2025高三数学秋季真题及答案

2025高三数学秋季真题及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.若集合A={x|x²-3x+2≥0},B={x|2≤x<4},则A∩B=?(A){x|x≥4}(B){x|x≤1或x≥2}(C){x|2≤x<4}(D){x|1<x<4}2.复数z=(2+i)/i(i为虚数单位)的实部是？(A)-1(B)1(C)-2(D)23.“x>1”是“x²>1”的？(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是？(A)π(B)2π(C)π/2(D)4π5.已知向量a=(1,k),b=(-2,4),若a⊥b,则实数k的值是？(A)-2(B)-4(C)2(D)46.等差数列{a<0xE2><0x82><0x99>}的首项a₁=1,公差d=2,则其前10项和S₁₀=?(A)100(B)110(C)120(D)1307.不等式|x-1|<2的解集是？(A)(-1,3)(B)(-1,1)(C)(1,3)(D)(-3,1)8.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，两次出现的点数之和为5的概率是？(A)1/6(B)1/12(C)5/36(D)7/369.圆心在直线x-y=0上，且与直线x+y-4=0相切的圆的方程是？(A)(x-1)²+(y+1)²=2(B)(x+1)²+(y-1)²=2(C)(x-2)²+(y-2)²=2(D)(x+2)²+(y+2)²=210.函数g(x)=eˣ-x在区间(0,+∞)上的单调性是？(A)单调递增(B)单调递减(C)先增后减(D)先减后增二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。）11.若直线l:ax+3y-6=0与直线2x-(a+1)y+1=0平行，则实数a的值是__________。12.已知函数f(x)=log<0xE2><0x82><0x98>(x+1)，则其定义域是__________。13.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则该圆锥的侧面积是__________。14.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3,b=4,C=60°，则边c的长是__________。15.执行如下算法程序：S=0i=1WHILEi≤100S=S+i²i=i+2Wend最后S的值是__________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x³-3x+1。(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。17.(本小题满分12分)已知数列{a<0xE2><0x82><0x99>}是等比数列，a₂=6,a₅=162。(1)求数列{a<0xE2><0x82><0x99>}的通项公式；(2)设b<0xE2><0x82><0x99>=log<0xE2><0x82><0x98>a<0xE2><0x82><0x99>(k为常数)，求数列{b<0xE2><0x82><0x99>}的前n项和S<0xE2><0x82><0x99>。18.(本小题满分12分)已知点A(1,2)，点B(3,0)，向量p=(1,-1)，向量q与p垂直，且|q|=2√2。(1)求向量q的坐标；(2)若直线l经过点A，且与向量q平行，求直线l的方程。19.(本小题满分14分)已知圆C的方程为x²+y²-4x+6y-3=0。(1)求圆C的圆心和半径；(2)直线l:y=kx-1与圆C相切，求实数k的值。20.(本小题满分15分)在一个袋子中装有若干个只有颜色不同的球，其中红球比白球多3个，现从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再随机摸出1个球。已知两次都摸到红球的概率是9/40。(1)求袋中红球和白球各有多少个；(2)求袋中球的总数。21.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x³-3x²+2。(1)求函数f(x)的极值点；(2)证明：对任意x₁,x₂∈R，且x₁≠x₂，都有|f(x₁)-f(x₂)|≤3|x₁-x₂|。---试卷答案一、选择题1.C2.B3.A4.A5.C6.C7.C8.A9.C10.A二、填空题11.-612.(-1,+∞)13.15π14.515.338350三、解答题16.(1)函数f(x)的导数f'(x)=3x²-3。令f'(x)>0，得x²-1>0，解得x<-1或x>1。故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)。(2)由(1)知，f(x)在[-2,-1]和[1,2]上单调递增，在[-1,1]上单调递减。计算f(-2)=(-2)³-3(-2)+1=-8+6+1=-1，f(-1)=(-1)³-3(-1)+1=-1+3+1=3，f(1)=1³-3(1)+1=1-3+1=-1，f(2)=2³-3(2)+1=8-6+1=3。故函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值是3，最小值是-1。17.(1)设数列{a<0xE2><0x82><0x99>}的公比为q。由a₂=6,a₅=162，得a₁q=6,a₁q⁴=162。两式相除，得q³=27，解得q=3。将q=3代入a₁q=6，得a₁=2。故数列{a<0xE2><0x82><0x99>}的通项公式为a<0xE2><0x82><0x99>=2*3<0xE2><0x82><0x99>-1=2<0xE2><0x82><0x99>+1。(2)由(1)知a<0xE2><0x82><0x99>=2<0xE2><0x82><0x99>+1。故b<0xE2><0x82><0x99>=log<0xE2><0x82><0x98>a<0xE2><0x82><0x99>=log<0xE2><0x82><0x98>(2<0xE2><0x82><0x99>+1)=k*(2<0xE2><0x82><0x99>+1)。数列{b<0xE2><0x82><0x99>}是一个首项为k*3=3k，公比为2的等比数列。故数列{b<0xE2><0x82><0x99>}的前n项和S<0xE2><0x82><0x99>=3k*(2ⁿ⁻¹-1)/(2-1)=3k*(2ⁿ⁻¹-1)。18.(1)设向量q=(x,y)。由向量q与p=(1,-1)垂直，得x*1+y*(-1)=0，即x-y=0。由|q|=2√2，得x²+y²=(2√2)²=8。联立方程组{x-y=0,x²+y²=8}，解得{x=2,y=2}或{x=-2,y=-2}。故向量q的坐标为(2,2)或(-2,-2)。(2)直线l经过点A(1,2)，且与向量q平行。设直线l的方程为x-y+m=0。将点A(1,2)代入方程，得1-2+m=0，解得m=1。故直线l的方程为x-y+1=0。19.(1)圆C的方程为x²+y²-4x+6y-3=0。配方，得(x-2)²+(y+3)²=16。故圆C的圆心为(2,-3)，半径为4。(2)直线l:y=kx-1与圆C相切，则圆心(2,-3)到直线l的距离d等于半径4。由点到直线的距离公式，得d=|2k*2+(-3)*(-1)-1|/√(k²+1)=|4k+2|/√(k²+1)=4。两边平方，得(4k+2)²=16(k²+1)，即16k²+16k+4=16k²+16。解得k=3/4。故实数k的值为3/4。20.(1)设袋中有红球R个，白球W个。由红球比白球多3个，得R=W+3。从袋中随机摸出1个球，摸到红球的概率为R/(R+W)。两次都摸到红球的概率为(R/(R+W))*(R/(R+W))=9/40。代入R=W+3，得((W+3)/(2W+3))²=9/40。解得(W+3)/(2W+3)=3/√10或(W+3)/(2W+3)=-3/√10(舍去)。故R=W+3=3√10/(2√10-3)=3√10/(2√10-3)*(2√10+3)/(2√10+3)=30√10+9√10=39√10。W=(3√10-9√10)/(2√10-3)=-6√10/(2√10-3)*(2√10+3)/(2√10+3)=-12√10-18√10=-30√10。由于球的数量必须为正整数，此解不合题意。重新检查方程((W+3)/(2W+3))²=9/40，设p=R/(R+W)，则p²=9/40，p=3/√10。故R=3√10，W=√10。袋中红球有3√10个，白球有√10个。(2)袋中球的总数为R+W=3√10+√10=4√10。21.(1)函数f(x)=x³-3x²+2。求导数，得f'(x)=3x²-6x。令f'(x)=0，得3x(x-2)=0，解得x=0或x=2。列表分析：x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗故函数f(x)的极大值点为0，极小值点为2。(2)要证明|f(x₁)-f(x₂)|≤3|x₁-x₂|对任意x₁,x₂∈R，且x₁≠x₂成立，即证明|f(x₁)-f(x₂)|/|x₁-x₂|≤3。根据拉格朗日中值定理，存在ξ介于x₁和x₂之间，使得f(x₁)-f(x₂)=f'(\xi)*(x₁-x₂)。故|f(x₁)-f(x₂)|/|x₁-x₂|=|f'(\xi)|。由(1)知f'(x)=3x-6。故|f'(\xi)|=|3\xi-6|=3