2026年广州中考数学知识体系构建试卷（附答案可下载）

2026年广州中考数学知识体系构建试卷（附答案可下载）考试时间：120分钟满分：150分（以知识体系为框架，串联数与代数、图形与几何、统计与概率核心模块，强化知识关联与体系应用）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。覆盖三大知识模块基础考点，构建知识网络节点）1.下列说法正确的是（）【数与代数·实数体系：实数分类、无理数定义及性质】A.有理数与无理数统称实数B.无限小数是无理数C.√3是分数D.0没有立方根2.下列运算正确的是（）【数与代数·整式与分式体系：幂的运算、同类项合并】A.(2a²)³=6a⁶B.a³·a⁴=a⁷C.3a+2b=5abD.a⁸÷a²=a⁴3.如图，由几个相同的小正方体搭成的几何体，其主视图和左视图都是长方形，则搭成该几何体的小正方体个数最少为（）【图形与几何·视图与投影体系：三视图特征、几何体搭建】A.2B.3C.4D.54.已知一次函数y=-x+3，下列说法错误的是（）【数与代数·函数体系：一次函数图象与性质，函数与方程、不等式关联】A.图象过点（3，0）B.y随x增大而减小C.图象与y轴交于正半轴D.图象与直线y=x+3平行5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数为（）【图形与几何·三角形体系：等腰三角形性质、角平分线定义、三角形内角和】A.70°B.75°C.80°D.85°6.关于x的一元二次方程x²-4x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为（）【数与代数·方程与不等式体系：一元二次方程根的判别式，方程与函数的联系】A.2B.4C.8D.167.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠BCD=30°，则∠ABD的度数为（）【图形与几何·圆体系：圆周角定理、直径所对圆周角的性质】A.30°B.45°C.60°D.70°8.反比例函数y=-8/x的图象上有两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），若x₁<0<x₂，则y₁与y₂的大小关系是（）【数与代数·函数体系：反比例函数图象性质，象限内增减性】A.y₁>y₂B.y₁=y₂C.y₁<y₂D.无法确定9.某校随机抽取50名学生进行体能测试，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中A等级有15人，B等级有20人，C等级有10人，则D等级的频率为（）【统计与概率·统计体系：频率的计算，统计量的关联】A.0.1B.0.2C.0.3D.0.410.二次函数y=x²-2x-3的图象与x轴的交点个数及顶点坐标分别为（）【数与代数·函数体系：二次函数与一元二次方程的关系，顶点坐标求解】A.1个，（1，-4）B.2个，（1，-4）C.1个，（-1，-4）D.2个，（-1，-4）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。强化模块内知识关联，夯实体系基础）11.计算：√27-√3+(π-2026)⁰-(1/2)⁻¹=________。【数与代数·实数与整式体系：二次根式运算、零指数幂、负指数幂关联】12.因式分解：2x³-8x=________。【数与代数·整式体系：因式分解的步骤（提公因式+公式法）】13.若分式(x²-4)/(x-2)的值为0，则x的值为________。【数与代数·分式体系：分式值为0的条件与分式有意义的条件关联】14.菱形的边长为5，一条对角线长为8，则该菱形的面积为________。【图形与几何·四边形体系：菱形性质、勾股定理关联应用】15.一个扇形的圆心角为90°，半径为8，则该扇形的弧长为________（结果保留π）。【图形与几何·圆体系：扇形弧长公式与圆周长公式关联】16.点P（3，-2）关于x轴对称的点Q的坐标为________，直线PQ与x轴的位置关系是________。【图形与几何·图形变换体系：对称点坐标规律与直线位置关系关联】三、解答题（本大题共9小题，共102分。串联模块知识，构建完整解题逻辑，强化体系应用能力）17.（9分）计算：|√5-2|+2cos45°-(√3)²+√45。【数与代数·实数运算体系：绝对值、特殊角三角函数、二次根式、乘方运算的综合应用】18.（9分）解分式方程：2/(x-1)+1=x/(x²-1)。【数与代数·方程体系：分式方程解法与整式方程（一元一次方程）的转化，验根流程】19.（10分）先化简，再求值：(x/(x-1)-1/(x²-x))÷(x+1)/x，其中x=√2。【数与代数·分式与整式体系：分式化简（通分、约分）与二次根式求值的综合】20.（10分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接DE、BF。求证：四边形DEBF是平行四边形。【图形与几何·四边形体系：平行四边形的性质与判定定理的关联应用】21.（12分）某中学为了解学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果分为“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图。【统计与概率·统计体系：条形统计图与扇形统计图的互补，样本估计总体的逻辑】（1）本次共调查了多少名学生？（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中“良好”等级对应的圆心角度数。（3）若该校共有1200名学生，估计对“垃圾分类”知识掌握为“优秀”的学生有多少名？22.（12分）如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OB交⊙O于点C，过点A作AD⊥OB于点D，连接AC。求证：AC平分∠DAB。【图形与几何·圆与三角形体系：切线性质、等腰三角形性质、角平分线判定的综合】23.（12分）某商店购进一批进价为30元/件的商品，售价为x元/件，每天的销售量为（100-x）件，设每天的利润为y元。【数与代数·函数与方程体系：二次函数实际应用（利润问题）与一元二次不等式的关联】（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。（2）当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？（3）若每天的利润不低于1200元，求售价x的取值范围。24.（14分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A出发，沿AB向点B运动，速度为每秒1个单位长度，同时动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，速度为每秒2个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动。设运动时间为t秒。【图形与几何·三角形与函数体系：勾股定理、动点问题、二次函数最值的综合构建】（1）求AB的长。（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？（3）求△PBQ面积的最大值及此时t的值。25.（14分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），点P是抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E。【数与代数·函数与图形与几何·坐标体系：二次函数解析式求解、一次函数与二次函数关联、面积最值的综合体系】（1）求该二次函数的解析式。（2）求直线BC的解析式。（3）当点P在对称轴右侧时，求PE的最大值及此时点P的坐标。（4）是否存在点P，使△PCE为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。参考答案（附知识体系梳理）一、选择题（每小题3分，共30分）1.A解析：B项无限循环小数是有理数；C项√3是无理数，不是分数；D项0的立方根是0；A项正确。（知识体系：实数体系核心，有理数与无理数的分类关联，构建实数概念网络）2.B解析：A项积的乘方得8a⁶；C项3a与2b不是同类项，无法合并；D项同底数幂相除得a⁶；B项正确。（知识体系：整式运算体系，幂的运算法则与同类项合并规则的关联应用）3.A解析：底层2个小正方体分两行一列摆放，上层1个放在任意一个上方，主视图和左视图均为长方形，最少2个。（知识体系：视图与投影体系，三视图特征与几何体搭建的逻辑关联）4.D解析：A项当x=3时，y=0，图象过（3，0）；B项k=-1<0，y随x增大而减小；C项b=3>0，与y轴交于正半轴；D项两直线k值不同（-1与1），不平行。（知识体系：一次函数体系，k、b的意义与直线平行条件的关联）5.D解析：AB=AC，∠ABC=∠ACB=(180°-40°)/2=70°，BD平分∠ABC，∠ABD=35°，∠BDC=∠A+∠ABD=40°+35°=75°？修正：∠BDC=180°-∠DBC-∠ACB=180°-35°-70°=75°。（知识体系：等腰三角形性质、角平分线、三角形内角和与外角性质的体系串联）6.B解析：一元二次方程有两个相等实数根，Δ=(-4)²-4m=0，解得m=4。（知识体系：方程与函数体系，判别式与方程根的关系，构建方程与函数的关联桥梁）7.C解析：AB是直径，∠BAD=∠BCD=30°（同弧所对圆周角相等），∠ADB=90°，∠ABD=60°。（知识体系：圆体系，圆周角定理、直径所对圆周角为直角的性质关联）8.A解析：k=-8<0，图象在第二、四象限，x₁<0时y₁>0，x₂>0时y₂<0，故y₁>y₂。（知识体系：反比例函数体系，k值符号与象限分布、增减性的关联）9.A解析：D等级人数=50-15-20-10=5，频率=5/50=0.1。（知识体系：统计体系，频率与频数、总数的关系，统计量的核心关联）10.B解析：Δ=(-2)²-4×1×(-3)=16>0，与x轴有2个交点；配方得y=(x-1)²-4，顶点坐标（1，-4）。（知识体系：二次函数与一元二次方程的关联体系，顶点式与判别式的综合应用）二、填空题（每小题3分，共18分）2√3-1解析：√27=3√3，3√3-√3=2√3；零指数幂得1，负指数幂(1/2)⁻¹=2，故2√3+1-2=2√3-1。（知识体系：实数运算体系，二次根式、零指数幂、负指数幂的综合运算关联）2x(x+2)(x-2)解析：先提公因式2x，得2x(x²-4)，再用平方差公式分解为2x(x+2)(x-2)。（知识体系：整式因式分解体系，提公因式法与公式法的步骤关联）-2解析：分子x²-4=0得x=±2，分母x-2≠0得x≠2，故x=-2。（知识体系：分式体系，分式值为0与有意义条件的关联辨析）24解析：菱形对角线垂直平分，另一条对角线一半=√(5²-4²)=3，对角线长6，面积=（8×6）/2=24。（知识体系：四边形体系，菱形性质与勾股定理的关联应用）4π解析：弧长公式l=(nπr)/180，代入n=90°、r=8，得(90π×8)/180=4π。（知识体系：圆体系，扇形弧长与圆周长公式的关联推导）（3，2），垂直解析：关于x轴对称，横不变纵相反；PQ垂直于x轴。（知识体系：图形变换体系，对称点坐标规律与直线位置关系的关联）三、解答题（共102分）17.解：原式=√5-2+2×(√2/2)-3+3√5（4分；知识体系：实数运算体系，绝对值化简（√5>2）、cos45°=√2/2、二次根式化简的综合关联）=√5-2+√2-3+3√5（2分）=4√5+√2-5（3分；知识体系：同类二次根式合并与有理数加减的运算逻辑）18.解：最简公分母为(x+1)(x-1)（1分；知识体系：分式方程与整式方程转化，平方差公式因式分解确定公分母）去分母得2(x+1)+(x+1)(x-1)=x（2分；知识体系：分式方程去分母法则，每一项均乘公分母）2x+2+x²-1=x，x²+x+1=0（3分；知识体系：一元二次方程整理步骤）Δ=1-4=-3<0，故原方程无解（3分；知识体系：分式方程验根与一元二次方程判别式的关联，无实根则原方程无解）19.解：原式=[x²/(x(x-1))-1/(x(x-1))]÷(x+1)/x（2分；知识体系：分式通分，分母因式分解的关联）=(x²-1)/(x(x-1))×x/(x+1)=(x+1)(x-1)/(x(x-1))×x/(x+1)=1（5分；知识体系：分式约分，平方差公式的应用，化简逻辑）当x=√2时，原式=1（3分；知识体系：分式化简后求值，与二次根式的关联，简化计算）20.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD（3分；知识体系：平行四边形性质体系，对边平行且相等）E、F是AB、CD中点，∴BE=1/2AB，DF=1/2CD，∴BE=DF（4分；知识体系：中点定义与平行四边形对边的关联）又∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形（3分；知识体系：平行四边形判定体系，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）21.解：（1）由条形图知“优秀”12人，占扇形图20%，总人数=12÷20%=60（名）（3分；知识体系：统计体系，条形图与扇形图的互补，部分数与百分比求总数）（2）“不合格”人数=60-12-24-18=6（名），补全条形图（略）；“良好”圆心角=360°×(24/60)=144°（5分；知识体系：统计量计算，百分比转化为圆心角，补全图表的逻辑）（3）“优秀”人数估计=1200×20%=240（名）（4分；知识体系：统计体系，样本估计总体的核心逻辑）22.证明：∵AB是⊙O切线，∴OA⊥AB，∠OAB=90°（3分；知识体系：圆体系，切线性质定理，切线垂直于过切点的半径）AD⊥OB，∴∠ADO=90°，∠OAD+∠AOD=90°，∠OAC+∠CAB=90°（4分；知识体系：三角形体系，直角三角形两锐角互余）OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，又∠OCA=∠BCD（对顶角），∠AOD=∠BOC，∴∠OAD=∠CAB（3分；知识体系：等腰三角形性质与对顶角相等的关联）即AC平分∠DAB（2分；知识体系：角平分线定义，圆与三角形性质的综合关联）23.解：（1）y=(x-30)(100-x)=-x²+130x-3000（3分；知识体系：函数与方程体系，利润公式与二次函数的转化）自变量取值范围：30<x<100（1分；知识体系：实际意义限制，售价>进价，销量>0）（2）y=-(x-65)²+1225（3分；知识体系：二次函数配方法，顶点式与最值的关联）当x=65时，最大利润=1225元（2分；知识体系：二次函数最值，a<0时有最大值）（3）令y≥1200，得-(x-65)²+1225≥1200，解得60≤x≤70（3分；知识体系：二次函数与一元二次不等式的关联，求解取值范围）24.解：（1）AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10（2分；知识体系：三角形体系，勾股定理的应用）（2）AP=t，PB=10-t，BQ=2t，QC=8-2t（t≤4）（1分；知识体系：动点问题，路程=速度×时间的关联）①∠PQB=90°：cosB=BQ/PB=BC/AB=4/5，即2t/(10-t)=4/5，解得t=2