全等与相似模型之手拉手模型解读与提分精练（解析版）

专题20全等与相似模型之手拉手模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。全等三角形、相似三角形与其它知

识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，

熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，

方便掌握。

例题讲模型］

一

模型1.手拉手模型（全等模型）1

模型2.手拉手模型（相似模型）8

习题练模型］

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习儿何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方囿均源自卜易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在儿

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

模型1.手拉手模型（全等模型）

将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，

也叫旋转型全等。其中：公共顶点4记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左

手”，第二个顶点记为“右手”。

等线段，共顶点，旋转前后的图形大小，形状不发生变化，只是位置不同而已。解题是通过三角形全等进

行解决。SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。

1）双等边三角形型

条件：△48c和△OCE均为等边三角形，C为公共点；连接8E,4。交于点人

结论：①△ACOZ/XBCE；®BE=AD；③N4尸M=N8CM=60。；④CF平分NB广。。

证明：•.•△ABC和△/)€1因为等边三角形，：.BC=AC,CE=CD,N8C4=NEC£>=60。

AZBCA+ZACE=ZECEH-ZACEi即：NBCE=NACD,:.XACD沿4BCE(SAS),

:・BE二AD,ZCBE=ZCAD,又：NCM8=NAA",/.ZAFM=ZBCM=60°,

过点。作。「工4。,。。上8区则/。08=/。%=90。，又•：/CBE=/CAD,BC=AC,：.^BCQ^^ACP(AAS)

：.CQ=CP,根据角平分线的判定可得：b平分N8FQ。

2)双等腰直角三角形型

条件：aABC和aOCE均为等腰直角三角形，C为公共点：连接8£,AO交于点N。

结论：①△ACQg/\8CE；®BE=AD；③N4NM=NBCM=90。；④CN平分/BND。

证明：••.△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，；.BC=AC,CE=CD,NBC4=NECD=90。

A^BCA+ZACE=ZECD+ZACEi即NBCE=NACO,二△ACO空△BCE(SAS),

：.BE=AD,NCBE=NCAD,又•：NCMR=NAMN,，NANM=/BCM=90。，

过点C作CP则NC08二NC以二90。，乂•：NCBE=/CAD,BC=AC,：.^BCQ^/\ACP(AAS)

：.CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CN平分NBND.

3)双等腰三角形型

条件：8OAC,CE=CD,/BCA=/ECD,C为公共点；连接8E,AO交于点人

结论：①△ACOg/XBCE；®BE=AD；③N3CM=/4FM；④C/平分/BQ。

证明：VZBCA=ZECD,AZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即N8CE=NAC。，

又•：BC=AC,CE=CD,A^ACD^ABCE(SAS),:・BE=AD,ZCBE=/CAD,

又；NCMB=NAMF,"BCMMAFM,过点。作CP工AD,CQ上BE,则NCQ8=NC以=900,

又,：/CBE=/CAD,BC=AC,：,LBCQ^/\ACP(AAS)

：.CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CF平分/BFO。

4)双正方形形型

条件：四边形A8C。和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接8G,ED交于点N。

结论：①△BCG@/\DCE；②BG;DE；③NBCM二NDNM=90°；④CN平分ZBNE。

证明：•・•四边形4BCD和四边形CEFG都是正方形，，BC=AC,CE=CG,NBCD=NECG=90°

：・/BCD+NDCG=NECG+/DCG,即NBCG=NOCE,"BCG妾ADCE(SAS),

：.BG=DE,/CBG=/CDE,又*：NCMB=NDMN,:・NBCM=/DNM=90。,

过点。作CP1OECQ工8G则NCPQ=NCPB=90。，又,：NCBG=4CDE,BC=DC,：,^BCQ^^DCP(AAS)

：.CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CN平令NBND.

例I.（23-24八年级下•辽宁丹东•期中）如图，点A,B,。在同一条直线上，△ABO,.BCE均为等边三角

形，连接4E和CO,AE分别交C。、BD于点M,P,CD交BE于点、Q,连接PQ,BM,下面结论：①

△AB乂.DBC；②N£）M4=60。；③△依Q为等边三角形；④也《平分NAMC；⑤NPEQ=30>.其中结论

正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

［分析］根据等边三角形的性质即可证得△ABE%DBC故①正确；根据恒&DBC结合三角形外角性质

即可得出NQM4=N8AE+N8C£>=N3QC+N8a）=60。，故②上确：根据等边三角形的性质易证

4AB24DBQ,得到AP=AQ结合NP8Q=60。即可得到APAQ为等边三角形，故③正确；根据全等三角

形性质，得到点B到AE,CD的距离相等，，从而可得点5在ZWC的角平分线上，故④正确；已有的条

件无法求NPEQ的度数，故⑤错误；从而解题.

【详解】解：•.•△从比>、△3CZ;为等边二角形，

;.AB=DB，ZABD=/CBE="。,BE=BC,:.ZABE=/DBC,ZPBQ=60°,

AB=DB

在a4BE和△O3C中，<NA8E=NO8C,「."B比△QBC（SAS）,故①正确；

BE=BC

•.△ABE^ADBC,;.NBAE=NBDC,•/ZBDC+ZBCD=180°-60°-60°=60°,

ZDMA=NBAE+ZBCD=NBDC+ZBCD=60°.故②正确：

NBAP=ZBDQ

在/^8尸和^。口（2中，,.•.△48心△OBQ（ASA）,:.BP=BQ,

NABP=，DBQ

・•.△BPQ为等边三角形，故③正确；•.•△A3四△OBC,「.AE=CD,S^ABE=S^BC

「•点〃到AE,CO的距离相等，即4E、8边上的高相等，

点K在N'AMC的角’上分线上，即AW丫：分N'AMC；故④正确；

已有的条件无法求NPEQ的度数，故⑤错误；综上所述：正确的结论有4个；故选：D.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，四点共圆的性质，三角形外角

性质，角度的运算，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识.

例2.（2024•山东泰安•中考真题）如图1,在等腰RlZ\A8C中，ZABC=90°,AB=CB,点、D,E分别在AB,

CB上,DB=EB,连接4E,CD,取AE中点尸，连接肝.

运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键.

例3.(2023•山东•九年级专题练习)己知，“8C为等边三角形，点。在边8c匕

【基本图形】如图1,以人力为一边作等边三角形V/W无:，连结CE.可得CE+CO=4C(不需证明).

【迁移运用】如图2,点〃是AC边上一点，以。尸为一边作等边三角4)砂.求证：CE+CD=CF.

【类比探究】如图3,点尸是AC边的延长线上一点，以O厂为一边作等边三角“底产.试探究线段CE,C。，

。产三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由.

【答案】【基本图形】见解析；【迁移运用】见解析；【类比探究】见解析.

【分析】基本图形：只需要证明ABA度△C4E得到CE=3O,即可证明；

迁移运用：过点。作。G〃A8,交AC于点G,然后证明△口)&AGOF得到CE=G尸，即可推出

CE+CD=GF+CG=CF；类比探究：过点。作。G〃A8,交AC于点G,然后证明aCDE段式，)/，得到

CE=GF,再由G/=b+CG=6+C。，即可得到CD+b=CE.

【详解】基本图形：证明：,••△HCG与VADE都是等边二角形，

AAC=AB=CB,NGW=60。，AD=AE,ZDAE=60°,

：.ZCAE=ZDAE-ZCAD=60°-ZCAD,ZBAD=ZCAB-ZCAD=60°-ZCAD,AZCAE=ZBAD,

AC=AB

在AHA/)与VC4E中，ZCAD=ZBAE,A△^D^ACAE(SAS),

AD=AE

：.CE=BD,：.CE+CD=BD+CD=CB.VAC=CB,/.CE+CD=AC：

迁移运用：证明：过点。作£)G〃A8,交AC于点G,

•二△4CB是等边三角形，ZACB=^A=ZB=60°,

VDG//AB,・・・/CG/)=/A=60。，NCDG=NB=3,

又•・・NAC8=60°,•••△C/X；为等/三角形，：.CD=IX)=CG,

:所为等边三角形，工DE=DF，ZEDF=60°,

•/NCDE=NCDG-NEDG=600-NEDG,NFDG=NED尸-NEDG=600-NEDG，•二Z1CDE=4FDG,

BD=DG

在4a＞石与AG。尸中ZBAD=/GDF,；・ACDE^&GDF(SAS),：.CE=GF,；.CE+CD=GF+CG=CF；

DE=DF

类比探究：解：CD+CF=CE,理由如下：过点。作£)G〃A8,交AC于点G,

•・・£MCB是等边三角形，I.NAC8=/A=/B=60。，

,:DG〃AB,・•・/CG£>=/A=60°,NCDG=NB=(^,

又•；NAC8=60。，为等/三角形，:.CD=DG=CG,

•••1）所为等边三角形，JOE=DF，ZFDE=60°,

•:/GDF=NGDC+NCDF=+NCDF,/CDE=NEDF+/CDF=⑷。tNCDF,：.NGDF=/CDE,

BD=DG

在LCDE与AGDF中</BDE=Z.GDF,△CDE^AGDF（SAS）,CE=GF、

DE=DF

VGF=CF+CG=CF+CD,：.CD+CF=CE.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与

判定条件是解题的关键.

例4.（23-24九年级上♦浙江台州♦期末）如图，将V49C绕点A顺时针旋转得到并使C点的对应点

。点落在直线BC上.（1）如图1,证明：0A平分/瓦心：（2）如图2,AE与BD交于点、F,若

4尸8=50。，N8=20。，求NA4C的度数；⑶如图3,连接的，若EB=13,ED=5,CD=I7,则AO的

长为.

【答案】（1）证明见解析；（2）15。；（3）摩.

2

【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理的应用等知识，解答本

题的关键是掌握旋转的性质.（1）根据VABC绕点A顺时针旋转得到,可得ZADE=ZC,AD=AC,

即得NAQC=NC,故/4OE=NA0C,OA平分NEOC；（2）设N8AC=f,根据旋转的性质和

三角形外角的性质可得50。=（犬+20°）+^,即可解得N84C=15。；（3）过A作A”_L8C于从由已知可

得BD=CD-BC=12,即可得+=8炉，从而N£DB=90。，可得ZADC=ZADE=45。，“DH是

等腰直角三角形，故AO=&OH=小区.

2

【详解】（1）证明：:VA8C绕点4顺时针旋转得到4A瓦），

，ZADE=NC,AD=AC,ZADC=NC,ZADE=ZADC,DA平分NEDC；

（2）解：设/66=犬=/"£：,VZACD=ZG4B+ZB,/.ZACD=Y>+20°,

AD=AC,：.ZADC=NACD=A°+20°,

VZ4FB=ZADC+ZDAE,,50°=（月+20°）+x°,解得x=]5。，AZA4C=15°；

（3）解：过A作A〃_L8C于”，如图：

•••VABC绕点4顺时针旋转得到△4£<£>,/.AD=AC,ED=BC=5,ZADE=/C,

VCD=n,r.BD=CD-BC=[2,V£D2+BD2=52+122=169,BE2=132=169，

117

；・ED?+BD2=BE?，；.NEDB=90°,,：AD=AC,AHLBC,AZADC=ZC,DH=-CD=—,

22

・・・ZA£）C=NADE=45。，是等腰直角三角形，・•・AO=&£>”=必旦，故答案为："亚.

22

例5.（2022.浙江湖州.统考中考真题）已知在放A/WC中，N4C8=90。，a,/?分别表示/A,的对边，

a>b.记△AAC的面积为S.

（1）如图1,分别以AC,C8为边向形外作正方形4CQE和正方形BGFC.记正方形ACDE的面积为耳，正

方形8GR7的面积为邑.①若S=9,S2=16,求S的值；②延长E4交G8的延长线于点N,连结EV,交

BC于点M,交AB于点、H.若77fJ_AB（如图2所示），求证：S「S、=2S.

（2）如图3,分别以AC,CB为边向形外作等边三角形AC。和等边三角形C8E,记等边三角形ACO的面积

为等边三角形的面积为圣.以人8为边向上作等边三角形八"（点。在内），连结EECF.若

EFLCF,试探索邑-£与S之间的等量关系，并说明理由.

【答案】（1）①6：②见解析⑵S?-S1=!s,理由见解析

4

【分析】（1）①将面积用。，力的代数式表示出来，计算，即可②利用4N公共边，发现△以Ns/viNB,

利用二=£，得到小。的关系式，化简，变形，即可得结论（2）等边AAB/与等边△（7酩共顶点以

ANNB

形成手拉手模型，"Bg^FBE,利用全等的对应边，对应角，得到：AC=FE=b,NF£B=NAC3=90。，

从而得到/尸EC=3（）。，再利用放在，cos300=—=-=^,得到〃与人的关系，从而得到结论

CEa2

【详解】（1）V5,=9,52=16.；/?=3,〃=4VZ/4CT=9（）°AS=1ab=|x3x4=6

②由题意得：NFAN=NANB=9。。,•:FH1AB：.NAFN=90。一/FAH=/NAB：・AFANs

得：ab+b2=a2A25+S^S,.即S,一$=2S

ANNBab

（2）S,-S=：S,理由如下：••,△AB尸和ABEC都是等边三角形

4

:・AB=FB,NABC=60°-NFBC=NFBE,CB=EB

：.^ABC^^FBE（SAS）：.AC=FE=bZFEB=ZACB=90°：,ZFEC=30°

•・•EFl.CF,CE=BC=a；.-=—=cos30。=：,b=^-aS=-ab=—a2

aCE2224

由题意得：S=在从，S、=/：,S「S'=Ba?—&=£：,S「S，S

4242144164

【点睛】本题考查勾股定理，相似，手拉手模型，代数运算，本题难点是图二中的相似和图三中的手拉手

全等。

例6.（2024•黑龙江•九年级期中）已知RtA/lBC中，AC=BC,//1CB=9（）。，〃为48边的中点，且DF=EF,

ZDFE=90°,。是6c上一个动点.如图1,当。与C重合时，易证：CD2^DB2=2DF2；

（1）当。不与C、8重合时，如图2,CD、DB、。产有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明.

（2）当。在8C的延长线上时，如图3,CD、DB、。尸有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明.

【答案】（1）CE^+DB^DF2；（2）。＞+。序=2。/巴证明见解析

【分析】（1）由」知得。炉=2。户，连接C/,/法，证明ACDF二八BEF得CD=BE,再证明MZ宏为直角

三角形，由勾股定理可得结论；

（2）连接CF,BE,证明ACDF?ABE尸得CD=BE,再证明&5DE为直角三角形，由勾股定理可得结论.

【详解】解：（1）。＞+。方=2。/

证明：,：DF=EF,ZDFE=90°,/.OF2+EF1=DE1：.DE2=2DF2连接C凡BE,如图

:△ABC是等腰直角三角形，尸为斜边AB的中点

・•・CF=BF,CF1AB,即NCFB=90°，NFCB=/FBC=45°,Z.CFD+ZDFB=90°

CF=BF

又4DFB+/EFB=%。4CFD=4EFB在△CTO和她尸£中ACFD=\BFE

DF=EF

:.CD=BE,ZEBF=ZFCB=45°/DBF+Z.EBF=45°+45°=90°DB~+BE1=DE2

•••CD=BE,DE2=20尸2.・.CD2+DB2=2DF2；

（2）0+082=2。尸证明：连接CF、BEYCF=BF,DF=EF又V/DFC+/CFE=NEFB+NCFB=90。

:./DFC=/EFB：,/\DFgAEFB：・CD=BE,ZDCF=ZEBF=\35°

VZEBD=ZEBF-ZFfiD=135°-45o=90°在RsDBE中,BE2+DB2=DE2DE2=2DF2^CL^+DB^IDF2

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关

键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

模型2.手拉手模型（相似模型）

“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们称这样的图

形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。

手拉手模型有以卜特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个

三角形可以重合；3）图形是任意三角形（只要这两个三角形是相似的）。

1）手拉手相似模型（任意三角形）

条件:如图，NBAC=NDAE=a,42=空=々；

AEAC

结论：&ADEsXNBC、△48QS”CE；的二八/BFC-BAC.

EC

证明：•・,丝=丝=2，.AD=AE,^BAC=ZDAE=a,：,AADE^/^ABC,

ABACABAC

*：ZBAC=ZDAE=a,AZBAC-^DAC=ZDAE-ZDAC,：,ZBAD=ZCAE,

•.•四=空=攵，•••△AB£>S2\AC£,・・.些=空=%,ZABD=ZACE,：,ZBFC=ZBAC=ZDAE=a,

AEACECAC

2）手拉手相似模型（直角三角形）

条件:如图，ZAOB=NCOD=90。,生=丝=小

ODOB

结论：AAOCS^BOD；生=Z，4C_L3。，Sxlirn=-ABxCD-

BDABCD2

证明：VZAO/?=ZCOD=90°»AZAOB-ZBOC=ZCOD-ZBOC,AZAOC=ZBOD,

-：OC_=OA_=k:.LAOCSABOD,・,•生=丝"NOAB-OBD,

ODOBBDOB

・・・NAEB=N4O8=9（）。，：,AC±BD,ASAftrn=-ABxCD.

3）手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形）

条件:M为等边三角形ABC和。E尸的边AC和D厂的中点；结论：△BMEs/^CMF；—=J3.

CF'

证明：•••加为等边三角形ABC和D防的边AC和。尸的中点，，也=型=6，NBMC=NEMF=90。,

MCMF

：.ZBMC-ZEMC=ZEMF-ZEMC,:・/BME=NCMF,:山BMEs4cMF,:.里=改=6，

CFCM

条件:AABC和AOE是等腰直角三角形；结论：△A8£>SZ\ACE；NACE=90。；处=①.

CE2

证明：:△ABC和4DE是等腰直角三角形，，丝=丝=变，N8AC=ND4E=45。，

ACAE2

/.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,：,ZBAD=ZCAE,A^ABD^AACE,

.•.殷=丝=也，ZACE=ZABD=90°

CEAC2

例I.（2023•江西•一模）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小丽和小宛对等腰只角形的

旋转变换进行研究.

（D［观察猜想］如图1，AABC是以A3、AC为腰的等腰三角形，点。、点上分别在AB、AC上.MDE〃BC,

将AAQE绕点4逆时针旋转。（0MW360。）.请直接写出旋转后4。与CE的数量关系；

⑵［探究证明］如图2,"C8是以/。为直角顶点的等腰直角三角形,分别交AC与AB构边于点瓜

点。.将AAOE绕点A逆时针旋转至图中所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立.若成立，请给出证明;

若不成立，请说明理由；

（3）［拓展延伸］如图3,BD是等边&ABC底边4c的中线，AEA.BE,AE//BC.将Z/WE绕点B逆时针旋转到

△尸8凡点人落在点尸的位置，若等边三角形的边长为4,当时，求出。尸的值.

【答案】⑴结论8仄CE.证明见解析；

（2）结论不成立.8。与CE的数量关系：BD=gCE.证明见解析；（3）28

【分析】（1）结论4Q=CK.证明（SAS）；（2）结论不成立.8。与CE的数量关系：8。=&

C£证明△DABS/XEAC,可得结论；（3）根据条件可得当时，ZEBC=90°-ZABC=30°,结合

等边三角形的性质，可得用_L&），勾股定理即可求得。尸.

【详解】（1）结论BO=CE.理由：如图I中，ZBAC=ZDAE,：.ZBAD=ZCAEt

•:AB=AC,AD=AE,Z.（SAS）,:・BD=EC.故答案为：BD=CE.

（2）结论不成立.“。与CK的数量关系：BD=4iCE.

理由：•••△ABC,△AED都是等腰直角三角形，・・・NC4B=NEA/>45。，普=桨=夜，

ACAE

ZDAB=ZEAC,•••△DA8SZ\E4C,A—=—=>/2,:.BD=C.CE

CEAC

（3）如图3,8。是等边人48。底边AC的中线，AE±BEtAE〃BC.

Z.BAE=60°,NABE=30°,AE=^AB=2fNCBD=ZABD=30°

•••将AABE绕点8逆时针旋转到△F8E,落在点尸的位置，.•./b8七=乙48七=30°

当A8_LBE时，ZLEBC=90°-ZABC=30°/.ZFBD=/FBE+NEBC+/CBD=90°/.BF1BD

•••△A8c是等边△,等边三角形的边长为4,.”。=且x4=2#,BF=AB=4

2

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定

理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题.

例2.（2024.山东枣庄•二模）综合实践

问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度

存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1,在/BC中，？890?,A8=8C=4,分别取A8,

AC的中点。，E,作VAOE.如图2所示，将VADE绕点A逆时针旋转，连接8。，CE.

⑴探究发现：旋转过程中，线段B。和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明.

⑵性质应用：如图3,当OE所在直线首次经过点8时，求CE的长.

【答案】（1）C£=夜8£>，证明见蟀析；（2）。“一26

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转

前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤.

（1）根据中点的定义得出人。=:人8,进而得出当=『，易得幽=立，通过证明

22AEACAC2

ABDACE,即可得出结论；（2）根据题意推出当所在在线经过点B时，ADA.BE,根据勾股定理可

得=二F=2g，根据（1）可得筹=4,即可求解；

【详解】（1）解：猜想CE=^BD，证明如下：

•.•在“8C中，?B90?,AB=BC=4,AB，4。的中点分别为。，E,

•・•AsD=一1A心B,门AE=一1”AC,,..AD=AE=1-,.则..AD=AB,

22ABAC2AEAC

：?B90?.A4=AC=4,.•.4AC=45。，/.cosZ^C=—=—，:.AC=&AB，

AC2

将VAOE绕点4逆时针旋转，连接8。，CE,根据旋转的性质可得：ZBAD=ZCAE,

有唠sAACE,费嚏S皿

（2）解：AB=4C=4,分别取A4，AC的中点。，E,

DE//BC,AD=^AB=2,AABC^AADE,.\ZADE=Z.ABC=90°,

・••当OE所在直线经过点3时，ADLBE,/.ZADB=90°,

在中，根据勾股定理可得：BD=jAB2-AD2=2百，由（I）可得：—=—，

CE2

,:空=显，解得：CE=2瓜;

CE2

例3.（2024・四川成都・中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个

顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片A8C和AOE中，

AB=AD=3,BC=DE=4,ZABC=ZADE=90Q.

【初步感知】（1）如图1，连接5力，CE,在纸片4。石绕点A旋转过程中，试探究丝的值.

【深入探究】（2）如图2,在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点。恰好落在△48C的中线8M的延长线上时，

延长EO交4c于点尸，求C尸的长.

【拓展延伸】（3）在纸片AOE绕点A旋转过程中，试探究C,。，E三点能否构成直角三角形.若能，直

接写出所有直角三角形CDE的面积：若不能，请说明理由.

RD47（）4R

【答案】（1）二的值为：；⑵。尸=?；（3）直角三角形CDE的面积分别为4,16,12,3

CE53913

【分析】（1）根据八8=八£>=3,BC=DE=4,ZABC=^ADE=90°.证明△人。Eg△ABC,

AC=AE=yjAB2+BC2=VAD2+DE2=5»继而得到//>!£=/BAC，NZME-NZMC=NBAC-NZMC即

NC4£=N84O,再证明△C4ESZJ?A。，得至ij型=任=3.

CEAC5

(2)连接CE,延长8M交CE于点Q,根据(1)得△CAES.BA。，得到NABO=NACE,根据中线8M得到

BM^AM=CM=^AC=^,继而得到NM8C=NMC8,结合NA8D+NM8C=90。，得到NACE+NMC8=90。

即/4C£=90。，得至IJ4B||CQ,再证明△ABM^^CQM,得证矩形ABCQ,再利用勾股定理，三角形相似

的判定和性质计算即可.(3)运用分类思想解答即可.

【详解】(I);AB=AD=3,BC=DE=4,ZABC=ZADE=900.：,AADE^ABC(SAS),

•*-AC=AE=y]AB2+BC2=VAZ7+DE2=5»^DAE=ZBAC,

・•・ZDAE-ZDAC=ZRAC-ZDAC即ZC4E=/BAD,・.•丝=任=1.・.^CAE^BAD，，磅=空=°.

AEAC*5

(2)连接CK,延长5W交CZ?于点Q,根据(1)得/.^ABD-ZACE,

•・•BM是中线・•.BM=AM=CM=^AC=^,：,ZMBC=/MCB,

ZABD+/MBC=90°,：,ZACE+/MCB=90°即NBCE=90°,

.・.AB\\CQ,・••NBAM=4QCM/ABM=NCQM,

/BAM=NQCM

•：ZABM=ZCQM,•••△8AMg^QCM(AAS),，8M=QM,・••四边形ABCQ是平行四边形，

AM-CM

丁ZABC=90°J四边形44CQ矩形，?.AB=CQ=3,BC=A。=4,ZAQC=90°,

,-------------EPEQ3,1

・・・PQ||CMEQ=V^^=3,二丽=透=§=1，,PO'CN,

NEPQ=NAPD

设PQ=x,CN=2x,则AP=4—x,•・・]N£QP=NAQP=90°,.・.△石。心aAOPlAAS),...A尸=£P=4—x,

EQ=AD=3

9：EP2=PQ2+EQ2,.\(4-A-)2=X2+32,解得X=N；/.AP=4-x=—,CN=2x=~,

884

•・・PQ||CN,AC=5,：.AAPFS^NF,,

CNCF

25__74---

.•"g二"立中-解得b=±

CNCF7CF39

4

(3)如图，当AD与AC重合时，此时£>£_Z4C,此时是电角三角形,

故SA8E=，CD•力E=，x(4C-AO)xOE=,x2x4=4；

222

如图，当人。在C4的延长线上时.此时OE1AC,此时△q)£；是直角三角形,

te5a,f=^CD-DE=1x(AC+AD)xDE=^x8x4=16：

如图，当。E_LEC时，此时“7)石是直角三角形，过点A作AQ_LEC于点Q,

VAE=AC=5,:.EQ=QC='EC,AQtEC,DEA.EC,DEJ.AD.

・•・四边形AOEQ是矩形，：,AD=EQ=QC=^-EC=3,AEC=6,故=,EC・OE='x6x4=12；

乙乙乙

如图，当。C_LEC时，此时△。%是直角三角形，过点A作AQ1EC「点Q,交DEF点N,

IENE0|।

AEQ=QC=-EC=xNQ//CD,.*.--=-^=1,:.DN=EN=-DE=2,QN=-DC,

2fDNQC22

•・•ZAND=NENQ,ZADN=NEQN=90°,/DAN=NQEN,...tan/DAN=tanZQEN,

QNDN_2:.QN='x,：,DC=^x.CE=2x,

~EQ~~AD~3

•:ED,=DC、EC?,.,.42=(24+(与、，/..r一36今舛65/13

•X-->解储，X=------：

1313

243648

故SA=4EC»DC=-x2xx-x=-x—x—=—

GE223331313

【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全

等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩

形的判定和性质，中位线定理是解题的关键.

例4.(2023•黑龙江齐齐哈尔•统考中考真题)综合与实践

数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知

识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.

(1)发现问题：如图1，在和△人$中，AB=AC,AE=AF,NKAC=NE4尸=30。，连接3E,CF,

延长BE交CF于点D.则3E与的数量关系：,^BDC=°；

(2)类比探究：如图2,在8c和中，AI3=AC,AE=AF,N8AC=/足4/=120。，连接BE,CF,

延长8E,R7交于点。.请猜想既与。尸的数量关系及N8OC的度数，并说明理由；

⑶拓展延伸：如图3,"18C和AAE/均为等腰直角三角形，NB4C=NE4/=90。，连接况，CF,且点、B,

E,尸在一条直线上，过点A作/尸，垂足为点M.则BF,CF,/W之间的数量关系：；

(4)实践应用：正方形ABC。中，AB=2,若平面内存在点P满足々电＞=90。，PD=\,则S△的=

【答案】(1)8七=3，30(2)BE=CFfNBDC=600.证明见解析(3)8尸=b+240(4)21：〃.或上且

44

【分析】(1)根据已知得出NR4E=NC4/，即可证明△8AE44C4尸，得出8E=b,ZABE=ZACF,进

而根据三角形的外角的性质即可求解；(2)同(I)的方法即可得证；(3)同(1)的方法证明

ABAE^ACAF(SAS),根据等腰直角三角形的性质得出AM=；"=EM,即可得出结论；

(4)根据题意画出图形，连接BD，以为直径,8。的中点为圆心作圆，以。点为圆心，1为半径作圆，

两圆交于点P/，延长8P至M,使得PM=OP=1，证明“ID〜△/)M,得上月4=变8加，勾股定理

2

求得进而求得BM,根据相似三角形的性质即可得出尸4=[(1+/卜与恒，勾股定理求得8QPQ,

进而根据三角形的面积公式即可求解.

【详解】(1)解：VZBAC=ZE4F=3O°,AZBAE=ZCAF,

又・.・A8=AC,AE=AF,/.^BAE^CAF,:.BE=CF,ZABE=ZACF设AC,8。交于点。，

VZAOD=ZACF+^BDC=ZABE+ZfiAOZBDC=^BAO=ABAC=30°,故答案为：BE=CF,30.

(2)结论：BE=CF,/BDC=60。；

证明：VZBAC=ZE4F=120°,AZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,即ZR4£=NC4F,

XVAB=AC,AE=AF,△BAEg△C4/7Z.BE=CF,?AEB?AFC

ZE4F=120°,AE=AF,/.ZAEF=ZAFE=30°，,

ZBDC=ZBEF-ZEFD=ZAEB+30°-(ZAFC-30°)=60°,

(3)BF=CF+2AM,

理由如下，VZBAC=ZEAF=9(r,AZ^4C-ZE4C=ZE4F-ZE4C,BPZBAE=ZC4F,

又8c和AA耳'均为等腰直角三角形AB=AC,AE=AF,.•.△8AE二Z\C4/(SAS),:、BE=CF,

在Rt^AE/中，AMLBF,:・AM=、EF=EM=MF,：.BF=BE+EF=CF+2AM；

2

(4)解：如图所示，连接80,以80为直径,3。的中点为圆心作圆，以。点为圆心，1为半径作圆，两圆

交卜点P，《，延长第至M，使得PM=OP=1,则是等腰直角三角形，NMDP=45。

丁ACDB=45。，・•.AMDB=/MDP+NPDC+4CDB=90°+APDC=ZADP，

AD1DP1PA1>/2J2

•••==K，V^7=K，；・AADgJiDM；.——='=二，APA=—BM,

DB42DM42BM叵22

VAB=2,在RaQP8中，PB=JDB?-DP，“(2®_丫=不，

:.BM=BP+PM=d+1,PA=q(\+W=6+F

过点。作PQ/A3于点Q,设Q5=x,贝|JAQ=2-X,

在RtZ\APQ中，PQ2=AP2-AQ2,在RtZ\P8。中，PQ2=PB?-BQ

2111

：.AP-AQ=PB-BQ：.一（2-力2=（近丫--解得：x=Lz^,则3。=1^,

设PQ,BD交于点G,则ABQG是等腰直角三角形，・・・。6=。8=三立

4

在RLDPB.RSDRB中,[""一.•Rt^DPB^Rt^DRB.・./PDB=ZP.DB

[DB=DB

乂PD=RD=1,DG=DG：.”GDq4P\DGZPGD=^PfiD=45°

・・・CPGP、=90。，.•・<G〃4B.・.s=』ABxQG=』x2x,

2244

在RSPQB中，PQ=JPB?—BQ?=

・cLns।c”币7+6

••S.ABP=­A3xPQ=—x2x---=--->

综上所述，S.产匕包或上2故答案为:上史或上史.