2023-2024学年广东深圳百合外国语学校九年级(上)期中数学试题及答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）13分）若，则的值为()23分）下列各组中的四条线段成比例的是()A．1cm，2cm，3cm，4cmB．2cm，3cm，4cm，5cmC．2cm，3cm，4cm，6cmD．3cm，4cm，6cm，9cm33分）如图所示这个几何体的主视图是()43分）某校为了解同学们某季度参与“青年大学习”的时长，从中随机抽取5位同学，统计他们的学习时长（单位：分钟）分别为：75，80，85，90，▲（被污损若该组数据的平均数为82，则这组数据A．7553分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+5＝0，此方程可化为()Ax﹣3）2＝4Bx﹣3）2＝14Cx+3）2＝4Dx+3）2＝1463分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠073分）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为（2，3点E的横坐标为﹣1，则点P的坐标为()B．C.B02）D.83分）如图，在△ABC中，点D为AB边上的一点，DE∥BC，交AC边于点E，EF∥AB，交BC边于93分）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，若树高AB＝2m，树影AC＝3m，树与路灯的水平距离AP＝4.5m，则路灯的高度OP是()103分）如图，△ABC是边长为8的等边三角形，以AC为底边在右侧作等腰三角形ADC，连接BD，交AC于点O，过点D作DF∥AB交AC于点E，交BC于点F，若AD＝5，则DF的长为()二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）113分）有一个数据样本为：3，4，5，5，a，b，c．已知这个样本的众数为4，则这组数据的中位数为.123分）如图，点D、E分别在AB与AC上，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE=1：8，DE＝3，则BC=.133分）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为.143分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，OH＝4，则菱形ABCD的周长153分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是AB的中点，F是线段为.三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）165分）解方程：（1）x2﹣6x﹣4＝0；（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4.177分）人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时是女性；当染色体为XY时是男性，右图为一对夫妻的性染色体遗传图谱.（1）这对夫妻“第一胎为男孩”是事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）“第一胎为女孩”的概率是；（2）这对夫妻计划生两个小孩，请用列表或画树状图的方法求出两个小孩是“一男一女”事件的概率.188分）如图，。ABCD中，过点B作BE⊥CD于E，F为AE上一点，且∠BFE=∠C.（1）求证：△ABF∽△EAD；198分）如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB、CD、EF是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2m，已知AB、CD在灯光下的影长分别为BM=1.6m，DN＝0.6m.（1）请画出路灯O的位置和标杆EF在路灯灯光下的影子；（2）求标杆EF的影长.208分）2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.（1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率；（2）若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？219分）已知（m﹣1）x3+mx25﹣m）x+3＝0为一元二次方程，x1，x2为此方程的解，且x1＜x2，若A（x11B（x2，1）为坐标平面内两点.（1）求m值；（2）求直线AB的表达式；（3）若M、N分别是直线AB上的两个动点，MN＝AB，点M在点N的左边，点C(﹣1，2D（3，3当四边形MNDC周长最小时，写出M点的坐标.2210分）下面是李老师在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答.如图，已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为边AB上一点（不与点A、点B重合先将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H.（1）观察发现写出图1中一个与△AEG相似的三角形：.（2）迁移探究当CF与AD的交点H恰好是AD的中点时，如图2.②求阴影部分的面积.（3）拓展应用当点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上时，直接写出BE的长.一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）13分）若，则的值为()【分析】先把化成+1，再把代入进行计算，即可得出答案.∴=+1＝+1=.故选：D.【点评】此题考查了比例的性质，解题的关键是化成+1.23分）下列各组中的四条线段成比例的是()A．1cm，2cm，3cm，4cmB．2cm，3cm，4cm，5cmC．2cm，3cm，4cm，6cmD．3cm，4cm，6cm，9cm【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案.【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例，不符合题意；B、∵2×5≠3×4，∴四条线段不成比例，不符合题意；C、∵2×6＝3×4，∴四条线段成比例，符合题意；D、∵3×9≠4×6，∴四条线段成比例，不符合题意；故选：C.【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断.33分）如图所示这个几何体的主视图是()【分析】从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案.【解答】解：如图所示的几何体的主视图如下：.故选：D.【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形.43分）某校为了解同学们某季度参与“青年大学习”的时长，从中随机抽取5位同学，统计他们的学习时长（单位：分钟）分别为：75，80，85，90，▲（被污损若该组数据的平均数为82，则这组数据A．75【分析】先根据算术平均数的定义求出被污损的数据，然后根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数解答.【解答】解：∵该组数据的平均数为82，设被污损的数据为x，解得x＝80，∴这组数据为：75，80，85，90，80，∵80出现的次数最多，故选：B.【点评】本题考查了算术平均数以及众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据.53分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+5＝0，此方程可化为()Ax﹣3）2＝4Bx﹣3）2＝14Cx+3）2＝4Dx+3）2＝14【分析】移项，配方，开方，即可得出选项.【解答】解：x2﹣6x+5＝0，x2﹣6x=﹣5，配方得：x2﹣6x+9=﹣5+9，（x﹣3）2＝4，故选：A.【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键.63分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0【分析】由关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，知Δ=22﹣4×k×(﹣1）＞0且k≠0，解之可得答案.【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ=22﹣4×k×(﹣10且k≠0，＞﹣故选：B.【点评】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ=b2﹣4ac有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根.73分）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为（2，3点E的横坐标为﹣1，则点P的坐标为()【分析】根据位似图形的概念得到EF∥OC，DE∥OP，进而证明△CED∽△CPO，△POD∽△PAB，根据相似三角形的性质求出OP，得到答案.【解答】解：∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（2，3∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，∴EF∥OC，DE∥OP，∴△CED∽△CPO，△POD∽△PAB，∴=,=解得：OP＝2，OD=,故选：A.【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出EF∥OC，DE∥OP是解题的关键.83分）如图，在△ABC中，点D为AB边上的一点，DE∥BC，交AC边于点E，EF∥AB，交BC边于点F，若BF：CF＝3：2，AB＝15，则线段BD的长为()【分析】根据EF∥AB，可得，再由DE∥BC，可得==【解答】解：∵EF∥AB，BF：FC＝3：2，∵DE∥BC，∴==∴故选：C.【点评】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键.93分）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，若树高AB＝2m，树影AC＝3m，树与路灯的水平距离AP＝4.5m，则路灯的高度OP是()【分析】证明△ACB∽△PCO，利用相似三角形的性质求解即可.【解答】解：∵AB∥OP，∴=,∴=,故选：C.【点评】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握中心投影的性质，属于中考常考题型.103分）如图，△ABC是边长为8的等边三角形，以AC为底边在右侧作等腰三角形ADC，连接BD，交AC于点O，过点D作DF∥AB交AC于点E，交BC于点F，若AD＝5，则DF的长为()【分析】根据等边三角形和等腰三角形的性质可知BD垂直平分AC，再根据勾股定理求出OD和BO的长，进一步可得BD的长，根据平行线的性质进一步可得DF＝BF，过点F作FH⊥BD于点H，根据等腰三角形的性质可得DH的长，设DF＝x，则FH＝x，根据勾股定理列方程，求解即可.【解答】解：在等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝8，在等腰△ADC中，AD＝DC＝5，∴BD垂直平分AC，根据勾股定理，得OD3，BO=∵DF∥AB，∴DF＝BF，过点F作FH⊥BD于点H，则H是BD的中点，设DF＝x，则FH＝x，根据勾股定理，得，解得x＝或x=﹣4舍去故选：C.==,【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等，熟练掌握这些性质是解题的关键.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）【分析】根据众数的定义可知a，b，c中有2个4，或3个都为4，不能是5，据此即可求解.【解答】解：众数的定义可知a，b，c中有2个4，或3个都为4，则c≤4或c＞5，则中位数为4.故答案为：4.【点评】本题考查了众数的定义，中位数的定义，掌握中位数与众数的定义是解题的关键.123分）如图，点D、E分别在AB与AC上，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，DE＝3，则BC=9.【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，∴=,∴=,故答案为：9.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可得到结论.133分）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为2019.【分析】把x＝3代入方程求出3a﹣b的值，代入原式计算即可求出值.【解答】解：把x＝3代入方程得：9a﹣3b＝6，即3a﹣b＝2，则原式＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣4＝2019.故答案为：2019.【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.143分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，OH＝4，则菱形ABCD的周长为16√5.【分析】由菱形的性质得OA＝OC＝8，OB＝OD，AC⊥BD，再由直角三角形斜边上的中线性质求出BD的长度，然后根据勾股定理求出AB的长，由菱形的周长公式求解即可.【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∵DH⊥AB，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝16√5.故答案为：16√5.【点评】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出BD的长是解题的关键.153分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是AB的中点，F是线段EC上一动点，P为DF的中点，连接PB，则线段PB的最小值为【分析】如图，取CD中点G，连接AG交DE于O，连接BG，根据矩形的性质得到可得AH∥CE，当BP⊥OG时，BP有最小值，即可求解.【解答】解：如图，取CD中点G，连接AG交DE于O，连接BG，∵四边形ABCD是矩形，∵点E是AB中点，点G是CD中点，∴四边形AEGD是矩形，OG即为点P的运动轨迹，∴当BP⊥OG时，BP有最小值，∵2S△ABG＝AG•BH＝AB•EG，∴BH==, 故答案为：.【点评】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键.三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）165分）解方程：（1）x2﹣6x﹣4＝0；（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4.【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可.【解答】解1）x2﹣6x﹣4＝0，x2﹣6x＝4，x2﹣6x+9＝4+9，即（x﹣3）2＝13，∴x﹣3=±,（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4，3x（x﹣22（x﹣23x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，∴（3x﹣2x﹣20，【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.177分）人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时是女性；当染色体为XY时是男性，右图为一对夫妻的性染色体遗传图谱.（1）这对夫妻“第一胎为男孩”是随机事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）“第一胎为女孩”的概率是；（2）这对夫妻计划生两个小孩，请用列表或画树状图的方法求出两个小孩是“一男一女”事件的概率.【分析】（1）根据事件的分类，概率公式求概率即可求解；（2）根据列表法或画树状图法求概率即可求解.【解答】解1）这对夫妻“第一胎为男孩”是随机事件，“第一胎为女孩”的概率是，故答案为：随机（2）方法一：依题意可列表如下：②①男女男男，男女，男女男，女女，女共有4种等可能的结果，其中一男一女的结果有2种，∴P（两个小孩恰好是一男一女）=;方法二：依题意可画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中一男一女的结果有2种，∴P（两个小孩恰好是一男一女）.【点评】本题考查了概率公式求概率，事件的分类，列表法或树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键.188分）如图，。ABCD中，过点B作BE丄CD于E，F为AE上一点，且上BFE＝上C.（1）求证：△ABF∞△EAD；（2）若AB＝3，AD＝2，上BAE＝30。，求BF的长.【分析】（1）由平行四边形的性质结合条件可得到上BAF＝上AED，上AFB＝上EDA，据此即可证得结论；（2）由平行线的性质可知上ABE＝90。，在Rt△ABE中，由含30。角直角三角形的性质及勾股定理可求得AE，再根据相似三角形的性质即可解答.【解答】（1）证明：“四边形ABCD是平行四边形，:ADⅡBC，ABⅡDC，:上C+上EDA＝180。，上BAF＝上AED，“上BFE＝上C，上BFE+上AFB＝180。，:上AFB＝上EDA，:△ABF∞△EAD；（2）解：“ABⅡCD，BE丄CD，:上ABE＝上BEC＝90。，“上BAE＝30。，:,在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，AB＝3，得，解得或-2（不合题意，舍去“△ABF∞△EAD，:，解得，故BF的长为.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.198分）如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB、CD、EF是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2m，已知AB、CD在灯光下的影长分别为BM=1.6m，DN＝0.6m.（1）请画出路灯O的位置和标杆EF在路灯灯光下的影子；（2）求标杆EF的影长.【分析】解此题要借助于相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，还要注意数形结合思想与方程思想的应用.【解答】解1）如图.（2）过O作OH⊥MG于点H，设DH＝xm，由AB∥CD∥OH得，解得x＝1.2.设FG＝ym，同理得，解得y＝0.4.所以EF的影长为0.4m.【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了方程的思想.208分）2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.（1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率；（2）若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，利用6月份的销售量＝4月份的销售量×（1+该品牌头盔销售量的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（2）设该品牌头盔的售价定为y元/个，则每个头盔的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为（700﹣10y）个，利用月销售利润＝每个头盔的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论.【解答】解1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，根据题意得：150（1+x）2＝216，解得：x1＝0.2＝20%，x2=﹣2.2（不符合题意，舍去）.答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为20%；（2）设该品牌头盔的售价定为y元/个，则每个头盔的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为300﹣10（y﹣40）＝（700﹣10y）个，根据题意得y﹣30700﹣10y3960，整理得：y2﹣100y+2496＝0，解得：y1＝48，y2＝52，又∵要尽可能让顾客得到实惠，答：该品牌头盔的售价应定为48元/个.【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.219分）已知（m﹣1）x3+mx25﹣m）x+3＝0为一元二次方程，x1，x2为此方程的解，且x1＜x2，若A（x11B（x2，1）为坐标平面内两点.（1）求m值；（2）求直线AB的表达式；（3）若M、N分别是直线AB上的两个动点，MN＝AB，点M在点N的左边，点C(﹣1，2D（3，3当四边形MNDC周长最小时，写出M点的坐标.【分析】（1）由一元二次方程的定义可得出答案；（2）解方程求出x1＝1，x2＝3，得出点A和点B的坐标，由待定系数法可求出直线AB的表达式；立直线AB和直线CD''可求出点M的坐标.【解答】解1）∵（m﹣1）x3+mx25﹣m）x+3＝0为一元二次方程，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴直线AB的表达式为y＝x﹣2；（3）如图所示，将D（3，3）点平移至D′（1，1则DD'＝AB，作D'关于直线AB的对称点D''（3，﹣1连接CD''，交直线AB于点M.同理求得直线CD''的解析式为y=﹣x+，解得，【点评】本题是一次函数综合题，主要考查用待定系数法求一次函数解析式、轴对称的性质、一次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程、平移的性质，解题关键是灵活运用相关知识解决问题.2210分）下面是李老师在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答.如图，已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为边AB上一点（不与点A、点B重合先将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H.（1）观察发现写出图1中一个与△AEG相似的三角形：△FHG或△DHC（写出一个即可）.（2）迁移探究当CF与AD的交点H恰好是AD的中点时，如图2.②求阴影部分的面积.（3）拓展应用当点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上时，直接写出BE的长.【分析】（1）由∠A=∠B=∠F=∠D＝90°,∠AGE=∠FGH，可得△AEG∽△FHG