河北省唐山市第三十五中学2025~2026学年上册九年级12月月考数学试题【附解析】

/河北省唐山市第三十五中学2025−2026学年上学期九年级12月月考数学试卷一、单选题1．如图，的半径为3，那么图中到圆心的距离可能为4的点是（

）A．点 B．点 C．点 D．点2．下列抛物线，对称轴是直线的是（

）A． B．C． D．3．关于的方程的根是（）A．， B． C．， D．，4．年月日时分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭成功将卫星互联网技术试验卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，某记者站在点处，火箭从地面上的处上升到处的过程中，该记者观察火箭升空的仰角会（

）A．逐渐减小 B．逐渐增大C．先减小，后增大 D．先增大，后减小5．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则点在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则的值为（

）A． B． C． D．7．满足二次函数表达式的部分对应值如表所示，若点，，在该二次函数的图象上，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．8．如图，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点．若点是的中点，的面积为，则的值为(

)A． B． C． D．9．在2025年9月3日举行的中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日的阅兵仪式上，受阅仪仗方队的女队员的身高标准为至，前期训练中，一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和方差与原6名队员相比（

）A．平均数变大，方差变小 B．平均数变小，方差不变C．平均数不变，方差变大 D．平均数变小，方差变大10．如图1，将直角三角形纸片的顶点落在圆上，，分别与圆交于点，，转动直角三角形纸片，使点，重合，如图2．嘉嘉说：“图中的线段是圆的直径．”淇淇说：“图中的直线与圆相切．”下列判断正确的是（

）

A．两人的说法都正确 B．两人的说法都不正确C．只有嘉嘉的说法正确 D．只有淇淇的说法正确11．如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离为（

）A． B． C． D．12．已知直线与抛物线对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是（

）A． B．或 C． D．或二、填空题13．二次函数图象的对称轴为直线，则方程的两根之和为．14．如图，在平面直角坐标系中，折线AB—BC的端点，，，反比例函数的图象与该折线有两个交点，则k的最大值是．15．如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，交于点，连接．若是劣弧的中点，则阴影部分的面积为（结果保留）．16．如图，在等腰直角中，，，其中点为高上的一点，连接．将绕点逆时针旋转得到，连接，，则周长的最小值为．三、解答题17．一道习题及其错误的解答过程如下：将二次函数通过配方化成的形式．解：……第①步……第②步……第③步……第④步（1）这道习题的解答过程最先开始出现错误的步骤是第_____（填序号）步，正确的的值为_____，的值为_____；（2）用配方法解一元二次方程．18．在“大美河北，宜居家园”美丽乡村建设演讲比赛中，5位选手的成绩如图所示．（1）5位选手“演讲效果”成绩的众数是______分，“演讲技巧”成绩的中位数是______分；（2）求5位选手“演讲技巧”成绩的平均分；（3）根据规定，“演讲效果”与“演讲技巧”成绩按一定比例计算最终成绩，若选手B按比例计算后最终成绩为83.5分，求“演讲效果”所占比例为多少（结果为百分比）？19．在中，．点在线段上，以为圆心作，恰好过，两点．嘉嘉在作图时，不小心擦掉了圆心O以及部分圆弧，结果如图所示．（1）尺规作图：请根据题意作出点O的位置，并补全；（保留作图痕迹，不写作法）（2）已知，求证：直线是的切线．20．如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边上，且，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽上移动，构成一个三角形．如图2，当窗钩端点B与点O之间的距离是时（即），窗户打开的的度数为，过点A作，垂足为点D．（1）求此时的长；（2）求此时的值．（参考数据：）21．某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线，经测量，P处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若斜坡的坡比为，斜坡OA上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶？并说明理由．22．将正六边形按如图方式摆放在直角坐标系中，其中点，点在轴上，反比例函数的图象经过的中点．（1）求的值，并判断图象是否经过正六边形的中心（不说理由）；（2）若该反比例函数图象与边交于点，①求所在直线的解析式；②直接写出点的坐标．23．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点与．已知点P是该抛物线上一动点（不与点B重合）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）将抛物线上P，B两点之间的部分（包括端点）记作图象W，当图象W上最高点与最低点的纵坐标的差是5时，求点P的坐标；（3）若动点P的横坐标是n，另有坐标系中一动点Q，其坐标是．如图2，在坐标系中构造一个各边均与坐标轴垂直或平行的矩形，使为矩形的对角线．当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而增大，直接写出n的取值范围．24．如图和图，以数轴原点为圆心，为半径作．将一直角三角板角的顶点在上滑动（保持点在数轴的下方），直角顶点始终在原点右侧的数轴上滑动，斜边与的另一交点为，连接．已知三角板的直角边，设点在数轴上对应的数为．（1）当点落在上时，如图，直接写出此时的值，并求劣弧的长；（2）当直角边恰好与相切于点时，如图，求的值；（3）连接，当三角板的顶点与点距离最小时，求点到数轴的距离；当时，请直接写出数轴落在三角板内部（包括端点）的长度．

答案1．【正确答案】A【分析】本题考查了点与圆的位置关系，掌握相关知识点是解题的关键．将各点到圆心的距离与半径作比较，即可求解．【详解】解：A、因为点A在圆外，所以点A到圆心距离大于半径3，可能为4，故选项A符合题目要求，B、因为点B在圆上，所以点B到圆心距离等于半径3，不可能为4，故选项B不符合题目要求，C、因为点C在圆内，所以点C到圆心距离小于半径3，不可能为4，故选项C不符合题目要求，D、因为点D在圆内，所以点D到圆心距离小于半径3，不可能为4，故选项D不符合题目要求．故选A．2．【正确答案】D【分析】本题考查二次函数的对称轴，算出每个选项中函数的对称轴逐一进行判断即可．【详解】A、对称轴为直线，本选项不合题意；B、对称轴为直线，本选项不合题意；C、对称轴为直线，本选项不合题意；D、对称轴为直线，本选项符合题意；故选D．3．【正确答案】C【分析】本题考查解一元二次方程，通过因式分解和零乘积性质求解方程即可．【详解】解：∵，∴或，解得或，∴方程的根为，．故选C．4．【正确答案】B【分析】本题考查了解直角三角形——仰角和俯角问题，根据仰角定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：如图，设火箭用表示，∵火箭从运动到，∴仰角逐渐增大，故选．5．【正确答案】B【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质的应用，直角坐标系中点所在的象限，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质．当反比例函数经过第二、四象限时，，根据点，横坐标为负，纵坐标为正，即可得到答案．【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限，∴，∴点中，，∴点在第二象限．故选B．6．【正确答案】C【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似图形的性质和相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据位似图形的性质可得，，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出，再利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形，，，，，，，，的值为．故选C．7．【正确答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由表中数据可知，二次函数图象关于直线对称，且开口向下，所以距离对称轴越远的点，值越小．【详解】解：和时，，抛物线的对称轴为，时，时，当时，随着的增大而减小，抛物线开口向下，点、、到对称轴的距离分别为：，，，，故选B．8．【正确答案】D【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义是解答的关键．根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得，进而由系数k的几何意义可得答案．【详解】解：如图，作轴，垂足为点，在和中，，，反比例函数图象在第二象限，故选D．9．【正确答案】C【分析】本题考查求平均数和方差，熟练掌握求平均数和方差的方法是解题的关键，求出前后2次的平均数和方差进行判断即可．【详解】解：原6名队员身高的平均数为：；方差为：；现在5名队员身高的平均数为，方差为：；；故平均数不变，方差变大；故选C．10．【正确答案】A【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，根据圆周角定理，切线的判定方法进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵，∴图线段是圆的直径，故嘉嘉的说法正确；∵，∴，∵是圆的直径，∴直线与圆相切，故淇淇的说法正确；综上可得：两人的说法都正确，故选．11．【正确答案】C【分析】本题考查了相似形综合应用，分别证明和，运用相似三角形的性质可求解．【详解】解：由题意知，，∴，∴，即，∴；又，，∴，∴，∴,∴，∴．故选C．12．【正确答案】D【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键在于数形结合的思想的运用．当直线与抛物线相切时符合题意，则有，根据，求出m的值；当抛物线过，且对称轴在y轴右侧时符合题意，代入，求出此时的m的值，以及抛物线继续向左平移，仍符合题意．【详解】解：由题意，当直线与抛物线相切时符合题意，如图：∴，即．∴．∴．令，则，∴，记直线与y轴交于点，又当抛物线过，且对称轴在y轴右侧，∴．∴，此时刚好在对称轴左侧有一个交点，如图：又继续向左平移符合题意，符合题意，如图：∴．综上，或．故选D．13．【正确答案】4【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系，求出二次函数图象的对称轴．由二次函数对称轴公式可得，进而求出，再根据根与系数的关系，方程两根之和为，即可得结果．【详解】解：二次函数的对称轴为直线，即，解得．根据根与系数的关系，方程的两根之和为，故两根之和为4．14．【正确答案】【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，解题的关键是根据反比例函数与折线的交点坐标确定的取值范围．先分别表示出反比例函数与、的交点（用表示），根据“反比例函数的图象与该折线有两个交点”，求出的取值范围，再求出最大值．【详解】解：∵点，，，∴可表示为，可表示为∵反比例函数的图象与该折线有两个交点，∴反比例函数的图象与的交点的横坐标为，纵坐标为，且，与的交点的纵坐标为，横坐标为，且，∴，∴的最大值是．15．【正确答案】【分析】本题考查了扇形的面积公式，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，连接，通过等边对等角得出，所以，再由圆周角定理可得，所以，由等边对等角得出，从而得到半径为，最后由扇形面积公式即可求解，求出扇形的圆心角和半径是解题的关键．【详解】解：如图：连接，∵，，∴，∴，∵是劣弧的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴.16．【正确答案】【分析】在的下方以为边长构造正方形，连接，根据等腰性质得，，则，由此得，再由已知得，则，根据旋转性质得，则，由此得和相似，继而得，即点在正方形的对角线上，再根据的周长为，因此当为最小时，的周长为最小，根据“两点之间线段最短”得，故得当点共线时，为最小，最小值为线段的长，然后利用勾股定理求出，即可得出的周长的最小值．【详解】解：在的下方以为边长构造正方形，连接，如图所示，在等腰中，，，是高，∴，，由勾股定理得：，∴，∵将绕点逆时针旋转得到，∴，，∴，同理可得：，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴点在正方形的对角线上，∴，∵的周长为：，∴，∴当为最小时，的周长为最小，根据“两点之间线段最短”得，∴当点共线时，为最小，最小值为线段的长，∵四边形是正方形，∴，，在中，由勾股定理得：，∴的最小值为，∴的周长的最小值为.17．【正确答案】（1）①，，；（2）【分析】本题考查将二次函数的一般式化为顶点式，配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键：（1）第①步，括号内的第二项没有变号出现错误，正确求解后，确定的值即可；（2）一除，二移，三配方，四变形，解方程即可．【详解】（1）解：第①步出现错误，括号内的第二项没有变号，；故；（2）解：，，，，，，解得．18．【正确答案】（1）90；85（2）86分（3）“演讲效果”所占比例为【分析】本题考查了加权平均数、中位数、众数的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．（1）分别根据众数、中位数的定义计算即可；（2）根据平均数的定义计算即可；（3）根据加权平均数的计算公式解答即可．【详解】（1）解：∵5位选手“演讲效果”成绩出现次数最多的是90，∴5位选手“演讲效果”成绩的众数是90分∵5位选手“演讲技巧”成绩按从小到大顺序排列为：80，80，85，90，95，∴5位选手“演讲技巧”成绩的中位数是85分.（2）解：5位选手“演讲技巧”成绩的平均分为（分）；（3）解：设选手B“演讲效果”所占比例为，则“演讲技巧”为，根据题意得：，解得，答：选手B“演讲效果”所占比例为．19．【正确答案】（1）见详解；（2）见详解．【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，尺规作图，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．作出线段的垂直平分线找出圆心，再以点为圆心，为半径画圆即可；连接，利用圆周角定理，直角三角形的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可．【详解】（1）解：如下图所示，作线段的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆，与交于点，则点，点与为所求；（2）证明：如下图所示，连接，则，，，，，为的半径，直线是的切线．20．【正确答案】（1）12（2）【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，对于（1），设，根据勾股定理得，求出x可得答案；对于（2），作，设，根据勾股定理得，求出，可得，进而求出，再根据勾股定理求出，最后根据得出答案．【详解】（1）解：在中，，设，根据勾股定理，得，即，解得（负值舍去），∴；（2）解：过点B作，交于点G在中，，设，根据勾股定理，得，即，解得（负值舍去），∴，∴．在中，根据勾股定理，得，即，解得，∴．21．【正确答案】（1）（2）不能，理由见详解【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数的应用，坡比，对于（1），先设二次函数的顶点式，再将代入可得答案；对于（2），延长交x轴于点H，则，再根据坡比求出，进而求出，然后令求出y，比较得出答案即可．【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为，由题意，得图象的顶点坐标为，∴抛物线的关系式为．∵抛物线经过点，∴，解得，∴抛物线的关系式为；（2）解：不能，理由如下：如图，延长交x轴于点H，则，由题意可知点E，C，H的横坐标为5，即，斜坡的坡比为，∴，∴．∵，∴．当时，，∵，∴点P处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶．22．【正确答案】（1），图象不经过正六边形的中心（2）①②点的坐标为【分析】（1）连接，根据正六边形的性质得出角的度数，利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形，求出点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后求出正六边形中心点的坐标，最后进行判断即可；（2）①过点作轴于点，根据正六边形的性质得出角的度数，利用锐角三角函数求出点的坐标，利用待定系数法求出直线解析式即可；②联立解析式求出交点坐标即可．【详解】（1）解：如图，连接，∵六边形为正六边形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，由勾股定理得，，根据正六边形的性质得，，，且点是线段中点，∴，∴，代入得，，∴，∴，如图所示，令点为正六边形的中心，连接，过点作于点，，∴为等边三角形，∴，，∴，∴，当时，，∴图象不经过正六边形的中心；（2）解：①如图，过点作轴于点，∵，∴，∴，，∴，∴，假设直线的解析式为，将点，代入解析式得，解得∴直线的解析式为；②联立反比例函数的解析式和直线的解析式得，解得，（负值已舍）∴点的坐标为．23．【正确答案】（1）抛物线的解析式为，顶点坐标为（2）点的坐标为或（3）【分析】本题考查二次函数的解析式求解、性质应用及与矩形结合的综合问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式、对称轴性质，结合动点坐标和矩形特征分析函数增减性．（1）待定系数法求解析式，即可求解，再通过配方法求顶点坐标；（2）设点P坐标，结合