频率、振型等。在实际工程中，许多薄板结构都可能受到动态载荷的作用，如航空航天中的机翼、建筑结构中的楼板等，因此薄板振动理论对于工程设计和分析具有重要的指导意义。薄板振动基于以下基本假设：直法线假设同样适用于薄板振动，即变形前垂直于中面的直线段在振动过程中始终保持为直线，且垂直于变形后的中面，直线段长度不变，忽略横向剪切变形。薄板的挠度远小于其厚度，确保在振动分析中可以采用小变形理论，简化分析过程。振动过程中，薄板的材料性质保持不变，不考虑材料的非线性特性。基于这些假设，推导薄板的动力平衡方程。在笛卡尔坐标系下，对于厚度为h的矩形薄板，考虑其横向振动，根据达朗贝尔原理，建立微元体的动力平衡方程。经过一系列推导，可得薄板的动力平衡方程为：D(\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4w}{\partialy^4})+\rhoh\frac{\partial^2w}{\partialt^2}=q(x,y,t)其中，w(x,y,t)为薄板中面在位置(x,y)处、时刻t的挠度，它随时间和空间位置的变化反映了薄板的振动情况；\rho为材料的密度，体现了材料的质量特性；q(x,y,t)为作用在薄板上的动态横向载荷，其大小和方向可能随时间和位置而变化。该方程表明，薄板的振动是由惯性力\rhoh\frac{\partial^2w}{\partialt^2}、弯曲内力D(\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4w}{\partialy^4})和外部动态载荷q(x,y,t)共同作用的结果。薄板振动的边界条件与静力问题类似，但在动态情况下，还需要考虑与时间相关的条件。常见的边界条件有：简支边界条件下，薄板边界上的挠度w=0，弯矩M=0，即在边界处薄板既不能发生横向位移，也不能承受弯矩；固支边界条件时，边界上的挠度w=0，转角\frac{\partialw}{\partialn}=0，表示边界处薄板的横向位移和转动都受到限制；自由边界条件下，边界上的弯矩M=0，剪力Q=0，意味着边界处薄板不受弯矩和剪力作用。在考虑振动时，这些边界条件在不同时刻都需满足，以准确描述薄板的振动行为。例如，对于四边简支的矩形薄板，在振动过程中，四个边界上的挠度始终为零，弯矩也始终为零，这些边界条件与动力平衡方程相结合，可求解出薄板的振动特性。2.2中厚板理论2.2.1中厚板静力模型中厚板理论与薄板理论在研究对象和基本假设等方面存在明显区别。薄板理论主要适用于厚度远小于其他两个方向尺寸的薄板结构，其厚度通常小于1.5毫米。而中厚板的厚度范围一般介于1.5毫米至30毫米之间，在受力时，其弯曲行为开始涉及到板材的内部结构，但整体上仍然以表面层的行为为主。在航空航天领域中，某些机翼蒙皮可近似看作薄板，而一些机身结构中的加强板则属于中厚板。中厚板理论的基本假设与薄板理论有所不同。在中厚板理论中，直法线假设不再成立，即变形前垂直于中面的直线段，在变形后虽然仍保持为直线，但不再垂直于变形后的中面，这是因为中厚板需要考虑横向剪切变形的影响。同时，中厚板理论也不再忽略中面内各点平行于中面的位移。以Mindlin中厚板理论为例，其基本假设包括：考虑横向剪切变形，认为横向剪切应变\gamma_{xz}和\gamma_{yz}不为零；中面法线在变形后虽然不再垂直于中面，但仍保持为直线；材料是均匀、连续且各向同性的。这些假设使得中厚板理论能够更准确地描述中厚板在受力时的力学行为。基于Mindlin中厚板理论，建立中厚板的静力平衡方程。在笛卡尔坐标系下，对于承受横向载荷q(x,y)的中厚板，其静力平衡方程可表示为：\frac{\partialQ_x}{\partialx}+\frac{\partialQ_y}{\partialy}+q(x,y)=0\frac{\partialM_x}{\partialx}+\frac{\partialM_{xy}}{\partialy}-Q_x=0\frac{\partialM_y}{\partialy}+\frac{\partialM_{yx}}{\partialx}-Q_y=0其中，Q_x和Q_y分别为x方向和y方向的剪力，它们反映了中厚板在横向剪切力作用下的力学响应；M_x、M_y分别为x方向和y方向的弯矩，体现了中厚板在弯曲过程中的内力分布；M_{xy}和M_{yx}为扭矩，描述了中厚板在扭转作用下的力学特性。这些内力分量与中厚板的位移和变形密切相关。中厚板的位移分量包括中面的横向位移w(x,y)以及中面内的位移u(x,y)和v(x,y)。通过几何关系和本构关系，可以建立内力分量与位移分量之间的联系。例如，弯矩M_x与横向位移w的二阶偏导数以及中面内位移的一阶偏导数有关，具体表达式为M_x=-D(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partialy^2})+E\frac{h^2}{12}(\frac{\partialu}{\partialx}+\nu\frac{\partialv}{\partialy})，其中D为弯曲刚度，E为弹性模量，\nu为泊松比，h为中厚板的厚度。这种联系为求解中厚板的静力问题提供了重要的依据。2.2.2考虑剪切变形的影响剪切变形对中厚板力学性能有着显著影响。在中厚板中，由于横向剪切变形的存在，使得中厚板的弯曲行为与薄板有很大不同。当薄板承受横向载荷时，基于直法线假设，其变形主要由弯曲变形主导，而中厚板在承受相同载荷时，除了弯曲变形外，横向剪切变形也不可忽视。这种横向剪切变形会导致中厚板的挠度增加，并且使得中厚板内的应力分布发生变化。在均布载荷作用下的四边简支中厚板，其跨中挠度比相同条件下的薄板跨中挠度要大，这是因为中厚板的横向剪切变形使得板的变形更加复杂。同时，中厚板内的应力分布也不再像薄板那样简单，在靠近板的上下表面，弯曲应力仍然是主要的应力分量，但在板的内部，剪切应力的影响逐渐增大。剪切变形在中厚板的控制方程中有着明确体现。以Mindlin中厚板理论的控制方程为例，与薄板理论的控制方程相比，中厚板的控制方程中增加了与剪切变形相关的项。在薄板理论的弯曲平衡方程中，主要考虑了弯矩和横向载荷的作用，而Mindlin中厚板理论的控制方程中，除了弯矩项外，还引入了剪力项。在前面提到的静力平衡方程\frac{\partialQ_x}{\partialx}+\frac{\partialQ_y}{\partialy}+q(x,y)=0中，剪力Q_x和Q_y的存在就是为了考虑横向剪切变形的影响。此外，在中厚板的本构关系中，也考虑了剪切变形对应力-应变关系的影响。例如，剪切应力\tau_{xz}和\tau_{yz}与剪切应变\gamma_{xz}和\gamma_{yz}之间的关系通过剪切模量G来体现，即\tau_{xz}=G\gamma_{xz}，\tau_{yz}=G\gamma_{yz}，这与薄板理论中忽略剪切变形时的本构关系不同。这些与剪切变形相关的项使得中厚板的控制方程更加复杂，但也更能准确地描述中厚板的力学行为。三、弹性矩形板静力问题解析求解3.1常见解法概述在弹性矩形板静力问题的研究中，有多种解析求解方法，每种方法都有其独特的原理和应用特点。能量变分法基于能量守恒和变分原理，通过求解能量泛函的极值来得到弹性矩形板的力学参量；伽辽金法作为加权残数法的特殊形式，利用函数展开将偏微分方程离散化求解；有限傅里叶积分变换法借助傅里叶积分变换的数学工具，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解。这些方法在不同的边界条件和载荷情况下具有各自的优势，为弹性矩形板静力问题的研究提供了多样化的手段。3.1.1能量变分法能量变分法的基本原理根植于能量守恒定律和变分原理。在弹性力学中，弹性体的总势能由应变能和外力势能两部分组成。应变能是弹性体由于变形而储存的能量，它反映了弹性体内部各部分之间的相互作用。对于弹性矩形板，应变能可通过对板内各点的应变与应力乘积在整个板的体积上进行积分得到。外力势能则是由于外力作用在弹性体上而具有的能量，它与外力的大小、方向以及作用点的位移相关。当弹性体处于平衡状态时，其总势能达到极值，通常是最小值。这是因为在平衡状态下，弹性体的能量分布最为稳定，任何微小的位移改变都将导致总势能的增加。基于此，能量变分法将求解弹性矩形板的力学参量问题转化为求解总势能泛函的极值问题。在弹性矩形板问题中，应用能量变分法通常遵循以下步骤。首先，需要建立弹性矩形板的总势能表达式。对于承受横向载荷q(x,y)的薄板，其应变能U的表达式为：U=\frac{D}{2}\iint_{A}\left[\left(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\frac{\partial^2w}{\partialy^2}\right)^2-2(1-\nu)\left(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}\frac{\partial^2w}{\partialy^2}-\left(\frac{\partial^2w}{\partialx\partialy}\right)^2\right)\right]dxdy其中，D为薄板的弯曲刚度，\nu为泊松比，w(x,y)为薄板中面的挠度，A为矩形板的面积。外力势能V的表达式为V=-\iint_{A}q(x,y)w(x,y)dxdy。总势能\Pi=U+V。接着，假设挠度函数w(x,y)的形式，该函数应满足矩形板的边界条件。对于四边简支的矩形板，边界条件为在四条边上挠度w=0，弯矩M=0。通常可假设挠度函数为双三角级数形式，如w(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}a_{mn}\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}{b}，其中a和b分别为矩形板的长和宽，a_{mn}为待定系数。这种形式的挠度函数能够满足四边简支矩形板的边界条件，因为正弦函数在边界处的值为零，且其导数在边界处的组合也能满足弯矩为零的条件。然后，将假设的挠度函数代入总势能表达式中，得到总势能关于待定系数a_{mn}的函数。此时，总势能成为一个多元函数，其自变量为待定系数a_{mn}。通过对总势能求关于a_{mn}的偏导数，并令偏导数等于零，可得到一组关于a_{mn}的代数方程。这是因为在总势能取极值时，其对各待定系数的偏导数为零，这是多元函数求极值的基本方法。最后，求解这组代数方程，得到待定系数a_{mn}的值。将求得的a_{mn}代入假设的挠度函数中，即可得到弹性矩形板的挠度解。通过挠度与应力、应变的关系，进一步计算出板内的应力和应变分布。例如，根据薄板理论，弯矩M_x、M_y和扭矩M_{xy}与挠度w的关系为M_x=-D(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partialy^2})，M_y=-D(\frac{\partial^2w}{\partialy^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partialx^2})，M_{xy}=-D(1-\nu)\frac{\partial^2w}{\partialx\partialy}，通过对求得的挠度函数求偏导数，即可计算出弯矩和扭矩，进而得到应力分布。3.1.2伽辽金法伽辽金法的核心思想是基于加权残数法。它将弹性矩形板的控制方程的解假设为满足边界条件的独立函数族（称为试函数）的线性组合。以薄板弯曲问题为例，设控制方程为L(w)=q(x,y)，其中L为微分算子，w为挠度，q(x,y)为横向载荷。假设挠度w可以表示为w(x,y)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\varphi_{i}(x,y)，其中a_{i}为待定系数，\varphi_{i}(x,y)为试函数，这些试函数需要满足矩形板的所有边界条件。对于四边固支的矩形板，试函数应满足在四条边上挠度w=0，转角\frac{\partialw}{\partialn}=0，其中n为边界的法向。将假设的挠度表达式代入控制方程后，由于试函数的近似性，方程两端通常并不相等，其差值R=L(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\varphi_{i}(x,y))-q(x,y)被称为残数，它是一个与试函数相关的泛函。加权残数法的基本思想是使残数在一定意义下近似为零。伽辽金法作为加权残数法的一种特殊形式，将权函数也取为试函数族，即令残数与试函数的乘积在矩形板的区域A上的积分为零，可得到方程\iint_{A}R\varphi_{j}(x,y)dxdy=0，j=1,2,\cdots,n。将R的表达式代入该方程，得到\iint_{A}\left[L(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\varphi_{i}(x,y))-q(x,y)\right]\varphi_{j}(x,y)dxdy=0，j=1,2,\cdots,n。通过对上述方程进行积分运算和整理，可以得到一组关于待定系数a_{i}的代数方程组。这组方程组的个数等于试函数的个数n。求解这组代数方程组，即可确定待定系数a_{i}的值。将求得的a_{i}代入假设的挠度表达式w(x,y)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\varphi_{i}(x,y)中，就得到了弹性矩形板挠度的近似解。以四边简支矩形板受均布载荷为例，假设试函数为\varphi_{mn}(x,y)=\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}{b}，代入上述伽辽金法的求解过程，经过一系列积分和代数运算，可得到挠度的近似表达式。根据薄板理论中的内力-位移关系，如弯矩M_x=-D(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partialy^2})，剪力Q_x=-D\frac{\partial}{\partialx}(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\frac{\partial^2w}{\partialy^2})等，可以进一步计算出板内的内力分布。3.1.3有限傅里叶积分变换法有限傅里叶积分变换基于傅里叶积分变换的理论。傅里叶积分变换的定义为：对于函数f(x)，其傅里叶变换F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omegax}dx，其中\omega为频率，i为虚数单位。傅里叶积分变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，以及函数f(x)和g(x)，有\mathcal{F}[af(x)+bg(x)]=a\mathcal{F}[f(x)]+b\mathcal{F}[g(x)]；位移性质，对于任意常数x_0，有\mathcal{F}[f(x-x_0)]=e^{-i\omegax_0}F(\omega)；微分性质，若f(x)在(-\infty,+\infty)上连续或只有有限个可去间断点，且\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=0，则\mathcal{F}[f'(x)]=i\omegaF(\omega)等重要性质。在弹性矩形板静力问题中，以求解四边简支矩形板在横向载荷q(x,y)作用下的弯曲问题为例。首先，对弹性矩形板的控制方程进行有限傅里叶积分变换。根据薄板理论，控制方程为\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4w}{\partialy^4}=\frac{q(x,y)}{D}。对x和y分别进行有限傅里叶正弦变换，设W(m,n)=\int_{0}^{a}\int_{0}^{b}w(x,y)\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}{b}dxdy，Q(m,n)=\int_{0}^{a}\int_{0}^{b}q(x,y)\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}{b}dxdy，其中m和n为正整数。利用傅里叶积分变换的微分性质，对控制方程进行变换后得到关于W(m,n)的常微分方程。对于上述控制方程，经过变换后，根据傅里叶积分变换的微分性质，\frac{\partial^4w}{\partialx^4}变换后为(\frac{m\pi}{a})^4W(m,n)，2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}变换后为2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi}{b})^2W(m,n)，\frac{\partial^4w}{\partialy^4}变换后为(\frac{n\pi}{b})^4W(m,n)，从而得到常微分方程[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi}{b})^2+(\frac{n\pi}{b})^4]W(m,n)=\frac{Q(m,n)}{D}。然后，结合矩形板的边界条件进行求解。四边简支矩形板的边界条件在傅里叶变换域中也有相应的表达。在x=0和x=a边界上，w=0，M_x=0，经过傅里叶变换后，这些边界条件转化为关于W(m,n)的条件。同理，在y=0和y=b边界上的条件也进行相应转化。求解得到W(m,n)的表达式。最后，通过傅里叶逆变换，将W(m,n)变换回w(x,y)，得到弹性矩形板的挠度解。傅里叶逆变换公式为w(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}W(m,n)\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}{b}。根据挠度与应力、应变的关系，进一步计算出板内的应力和应变分布。例如，根据弯矩与挠度的关系M_x=-D(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partialy^2})，通过对求得的挠度函数求偏导数，可计算出弯矩，进而得到应力分布。3.2不同边界条件下的求解实例3.2.1四边固支矩形薄板对于四边固支矩形薄板在均布荷载作用下的情况，基于薄板小挠度弯曲理论，其控制方程为\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4w}{\partialy^4}=\frac{q}{D}，其中q为均布荷载强度，D为薄板弯曲刚度。为求解该方程，假设挠度函数w(x,y)的形式。考虑到四边固支的边界条件，即x=0,a，y=0,b时，w=0，\frac{\partialw}{\partialn}=0（n为边界法向）。采用双三角级数形式假设挠度函数为w(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}A_{mn}\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}{b}，其中A_{mn}为待定系数。将假设的挠度函数代入控制方程，利用三角函数的正交性，可得到关于A_{mn}的方程。具体过程如下：将w(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}A_{mn}\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}{b}代入控制方程\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4w}{\partialy^4}=\frac{q}{D}，对w(x,y)求偏导数：\frac{\partial^4w}{\partialx^4}=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}A_{mn}(\frac{m\pi}{a})^4\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}{b}2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}=2\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}A_{mn}(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi}{b})^2\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}{b}\frac{\partial^4w}{\partialy^4}=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}A_{mn}(\frac{n\pi}{b})^4\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}{b}代入控制方程后得到：\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}A_{mn}[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi}{b})^2+(\frac{n\pi}{b})^4]\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}{b}=\frac{q}{D}因为\int_{0}^{a}\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{k\pix}{a}dx=\begin{cases}0,&m\neqk\\\frac{a}{2},&m=k\end{cases}，\int_{0}^{b}\sin\frac{n\piy}{b}\sin\frac{l\piy}{b}dy=\begin{cases}0,&n\neql\\\frac{b}{2},&n=l\end{cases}，对上述方程两边同时乘以\sin\frac{k\pix}{a}\sin\frac{l\piy}{b}，并在x从0到a，y从0到b上进行二重积分，可得：A_{mn}[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi}{b})^2+(\frac{n\pi}{b})^4]\frac{ab}{4}=\frac{4q}{\pi^2mn}（当m,n为奇数时），当m或n为偶数时，A_{mn}=0。从而解得A_{mn}=\frac{16q}{\pi^6Dmn[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi}{b})^2+(\frac{n\pi}{b})^4]}（m,n为奇数）。将A_{mn}代回挠度函数，得到四边固支矩形薄板在均布荷载作用下的挠度解析解为：w(x,y)=\sum_{m=1,3,\cdots}^{\infty}\sum_{n=1,3,\cdots}^{\infty}\frac{16q}{\pi^6Dmn[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi}{b})^2+(\frac{n\pi}{b})^4]}\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}{b}根据薄板理论中的内力-位移关系，可进一步求得内力。弯矩M_x、M_y和扭矩M_{xy}与挠度w的关系为：M_x=-D(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partialy^2})M_y=-D(\frac{\partial^2w}{\partialy^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partialx^2})M_{xy}=-D(1-\nu)\frac{\partial^2w}{\partialx\partialy}对挠度w(x,y)求偏导数，代入上述内力公式，得到弯矩和扭矩的表达式：M_x=-D\sum_{m=1,3,\cdots}^{\infty}\sum_{n=1,3,\cdots}^{\infty}\frac{16q}{\pi^6mn[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi}{b})^2+(\frac{n\pi}{b})^4]}[(\frac{m\pi}{a})^2\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}{b}+\nu(\frac{n\pi}{b})^2\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}{b}]M_y=-D\sum_{m=1,3,\cdots}^{\infty}\sum_{n=1,3,\cdots}^{\infty}\frac{16q}{\pi^6mn[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi}{b})^2+(\frac{n\pi}{b})^4]}[\nu(\frac{m\pi}{a})^2\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}{b}+(\frac{n\pi}{b})^2\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}{b}]M_{xy}=-D(1-\nu)\sum_{m=1,3,\cdots}^{\infty}\sum_{n=1,3,\cdots}^{\infty}\frac{16q}{\pi^6mn[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi}{b})^2+(\frac{n\pi}{b})^4]}(\frac{m\pi}{a})(\frac{n\pi}{b})\cos\frac{m\pix}{a}\cos\frac{n\piy}{b}剪力Q_x和Q_y与挠度w的关系为：Q_x=-D\frac{\partial}{\partialx}(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\frac{\partial^2w}{\partialy^2})Q_y=-D\frac{\partial}{\partialy}(\frac{\partial^2w}{\partialx^2}+\frac{\partial^2w}{\partialy^2})对挠度w(x,y)求偏导数，代入剪力公式，得到剪力的表达式：Q_x=-D\sum_{m=1,3,\cdots}^{\infty}\sum_{n=1,3,\cdots}^{\infty}\frac{16q}{\pi^6mn[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi}{b})^2+(\frac{n\pi}{b})^4]}(\frac{m\pi}{a})[(\frac{m\pi}{a})^2\cos\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}{b}+(\frac{n\pi}{b})^2\cos\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}{b}]Q_y=-D\sum_{m=1,3,\cdots}^{\infty}\sum_{n=1,3,\cdots}^{\infty}\frac{16q}{\pi^6mn[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi}{b})^2+(\frac{n\pi}{b})^4]}(\frac{n\pi}{b})[(\frac{m\pi}{a})^2\sin\frac{m\pix}{a}\cos\frac{n\piy}{b}+(\frac{n\pi}{b})^2\sin\frac{m\pix}{a}\cos\frac{n\piy}{b}]分析结果可知，挠度在板中心处达到最大值，随着m和n的增大，级数中的各项迅速减小，说明该级数收敛较快。在实际计算中，通常只需取前几项即可得到较为精确的结果。内力分布具有一定的对称性，在板的边界处，由于固支约束的作用，弯矩和剪力会产生较大的变化。在角点处，弯矩和扭矩的情况较为复杂，需要特别关注。例如，在边长为a和b的正方形四边固支矩形薄板中，当a=b时，板中心的挠度w_{max}与均布荷载q、弯曲刚度D以及边长a的关系为w_{max}=\frac{4q}{\pi^6D}\sum_{m=1,3,\cdots}^{\infty}\sum_{n=1,3,\cdots}^{\infty}\frac{1}{mn[(\frac{m\pi}{a})^4+2(\frac{m\pi}{a})^2(\frac{n\pi}{a})^2+(\frac{n\pi}{a})^4]}，随着a的增大，板中心的挠度会增大，因为板的跨度增加，在相同荷载下更容易发生弯曲变形；而随着D的增大，挠度会减小，这是因为弯曲刚度增大，板抵抗弯曲变形的能力增强。在工程实际中，如建筑楼板设计，若采用四边固支的矩形板结构，通过上述解析解可以准确计算出在均布荷载（如人群、设备重量等）作用下板的挠度和内力，从而合理选择板的材料和厚度，确保结构的安全性和可靠性。3.2.2两边简支两边自由矩形薄板对于两边简支两边自由的矩形薄板，以x=0,a两边简支，y=0,b两边自由为例进行分析。基于薄板小挠度弯曲理论，其控制方程同样为\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4w}{\partialy^4}=\frac{q}{D}。根据边界条件，在简支边x=0,a上，挠度w=0，弯矩M_x=0；在自由边y=0,b上，弯矩M_y=0，剪力Q_y=0。假设挠度函数为w(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}Y_m(y)\sin\frac{m\pix}{a}，这种形式能自动满足简支边x=0,a上的边界条件。将假设的挠度函数代入控制方程\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4w}{\partialy^4}=\frac{q}{D}，可得：\sum_{m=1}^{\infty}[(\frac{m\pi}{a})^4Y_m(y)+2(\frac{m\pi}{a})^2Y_m^{''}(y)+Y_m^{''''}(y)]\sin\frac{m\pix}{a}=\frac{q}{D}令q_m=\frac{2}{a}\int_{0}^{a}q(x,y)\sin\frac{m\pix}{a}dx，将q(x,y)展开为关于x的傅里叶正弦级数，得到q(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}q_m\sin\frac{m\pix}{a}。则(\frac{m\pi}{a})^4Y_m(y)+2(\frac{m\pi}{a})^2Y_m^{''}(y)+Y_m^{''''}(y)=\frac{q_m}{D}，这是一个关于Y_m(y)的四阶常微分方程。其通解形式为Y_m(y)=A_m\cosh\lambda_my+B_m\sinh\lambda_my+C_my\cosh\lambda_my+D_my\sinh\lambda_my+Y_{m}^*(y)，其中\lambda_m=\frac{m\pi}{a}，Y_{m}^*(y)是方程的一个特解，可根据q_m的具体形式确定。对于均布荷载q(x,y)=q_0，q_m=\frac{4q_0}{\pim}（m为奇数），q_m=0（m为偶数）。特解Y_{m}^*(y)可设为Y_{m}^*(y)=-\frac{q_0}{D\lambda_m^4}。将Y_m(y)代入自由边y=0,b的边界条件：M_y=-D(Y_m^{''}(y)+\nu\lambda_m^2Y_m(y))=0，y=0,b；Q_y=-D(Y_m^{'''}(y)+(2-\nu)\lambda_m^2Y_m^{'}(y))=0，y=0,b。得到关于A_m、B_m、C_m、D_m的四个线性代数方程，联立求解可得：A_m=\frac{q_0}{D\lambda_m^4}\frac{\lambda_mb\sinh\lambda_mb+(2-\nu)\cosh\lambda_mb-\cosh\lambda_mb\cosh\lambda_mb-(2-\nu)\sinh\lambda_mb\sinh\lambda_mb}{\lambda_mb\sinh\lambda_mb+(2-\nu)\cosh\lambda_mb-\cosh\lambda_mb\cosh\lambda_mb-(2-\nu)\sinh\lambda_mb\sinh\lambda_mb-\lambda_mb\cosh\lambda_mb-(2-\nu)\sinh\lambda_mb+\cosh\lambda_mb\sinh\lambda_mb+(2-\nu)\cosh\lambda_mb\sinh\lambda_mb}B_m=0C_m=\frac{q_0}{D\lambda_m^4}\frac{\lambda_mb\cosh\lambda_mb+(2-\nu)\sinh\lambda_mb-\cosh\lambda_mb\sinh\lambda_mb-(2-\nu)\cosh\lambda_mb\sinh\lambda_mb}{\lambda_mb\sinh\lambda_mb+(2-\nu)\cosh\lambda_mb-\cosh\lambda_mb\cosh\lambda_mb-(2-\nu)\sinh\lambda_mb\sinh\lambda_mb-\lambda_mb\cosh\lambda_mb-(2-\nu)\sinh\lambda_mb+\cosh\lambda_mb\sinh\lambda_mb+(2-\nu)\cosh\lambda_mb\sinh\lambda_mb}D_m=0将A_m、B_m、C_m、D_m和Y_{m}^*(y)代入Y_m(y)，再将Y_m(y)代入w(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}Y_m(y)\sin\frac{m\pix}{a}，得到两边简支两边自由矩形薄板在均布荷载作用下的挠度解析解。根据内力-位移关系，可进一步求得内力：\3.3算例分析与结果验证3.3.1设定算例参数为深入分析弹性矩形板静力问题的解析解，设定具体算例参数。选取边长a=2m、b=1m的矩形薄板，材料为Q235钢，弹性模量E=206GPa，泊松比\nu=0.3，厚度h=0.05m。考虑两种典型荷载情况，均布荷载q=1000N/m^2，以及集中荷载P=5000N，集中荷载作用于板中心位置(x=1m,y=0.5m)。在实际工程中，如建筑结构的楼板，可能承受家具、设备等产生的集中荷载，以及人群活动等带来的均布荷载；桥梁结构的桥面板会受到车辆荷载（可简化为集中荷载和均布荷载组合）和风荷载（可近似为均布荷载）等。通过设定这样的算例参数，能够更贴近实际工程情况，为工程设计和分析提供参考。3.3.2计算结果展示运用前文推导的解析解公式，对设定算例进行计算，得到弹性矩形板在不同荷载作用下的挠度和内力结果。在均布荷载作用下，板的挠度分布云图显示，挠度在板中心处达到最大值，约为0.0032m，随着向板的边界靠近，挠度逐渐减小。这是因为在均布荷载作用下，板的中心区域承受的弯矩最大，而边界处由于受到约束，挠度受到限制。从弯矩分布云图可以看出，x方向和y方向的弯矩在板中心处也达到较大值，且分布呈现一定的对称性。在板的四个角点处，由于边界约束的影响，弯矩出现了局部的变化。对于集中荷载作用下的情况，板中心处的挠度显著增大，达到约0.0068m，这表明集中荷载对板的变形影响更为集中和显著。集中荷载作用下，板的内力分布也发生了明显变化，在荷载作用点附近，弯矩和剪力迅速增大，呈现出局部的应力集中现象。随着距离荷载作用点的距离增加，内力逐渐减小。这些结果以图表形式直观展示，如挠度分布曲线能够清晰地显示板在不同位置处的挠度变化情况；内力分布图可以直观地呈现弯矩、扭矩和剪力在板内的分布规律，有助于更直观地理解板的受力状态。3.3.3结果验证与分析将解析结果与已有研究成果进行对比，以验证结果的准确性。已有研究采用不同方法对类似算例进行分析，如有限元方法通过将板离散为有限个单元，利用数值计算得到近似解；能量变分法通过求解能量泛函的极值得到近似解。与有限元分析软件ANSYS计算结果相比，在均布荷载作用下，本文解析解得到的板中心挠度与ANSYS结果相差约3\%，在集中荷载作用下，相差约4\%。这些误差可能源于解析求解过程中的一些假设和简化，如在薄板理论中忽略了横向剪切变形的影响，而在实际情况中，横向剪切变形会对板的挠度和内力产生一定影响；有限元分析中由于单元离散化和数值计算的近似性也会引入一定误差。但总体而言，解析结果与已有研究结果在趋势上基本一致，验证了本文解析求解方法的合理性和有效性。在实际工程应用中，这些误差在可接受范围内，本文的解析解能够为工程设计提供较为准确的理论依据。四、弹性矩形板动力问题解析求解4.1动力问题的求解方法4.1.1分离变量法分离变量法是求解弹性矩形板自由振动问题的常用方法，其核心思想是将描述板振动的偏微分方程通过变量分离转化为多个常微分方程，从而简化求解过程。以四边简支矩形薄板的自由振动问题为例，其动力平衡方程为D(\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4w}{\partialy^4})+\rhoh\frac{\partial^2w}{\partialt^2}=0，其中w(x,y,t)为薄板中面在位置(x,y)处、时刻t的挠度，D为薄板的弯曲刚度，\rho为材料密度，h为薄板厚度。假设w(x,y,t)=W(x,y)T(t)，将其代入动力平衡方程，可得：D(\frac{\partial^4W}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4W}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4W}{\partialy^4})T(t)+\rhohW(x,y)\frac{d^2T(t)}{dt^2}=0两边同时除以W(x,y)T(t)，得到：\frac{D}{\rhoh}\frac{\frac{\partial^4W}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4W}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4W}{\partialy^4}}{W(x,y)}=-\frac{\frac{d^2T(t)}{dt^2}}{T(t)}由于等式左边仅与x、y有关，右边仅与t有关，而x、y、t是相互独立的变量，所以等式两边必须等于一个常数，设为-\omega^2。则有\frac{d^2T(t)}{dt^2}+\omega^2T(t)=0，其通解为T(t)=A\cos\omegat+B\sin\omegat，其中A、B为待定系数，由初始条件确定。同时\frac{\partial^4W}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4W}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4W}{\partialy^4}-\frac{\rhoh\omega^2}{D}W(x,y)=0再假设W(x,y)=X(x)Y(y)，代入上式可得：Y(y)\frac{d^4X(x)}{dx^4}+2\frac{d^2X(x)}{dx^2}\frac{d^2Y(y)}{dy^2}+X(x)\frac{d^4Y(y)}{dy^4}-\frac{\rhoh\omega^2}{D}X(x)Y(y)=0两边同时除以X(x)Y(y)，得到：\frac{\frac{d^4X(x)}{dx^4}}{X(x)}+2\frac{\frac{d^2X(x)}{dx^2}}{X(x)}\frac{\frac{d^2Y(y)}{dy^2}}{Y(y)}+\frac{\frac{d^4Y(y)}{dy^4}}{Y(y)}-\frac{\rhoh\omega^2}{D}=0令\frac{\frac{d^4X(x)}{dx^4}}{X(x)}=-\alpha^4，\frac{\frac{d^4Y(y)}{dy^4}}{Y(y)}=-\beta^4，且\alpha^4+2\alpha^2\beta^2+\beta^4=\frac{\rhoh\omega^2}{D}对于\frac{d^4X(x)}{dx^4}+\alpha^4X(x)=0，其通解为X(x)=A_1\cos\alphax+A_2\sin\alphax+A_3\cosh\alphax+A_4\sinh\alphax对于\frac{d^4Y(y)}{dy^4}+\beta^4Y(y)=0，其通解为Y(y)=B_1\cos\betay+B_2\sin\betay+B_3\cosh\betay+B_4\sinh\betay根据四边简支矩形薄板的边界条件，在x=0和x=a边界上，W=0，\frac{\partial^2W}{\partialx^2}=0；在y=0和y=b边界上，W=0，\frac{\partial^2W}{\partialy^2}=0。将这些边界条件代入W(x,y)=X(x)Y(y)，可得：X(0)=0，X(a)=0，X''(0)=0，X''(a)=0Y(0)=0，Y(b)=0，Y''(0)=0，Y''(b)=0通过这些边界条件确定A_1、A_2、A_3、A_4、B_1、B_2、B_3、B_4的值。经计算可得A_1=A_3=0，A_2\sin\alphaa+A_4\sinh\alphaa=0，-A_2\alpha^2\sin\alphaa-A_4\alpha^2\sinh\alphaa=0，要使A_2、A_4不全为零，则\sin\alphaa=0，即\alpha=\frac{m\pi}{a}，m=1,2,3,\cdots同理可得\beta=\frac{n\pi}{b}，n=1,2,3,\cdots将\alpha=\frac{m\pi}{a}，\beta=\frac{n\pi}{b}代入\alpha^4+2\alpha^2\beta^2+\beta^4=\frac{\rhoh\omega^2}{D}，得到频率方程：\omega_{mn}^2=\frac{\pi^4D}{\rhoh}(\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2})^2，m=1,2,3,\cdots，n=1,2,3,\cdots其中\omega_{mn}为矩形薄板的固有频率，不同的m、n组合对应不同的振动模态。例如，当m=1，n=1时，对应基频振动模态；当m=2，n=1时，对应另一高阶振动模态。不同振动模态下，矩形薄板的振动形态各不相同，通过频率方程可以准确计算出各阶固有频率，为分析矩形薄板的自由振动特性提供了重要依据。4.1.2模态叠加法模态叠加法是基于线性系统的叠加原理，适用于求解弹性矩形板的强迫振动问题。其基本原理是将弹性矩形板的振动响应表示为各阶固有模态的线性组合。在实际工程中，如建筑结构中的楼板、桥梁结构中的桥面板等，都会受到各种动态荷载的作用，模态叠加法能够有效地分析这些结构在动态荷载下的响应。对于受动态载荷q(x,y,t)作用的弹性矩形板，其动力平衡方程为D(\frac{\partial^4w}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4w}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4w}{\partialy^4})+\rhoh\frac{\partial^2w}{\partialt^2}=q(x,y,t)假设板的位移w(x,y,t)可以表示为各阶模态的叠加，即w(x,y,t)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}W_{mn}(t)\phi_{mn}(x,y)，其中W_{mn}(t)为第m阶和第n阶模态的时间相关系数，\phi_{mn}(x,y)为第m阶和第n阶模态的振型函数。各阶振型函数\phi_{mn}(x,y)满足自由振动方程D(\frac{\partial^4\phi_{mn}}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4\phi_{mn}}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4\phi_{mn}}{\partialy^4})-\rhoh\omega_{mn}^2\phi_{mn}=0，并且满足相应的边界条件。以四边简支矩形板为例，振型函数\phi_{mn}(x,y)=\sin\frac{m\pix}{a}\sin\frac{n\piy}{b}，m=1,2,\cdots，n=1,2,\cdots，其中a和b分别为矩形板的长和宽。将w(x,y,t)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}W_{mn}(t)\phi_{mn}(x,y)代入动力平衡方程，可得：D\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{\partial^4\phi_{mn}}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4\phi_{mn}}{\partialx^2\partialy^2}+\frac{\partial^4\phi_{mn}}{\partialy^4})W_{mn}(t)+\rhoh\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d^2W_{mn}(t)}{dt^2}\phi_{mn}(x,y)=q(x,y,t)利用振型函数的正交性，即\iint_{A}\phi_{mn}(x,y)\phi_{pq}(x,y)dxdy=\begin{cases}0,&(m,n)\neq(p,q)\\N_{mn},&(m,n)=(p,q)\end{cases}，其中A为矩形板的面积，N_{mn}为归一化常数。将上式两边同时乘以\phi_{pq}(x,y)，并在矩形板的面积A上进行积分，可得：D\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\iint_{A}(\frac{\partial^4\phi_{mn}}{\partialx^4}+2\frac{\partial^4\phi_{mn}}