内蒙古自治区锡林郭勒盟2025-2026学年高二上学期1月期末学业质量测试数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页内蒙古自治区锡林郭勒盟2025-2026学年高二上学期1月期末学业质量测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设x∈R，向量a=1,x,3，b=2,A．−4 B．−3 C．−22．已知等差数列an中，a1+a8A．4 B．3 C．1 D．−3．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1DA．a+b+c B．−a+4．已知直线l:kx−y−k−2A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定5．已知点Ma,b在直线l:xA．1 B．2 C．5 D．56．曲线x225+y2A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等7．如图，正方体ABCD−A1B

A．1 B．12 C．22 8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数m=3，根据上述运算法则得出3→10→5→16→8→4→2→A．2 B．15 C．3 D．16二、多选题9．已知P为双曲线x2−y224=1A．4 B．5 C．6 D．710．（多选）如图，棱长均为2的正三棱柱ABC−A1B1

A．异面直线AN与A1B．B1C1C．平面A1CD．点B到平面A1M11．某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台O的北偏东45∘方向402m处设立观测点A，在平台O的正西方向240m处设立观测点B，已知经过O，A，B三点的圆为圆C，规定圆C及其内部区域为安全预警区.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台O的正南方向A．观测点A,BB．圆C的方程为xC．小汽车行驶路线所在直线的方程为yD．小汽车会进入安全预警区三、填空题12．在等比数列an中，若a1=113．已知四面体ABCD棱长均为2，点E，F分别是BC、A14．已知双曲线C：x24−y2=1，A，B分别为它的左右顶点，P为C上异于A，B的任意一点，且P关于x轴对称的点为Q，直线AP与四、解答题15．记sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，若(1)求数列an(2)求使Sn<a16．已知坐标平面内一动点P到定点1,0的距离等于到定直线(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)设O为坐标原点，过4,0点的直线l交E于P,17．已知数列an满足a(1)证明：数列an−n(2)求数列a2n的前n项和18．如图1，△ABC是底边为2的等腰三角形，且BA=BC=3，△DAC为等腰直角三角形，∠CDA(1)证明：AC(2)当平面PAC⊥平面ACB(3)若直线PC与AB所成角的余弦值为64时，设平面PAC与平面A19．已知椭圆E的左､右焦点分别为F1−1,0,F21,0，且椭圆E过点P1,

(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l1与x轴不重合，求△O(3)求证：直线MN答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《内蒙古自治区锡林郭勒盟2025-2026学年高二上学期1月期末学业质量测试数学试题》参考答案题号12345678910答案CBBACDCBCDACD题号11答案BCD1．C【分析】根据两个向量平行的坐标表示，列方程求解即可.【详解】利用向量共线的充要条件求解即可.因为向量a=1,x,3，b=所以12=x−4=3故选：C.2．B【分析】根据等差数列性质求解可得.【详解】等差数列an中，因为a所以a2+a故选：B3．B【分析】结合图形，由空间向量的加法法则求解即可；【详解】由题意可得BD故选：B.4．A【分析】先确定直线过定点，再根据点与圆的位置关系进行判断.【详解】因为直线l：kx−y−k所以直线l经过定点P1因为12+(−2)2所以直线l与圆C：x2故选：A5．C【分析】结合a2+b【详解】a2+b点M到原点距离的最小值为原点到直线l的距离d=故选：C6．D【分析】根据椭圆的性质求出两个椭圆的a,【详解】曲线x225+曲线x225−k+故两椭圆的焦距相等，长轴长、短轴长、离心率不一定相等．故选：D.7．C【分析】先证明AA1//平面BDD1B1【详解】因为AA1//BB1，AA1⊄平面B所以异面直线AA1与BD1的距离与直线即点A到平面BDD1B1的距离，如图连接AC，因为DD1⊥平面ABCD

又因为BD∩DD1所以AO⊥平面BDD1B1又因为AO=BD2=故选：C8．B【分析】根据运算规则进行逆向运算推导即可.【详解】若a8=1，则a若a5=8，则a当a3=32时，a当a3=5时，a若a5=1，则a当a2=8当a2=1故a8=1故选：B9．CD【分析】由题意，根据双曲线的方程可得a=1,【详解】由已知可得：a所以a=所以P故选：CD10．ACD【分析】以AC中点O为原点，分别以OB,OC所在直线为x,y【详解】如图根据正三棱柱的性质，以AC中点O为原点，分别以OB,OC所在直线为x,y

则A0,−1,0，B3,0,0，C所以AN=3,1,1，B设平面A1CM则n⋅A1C=对于A，因为AN⋅A对于B，因为B1C1⋅n对于C，解法一：因为MC=−32由MC⋅A又AB∩AA1=A所以MC=−由MC⋅n=−解法二：因为AA1⊥平面ABC，M又因为三角形ABC为等边三角形，且M为AB又因为AA1∩AB又因为MC⊂平面A1CM对于D，解法一：因为平面A1CM的一个法向量为n所以点B到平面A1CM解法二：因为M为AB中点，所以点B到平面A1MC的距离为点由选项C，平面A1CM⊥平面AB易知直角三角形A1AM全等于直角三角形A所以∠NAB由选项C，平面A1CM⊥平面ABB1A1所以AN⊥平面设AN与A1M交于H，则点A到平面A在直角三角形A1AM又A1M=故选：ACD11．BCD【分析】对于A，由题意可得点A,B的坐标，结合两点间的距离公式计算即可验证；对于B，结合A,B,O三点坐标，利用待定系数法求解圆【详解】由题意,得A40,40,B−240,0设圆C的方程为x2+y2+所以F=040所以圆C的方程为x2小汽车行驶路线所在直线的斜率为−1,又点P的坐标是0,−圆C化成标准方程为x+1202+y圆心C到直线y=−x所以直线y=−x故选：BCD.12．2【分析】根据等比数列的通项公式，即可求解.【详解】由题意可知，a4a1故答案为：213．1【分析】根据数量积的运算律及定义计算可得.【详解】解：因为点E，F分别是BC、A所以AE=1ABAC所以AE故答案为：114．x24+y2【分析】利用斜率乘积为定值来求动点M的轨迹，即可求解.【详解】由题意知，A，M，P三点共线，M，B，Q三点共线，设直线BQ的斜率为kBQ，直线PB的斜率为kP直线kBQMA的斜率为kMA因为P，Q关于x轴对称，所以kB所以kM设M、P坐标分别为Mx,y则x024−y02由已知，A-所以=kPA⋅−所以kMA⋅M的轨迹为以A,B为顶点的椭圆（去掉A，所以M的轨迹方程为：x24+y2故答案为：x2415．(1)a(2)n=2【分析】（1）设等差数列的首项为a1，公差为d（2）由等差数列的求和公式求得Sn，由Sn<【详解】（1）设等差数列的首项为a1，公差为d由S7=7a1又因为a3=2，所以d数列的通项公式为：an（2）由等差数列的前n项和公式可得：Sn则不等式Sn<an，即：解得：1<n<4，又n为正整数，故16．(1)y(2)证明见解析【分析】（1）由抛物线的定义即可求出抛物线方程；（2）分两类情况第一种：直线l垂直于x轴，其方程为x=4，l与E联立得方程，再结合第二种：直线l：y=k(x-4)【详解】（1）由抛物线定义可知，P点轨迹为以1,以x=设E的方程为：y2=2所以动点P的轨迹E的方程为y2（2）证明：设P(分两类情况：第一种：直线l垂直于x轴，其方程为x=联立y2=4此时OP所以OP⊥O第二种：直线l：y=kx−4k2x1y12=4x又因为y1与y2异号，y1因为OP所以OP所以△OP17．(1)证明见解析，an=(2)Tn=【分析】（1）递推公式可变形为an（2）利用等差数列和等比数列的前n项和公式，分组求和即可.【详解】（1）因为an+1则an又a1−1=2，所以a所以an−n=2（2）由（1）得a2n=则a2n的前n===4n+18．(1)证明见解析；(2)13(3)24【分析】（1）取AC中点为E，连接PE，BE，易得P（2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，求出直线PB与平面A（3）构建合适的空间直角坐标系，设∠BEP=θ【详解】（1）取AC中点为E，连接PE，∵PA=P∴PE⊥A又PE∩BE=E，∴AC⊥平面PBE，又∴AC（2）∵平面PAC⊥平面ACB，平面PAC∩平面∴PE⊥平面ACB，易知EA以E为原点，以{E∴A(1,0,0)，B(∴PB=(0,设平面ACF的法向量为m=取y1=−∴cosP设直线PB与平面ACF所成角为θ，则sin∴直线PB与平面ACF（3）以E为原点，以EA为x轴，EB为y轴，垂直于平面AB∵△DAC为等腰三角形，∴EP=1，则A(1设∠BEP=θ，则P故cosP∴cosθ=−24∴cosα19．(1)x(2)3(3)证明见解析，4【分析】（1）由题意可得c=1，利用椭圆的定义可求得a=2，进而可求得（2）设直线AB的方程为：x=my+（