安徽省滁州市2025-2026学年高三（上）期末模拟数学试卷4（含答案）

安徽省滁州市2025-2026学年高三（上）期末模拟数学试卷4一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足(1+i)⋅z=3-i，则z=(

)A.2+i B.2-i C.1+2i D.1-2i2.已知α，β∈R，则“α+β2=π2+kπ(k∈Z)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知全集U=R，集合A=x|x2-x-6>0，B=x∈Z|A.-1,3 B.-1,3 C.-1,0,1,2,3 D.0,1,2,34.已知sin(α+π6)=4A.6365 B.3365 C.16655.函数f(x)=|x2-1|A. B.

C. D.6.我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后灭称该“弦图”为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.若AE=3，DE=4，M为正方形EFGH及其内部的动点，则(MA+MB)⋅ABA.[-52,52]B.[-7.已知圆O：x2+y2=4，直线2x-y+a=0上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB=60°，则A.[-4,4] B.(-∞,4] C.[-45,48.在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°.将菱形沿对角线AC折叠成大小为30°的二面角B'-AC-D.若点E为B'C的中点，F为三棱锥B'-ACD表面上的动点，且总满足AC⊥EF，则点F轨迹的长度为(

)A.4+6-22 B.4+二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(1,-1,2)是平面α的一个法向量，O是空间直角坐标系Oxyz的坐标原点，A，B两点的坐标分别为(-1,1,4)，(-2,2,4)，且点A在平面α内，则(

)A.|AB|=2 B.直线OB与平面α平行

C.直线OA与平面α所成角的正弦值为33 D.点B10.把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若中间层旋转角x(x为锐角)，记表面积增加量为S=f(x)，则下列说法正确的是(

)A.f(π6)=4-233 B.f(x)的图象关于直线x=π4对称

11.已知点F(2,0)，直线l：x=8，O为坐标原点，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是(

)A.点P的轨迹方程是x216+y212=1

B.直线l：x+2y+8=0是“最远距离直线”

C.满足|OP|=2的点P有且仅有4个

D.若点P形成的轨迹为曲线Γ，且矩形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，若AF⊥BF，设13.现有一块长为22cm，宽和高均为3cm的长方体木料，如图1所示.工人将其切掉一个四棱柱后，用余下的木料拼接成如图2所示的几何体.已知AP=DS=EP=HS=10cm，BQ=CR=FQ=GR，二面角A-PS-E的大小为120°，则图2所示的几何体的体积为

cm3．

14.已知函数f(x)=ex-1-e1-x,x≤1|x-2|-1,x>1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,bccosA=6,3csin(B+C)=b2

(1)求A；

(2)若b+c=2+216.(本小题15分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=32an-n．

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn=(-1)n17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，DP，DA，DC两两垂直，四边形ABCD是梯形，AB/​/CD，PD=AB=AD=12CD=2，M为棱PC的中点．

(1)设过点A，B，M的平面与棱PD交于点N，求证：AB/​/MN；

(2)在线段PA上是否存在点Q，使得平面BMD与平面BQD的夹角的余弦值为13，若存在，求出点Q18.(本小题17分)

如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22且经过点Q(2,2),F1(-c,0),F2(c,0)是其左、右焦点，直线l：y=kx+t(k>0,t>0)与C相切于点A．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)记F1，F2到直线l的距离分别为d1，d2，请问d1d2是否为定值？如果为定值，求出此定值；如果不为定值，请说明理由；

(3)已知直线x=λ(λ<-a)与x轴交于点P，与l交于点19.(本小题17分)

已知函数f(x)=3x+3-x，g(x)=x2+log3(1+3-x).

(1)用定义证明：函数g(x)在区间(-∞,0]上为减函数，在区间[0,+∞)上为增函数；

(2)答案1.D

2.A

3.C

4.D

5.D

6.C

7.C

8.A

9.ACD

10.BC

11.ABD

12.613.180-914.(-∞,e15.【解】(1)∵A+B+C=π，∴sin(B+C)=sin(π-A)=sinA，

由3csin(B+C)=b2，得bcsinA=23，

∵bccosA=6，∴tanA=sinAcosA=236=33，

∵A∈(0,π)，∴A=π6；

(2)由(1)知，bc=6cosA=632=43，

由余弦定理b2+c2-2bccosA=a2，得(b+c)2-2bc-2bccosA=a2，

∵b+c=2+23，∴a2=(2+23)2-83-12=4，∴a=2，

设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得2R=asinA=212=4，∴R=2，

∴△ABC外接圆的面积为πR2=4π．

16.【解】(1)由Sn=32an-n，①

当n=1时，a1=32a1-1，解得a1=2；

当n≥2时，Sn-1=32an-1-(n-1)，②

①-②可得an=Sn-Sn-1=32an-n-[32an-1-(n-1)]，

整理得a17.(1)证明：取PD中点N'，连接AN'，MN'，如图所示：

M为棱PC的中点，则MN'//CD，MN'=12CD，

又AB/​/CD，AB=12CD=2，

故MN'//AB，MN'=AB，

故ABMN'为平行四边形，所以A，B，M，N'四点共面，

则面ABMN'即为过点A，B，M的平面，

又过点A，B，M的平面与棱PD交于点N，

则点N与点N'重合，故MN//AB；

(2)建立空间直角坐标系，如图所示：

P(0,0,2)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，M(0,2,1)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，

设PQ=λPA,λ∈[0,1]，

PA=(2,0,-2)，PQ=(2λ,0,-2λ)，

故DP=(0,0,2)，DQ=DP+PQ=(2λ,0,2-2λ)，DB=(2,2,0),DM=(0,2,1)，

设平面BMD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，

n1⋅DB=0n1⋅DM=0，即2x1+2y1=02y1+z1=0，

令x1=1，则n1=(1,-1,2)，

同理可得平面BQD的一个法向量为18.【解】(1)由题可得1-b2a2=224a2+2b2=1，解得a2=8b2=4，

所以椭圆方程为x28+y24=1；

(2)d1d2是定值，

由题，设A(xA,yA)，联立x28+y24=1y=kx+t，

化简得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-8=0，

则Δ=(4kt)2-4(1+2k2)(2t2-8)=0，即4+8k2=t2，

又F1(-2,0)，F2(2,0)，y=kx+t，

所以d1=|-2k+t|1+k2，d2=|2k+t|1+k2，

则d1d2=|(-2k+t)(2k+t)|1+k21+k2=|t2-4k2|