福建省泉州市石狮市锦峰实验学校2025-2026学年上学期九年级1月质量检测数学试题（含答案）

2025-2026学年上学期九年级1月质量检测数学试题一．选择题（每小题4分，满分40分）1．已知实数x，y满足y=x−2+2−x+4，则以A．8 B．12 C．10 D．8或102．下列事件为必然事件的是（）A．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球 B．明天会下雪 C．开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻 D．购买一张彩票中奖一百万元3．已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，下列条件能判定DE∥BC的是（）A．DEBC=ADAB B．CEEA=4．关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0的根的情况，说法最恰当的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有实数根5．将方程x2+4x+1＝0配方后，原方程变形为（）A．（x+4）2＝3 B．（x+2）2＝﹣3 C．（x+2）2＝3 D．（x+2）2＝﹣56．某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（）A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7 C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.77．已知抛物线y＝x2﹣8，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围为（）A．x＜8 B．x＞0 C．x＞8 D．x＜08．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（）A．a⋅tanα B．a⋅sinα C．acosα D．9．如图，△ABC和△DEF是位似三角形，OD＝3OA，△ABC的面积为2，则△DEF的面积为（）A．4 B．6 C．16 D．1810．如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点，分别连接DE，EF，DF，AE，AE与AE相交于点O．有下列四个结论：①DO=1②S③当AB＝AC时，点O到四边形ADEF四条边的距离相等；④当∠ABC＝90°时，点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等．其中正确的结论是（）A．①② B．③④ C．②③ D．①④二．填空题（每小题4分，满分24分）11．若最简二次根式2x−7与3x−2是同类二次根式，则x＝12．已知关于x的方程x2﹣kx+12＝0的一个根为3，则k的值为．13．小明沿着坡度i＝1：2.4的斜坡行走了13米，那么他上升的高度是米．14．已知直角三角形的两条边长为3，4，则这个直角三角形斜边上的中线等于．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为．16．如图，矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，把EB绕点E逆时针旋转15°交BC于点F，过点C作CG⊥EF于点G，连接BG，若CF＝2BF，CE=6，则BC＝三．解答题（共9小题，满分86分）17．（8分）计算：41518．（8分）解一元二次方程：2x2+3x﹣4＝0．19．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．（1）则∠DEF＝°，AC＝；（2）判断△ABC与△DEF是否相似．若相似，请说明理由．20．（8分）如图是一张矩形纸片ABCD，对角线AC与BD相交于点O．（1）在BC边上求作一点E，使得△CDE沿着DE折叠后，C和F是对应点，且点F落在线段OC上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若DE=5，BD=25，求21．（8分）现有A，B两个不透明的盒子，A中有4个完全相同的黑色棋子，B中有2个完全相同的白色棋子．（1）从A中摸出两个棋子放入B中，再从B中随机摸出一个棋子，则摸出棋子颜色为黑色的概率为．（2）在（1）的基础上，求从B中一次摸出2个棋子都是白色的概率．22．（10分）已知二次函数y＝﹣（x+1）2+4．（1）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；（2）当﹣3≤x≤0时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．23．（10分）项目化学习项目主题：测量树的高度．分析探究：树的高度不能直接测量，需要借助一些工具，比如小镜子，标杆，皮尺，小木棒，自制的直角三角形硬纸板…确定方案后，还要画出测量示意图，并实地进行测量，得到具体数据，从而计算出树的高度．成果展示：下面是某小组进行交流展示时的部分测量方案及测量数据：测量工具标杆，皮尺测量方案选一名同学作为观测者，在观测者与树之间的地面直立一根标杆，使树的顶端、标杆的顶端与观测者的眼睛恰好在一条直线上．这时再测出观测者的脚到树底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离，然后测出标杆的高．测量示意图测量数据线段AB表示树，标杆EF＝3.2m，观测者的眼睛到地面的距离CD＝1.7m，观测者的脚到树底端的距离DB＝14m，观测者的脚到标杆底端的距离DF＝2m．…请同学们继续完善上述成果展示：任务一：根据测量数据，求出树AB的高度；任务二：写出求树的高度时所利用的数学知识．（写出一个即可）24．（13分）定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”．如2x2﹣7x+3＝0的“友好方程”是3x2﹣7x+2＝0．（1）写出一元二次方程x2+2x﹣8＝0的“友好方程”：．（2）已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣4，它的“友好方程”的两根为x3=12，x4＝．根据以上结论，猜想ax2+bx+c＝0的两根x1，x2与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根x3，x（3）已知关于x的方程2023x2+bx﹣1＝0的两根是x1＝﹣1，x2=12023．请利用（2）中的结论，直接写出关于x的方程（x﹣1）2﹣25．（13分）（1）如图1，AD是△ABC的中线，点E是AB边上一点，作EF∥BC交AC于F，交AD于G．证明：AD平分EF．（2）如图2，AD是△ABC的中线，点M是AD的中点，连结BM并延长与AC交于点N，求ANNC（3）如图3，若BDBC=1m，

参考答案一．选择题题号12345678910答案CACDCBDDDC二．填空题11．5．12．7．13．5．14．2.5或2．15．1＜x＜3．16．3．三．解答题17．解：原式=4=45=518．解：2x2+3x﹣4＝0，∴a＝2，b＝3，c＝﹣4，∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，∴x=−3±∴x119．解：（1）根据图形可得：∠FEM＝90°，∠DEM＝45°，∴∠DEF＝90°+45°＝135°，AC=42+故答案为：135；25；（2）△ABC与△DEF相似，理由如下：在△ABC中，AB＝2，BC=22+22=22在△DEF中，EF＝2，DE=2，DF=∵ABDE=22=∴ABDE∴△ABC∽△DEF．20．解：（1）以D为圆心，DC长为半径画弧，交线段OC于点F，再作CF的垂直平分线交BC于点E，则点E即为所求，如图所示，点E即为所求：（2）如图，设DE交AC于点G，由作图可得，DE垂直平分CF，∴DE⊥CF，∴∠DGC＝90°，∴∠EDC+∠GCD＝90°，∵矩形纸片ABCD，∴AC=BD=25，∠ABC＝∠ECD∴∠ACB+∠GCD＝90°，∴∠ACB＝∠EDC，∴△ABC∽△ECD，∴BCCD∴BC＝2CD，设CD＝a，则BC＝2a，在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，∴(2a)2解得a＝2（负值已舍去），∴BC＝2×2＝4．21．解：（1）摸出棋子颜色为黑色的概率=2故答案为：12（2）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中2个棋子都是白色的结果数为2，所以摸出2个棋子都是白色的概率=222．解：（1）抛物线y＝﹣（x+1）2+4的顶点坐标为（﹣1，4），当x＝0时，y＝﹣（x+1）2+4＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；根据对称轴为直线x＝﹣1，得抛物线必过点（﹣2，3），当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）；过以上五点描点、连线作出抛物线，如图，（2）∵抛物线y＝﹣（x+1）2+4的顶点坐标为（﹣1，4），且a＝﹣1＜0，∴当x＝﹣1时，y有最大值为4；当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3+1）2+4＝0，当﹣3≤x≤0时，0≤y≤4．23．解：任务一：如图，过点C作CG⊥AB于点G，交EF于点H，则四边形CDBG与四边形CDFH是矩形，∴CH＝DF＝2m，CG＝BD＝14m，CD＝HF＝GB＝1.7m，∴EH＝EF﹣HF＝3.2﹣1.7＝1.5m，由题意得EF∥AB，∴△CEH∽△CAG，∴CHCG=EH∴AG＝10.5m，∴AB＝AG+BG＝10.5+1.7＝12.2m，答：树AB的高度为12.2m．任务二：求树的高度时所利用的数学知识有相似三角形的性质与判定（答案不唯一）．24．解：（1）由“友好方程”的定义可知，一元二次方程x2+2x﹣8＝0的“友好方程”为﹣8x2+2x+1＝0，即8x2﹣2x﹣1＝0，故答案为：8x2﹣2x﹣1＝0；（2）由（1）可知，一元二次方程x2+2x﹣8＝0的友好方程为8x2﹣2x﹣1＝0，解得，观察可知，；所以猜想ax2+bx+c＝0的两根x1，x2，与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根x3，x4之间存在的一种特殊关系是互为倒数．证明如下：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1=−b+b2−4ac“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根为x3=−b+b2−4ac2c∴x1•x4==−b+b2−4ac2c•−b−b2−4ac2c故答案为：−1（3）已知关于x的方程2023x2+bx﹣1＝0的两根是x1＝﹣1，x2那么x2﹣bx﹣2023＝0的两个根分别是x3＝﹣1，x4＝2023，将（x﹣1）2﹣bx+b＝2023整理为：（x﹣1）2﹣b（x﹣1）﹣2023＝0，那么有x﹣1＝﹣1或x﹣1＝2023，即x5＝0，x6＝2024．∴关于x的方程（x﹣1）2﹣bx+b＝2023的两根为x＝0或x＝2024．25．（1）证明：如图1，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵EF∥BC交AC于F，交AD于G，∴△AEG∽△ABD，△AFG∽△ACD，∴EGBD=AG∴EGBD∴EGFG∴EG＝FG，∴AD