素养导向的探究式教学设计：有理数的乘法（第一课时）

素养导向的探究式教学设计：有理数的乘法（第一课时）一、教学内容分析  从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本课处于“数与代数”领域，是学生在学习了有理数的意义、数轴及加减法之后，对数系运算规则的又一次关键扩充。在知识技能图谱上，其核心在于从算术乘法的非负情境跨越到包含负数的有理数情境，归纳出“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”的运算法则，并理解“任何数与0相乘都得0”。这一法则是后续学习有理数除法、乘方及整个代数运算的基石，其认知要求已从具体数的计算（识记与理解）提升至对一般性符号化规则的抽象与概括（理解与应用）。在过程方法路径上，课标强调通过具体情境和数学活动，让学生体验法则的归纳过程，发展其抽象能力、推理能力和模型思想。为此，本课将设计从生活实例到数学表征，从特殊到一般的探究活动链，引导学生亲历“观察现象——提出猜想——验证归纳——符号表达”的完整数学化过程。在素养价值渗透上，法则的归纳过程本身即是追求数学确定性与简洁性的体现，有助于培养学生严谨求实的科学精神和理性思维。同时，有理数乘法在描述现实世界相反意义的量（如温度变化、方向运动、收益与负债）时具有广泛应用，其学习过程亦是数学建模思想的初步渗透，引导学生用数学的眼光观察现实，用数学的思维思考世界。  基于“以学定教”原则，学情诊断如下：在已有基础方面，学生已掌握有理数的概念、数轴的直观表示以及有理数加减法，对“负数”这一概念不再陌生，并能初步用正负数表示具有相反意义的量。然而，潜在认知障碍亦十分突出：其一，从“加同号数”的符号规则迁移到“乘同号数”时，学生极易产生“负负得负”的前概念干扰，这是本节课最主要的思维难点。其二，对“乘法是加法的简便运算”这一本质理解在负数情境下变得抽象，可能造成认知困惑。在过程评估设计中，我将通过导入情境的问题讨论、探究活动中的小组发言与板书、以及随堂练习的快速反馈，动态捕捉学生的理解水平与典型错误。基于此，教学调适策略为：对于理解较快的学生，引导其深入探究法则的逻辑必然性，并尝试解释“负负得正”的现实模型；对于存在困难的学生，则通过数轴动画、生活实例类比等直观手段，搭建认知脚手架，并安排同伴互助，确保其能跟从探究步伐，理解法则的基本规定与应用。二、教学目标  知识目标：学生经历从具体情境和算式中归纳规律的过程，能准确表述有理数乘法法则，理解其合理性，并能运用该法则熟练计算两个有理数的乘法，特别是能正确处理涉及负数的符号问题。大家想一想，我们之前学习的乘法都是关于正数的，今天要给它加上“翅膀”，让它在正数和负数的广阔天地里都能飞翔。  能力目标：学生通过观察、比较、猜想、验证等系列探究活动，发展从特殊到一般的归纳推理能力和初步的抽象概括能力；能在简单的实际问题情境中，识别并运用有理数乘法模型解决问题，增强运算能力和模型应用意识。  情感态度与价值观目标：学生在小组合作探究中，积极表达观点、认真倾听他人，感受数学探究的乐趣与合作的必要；在归纳法则的过程中，体会数学规则的确定性与简洁美，初步形成严谨、理性的数学学习态度。  科学（学科）思维目标：本课重点发展学生的归纳思维与符号化思维。通过构建“现象模式猜想验证法则”的问题链，引导学生像数学家一样思考，经历完整的数学探究过程，将具体经验上升为抽象的数学规则，并运用数学语言（符号与文字）进行精确表达。  评价与元认知目标：引导学生通过对比不同小组的发现，依据逻辑的严密性和表述的清晰性进行互评；在课堂小结环节，指导学生反思本课的学习路径——“我们是如何一步步发现这个新法则的？”，从而提升对学习方法本身的监控与优化能力。三、教学重点与难点  教学重点：有理数乘法法则的理解与运用。确立依据在于，该法则是本节课需要建构的核心“大概念”，是整个有理数乘法运算的逻辑起点和规则基础。从学业评价角度看，有理数的运算是初中数学的基础技能，贯穿整个代数学习，而乘法法则的正确应用是解决后续复杂计算和实际问题的前提，属于高频、高奠基性的核心考点。  教学难点：有理数乘法法则，特别是“负负得正”这一规定的归纳过程及其合理性理解。预设其为难点的成因是：首先，从认知跨度看，学生需要突破非负乘法经验的局限，在思维上接受一个“看似违背直觉”的数学规定，抽象性较强。其次，从常见错误分析，学生在后续学习中极易混淆加减法与乘法的符号法则，其根源在于对乘法法则的归纳过程理解不深、记忆机械。突破方向在于设计丰富的、有说服力的现实情境和数学模型（如数轴上的连续运动），让学生在充分的感性材料和逻辑推理支撑下，主动“发现”并信服法则，而非被动接受。四、教学准备清单1.教师准备 1.1媒体与教具：交互式课件（内含动态数轴演示、情境动画）、板书设计（预留探究记录区与法则归纳区）。 1.2学习材料：分层探究学习任务单（含引导性问题）、当堂巩固练习卡、小组合作评价表。2.学生准备 复习有理数的意义、数轴表示及加减法法则；预习课本相关情境，思考“负数乘以负数”可能的意义。3.环境准备 教室座位调整为46人合作小组模式，便于讨论与展示；确保投影清晰，板书区域整洁、分区明确。五、教学过程第一、导入环节1.情境设疑，激活旧知 1.1呈现现实情境：“某地天气预报显示，未来三天，每天的平均气温都在前一天的基础上下降2℃。已知今天是0℃，请问三天后的气温是多少？”“同学们，我们能不能用学过的数学知识把这个问题‘翻译’出来？”引导学生用算式表示：气温变化可看作每天“2℃”，三天后即(2)+(2)+(2)。1.2关联转化，提出问题：教师指出，几个相同的数相加，可以用乘法表示，即(2)×3。“那么，(2)×3等于多少呢？根据加法的经验，我们很容易算出是6。但老师想追问一个更有趣的问题：如果时间倒流，三天前的气温比今天高还是低？该如何用算式表示？”引导学生类比得出(2)×(3)。“这个算式的结果是多少？‘负负’相乘，究竟会‘得’到什么？这就是我们今天要破解的核心谜题。”2.明晰路径，树立目标 教师简要勾勒学习路线：“我们将从一些具体的例子出发，寻找规律，提出猜想，并用工具验证，最后归纳出适用于所有有理数乘法的统一法则。就像侦探破案一样，需要细心观察，大胆推理。”第二、新授环节 本环节采用支架式教学，通过四个逐层深入的任务，引导学生自主建构法则。任务一：从生活实例中感知规律教师活动：首先，引导学生解决导入中的(2)×3=6，并解释其现实意义（连续下降）。接着，展示一组具有相反意义量变化的例子（如水位每日下降3厘米，汽车向西时速为5公里等），引导学生列出相应的乘法算式（正数乘正数、正数乘负数、负数乘正数），并基于现实意义或转化为加法计算出结果。“请大家把这几组算式和结果并排放在一起观察，眼睛盯着因数的‘符号’和积的‘符号’，你们能发现什么共同点吗？”教师巡视，聆听各小组的初步发现。学生活动：学生以小组为单位，根据教师提供的例子，列出算式并计算。随后观察、讨论算式中因数符号与积的符号之间的关系。尝试用语言描述初步发现的规律，如“正数乘正数得正，正数乘负数得负，负数乘正数也得负”。即时评价标准：1.能否正确将情境转化为乘法算式。2.在小组讨论中，能否积极发表观察所得。3.归纳的描述是否基于算式的客观比较。形成知识、思维、方法清单： ★规律感知的起点：从具体、熟悉的现实情境出发计算有理数乘法，为抽象法则提供感性支撑和意义理解。“数学往往源于我们对现实世界的观察和抽象。” ▲分类讨论的思想：初步接触按因数符号（同号、异号）进行分类观察的数学方法。 ★归纳的雏形：开始尝试从特殊算式中寻找普遍性规律，这是数学发现的关键一步。任务二：借助数轴验证规律教师活动：提出关键问题：“刚才我们通过几个例子看到了规律，但这个规律一定成立吗？特别是，对于‘负数乘负数’，我们还没有找到直观的例子。我们需要一个更强大的工具——数轴。”教师利用动态课件，演示在数轴上，一个点从原点出发，若每次运动代表乘以一个数。例如，规定向右为正方向，每次运动3个单位。那么，×2（乘正数）意味着连续两次这样的运动（结果在正方向）；×(1)（乘负数）可以解释为“反向运动一次”（结果在负方向）。“那么，×(2)可以理解为什么？”引导学生理解为“反向运动，且强度加倍”。进而演示计算(3)×(2)：先解释3意味着起点在原点左侧3个单位，乘以2意味着从这个点开始，进行“反向（即向右）、强度为2倍”的运动，结果到达原点右侧6个单位，故积为+6。“数轴这个工具，是不是让‘负负得正’看起来更合理了一些？”学生活动：学生观看动画演示，理解数轴上乘法作为“伸缩与反向”的几何意义。在教师引导下，尝试口述其他例子在数轴上的解释过程。小组内利用教师提供的数轴图纸，动手画一画，验证任务一中几个算式的规律在数轴模型上是否一致。即时评价标准：1.能否理解数轴上“乘正数”与“乘负数”对应的几何操作（伸缩与反向）。2.能否跟随或模仿，用数轴模型解释简单的乘法算式。3.验证过程是否严谨、清晰。形成知识、思维、方法清单： ★数轴模型的价值：数轴为有理数乘法提供了直观的几何解释和验证工具，将抽象的符号运算可视化，极大地增强了法则的可信度与理解深度。 ★“负负得正”的直观理解：在数轴上，“乘负数”等价于“反向”，两次反向（负负）即回归正向。这是突破认知难点的核心支架。 ▲数学的严谨性：从举例感知到模型验证，体现了数学结论需要逻辑支撑，而不仅仅是经验归纳。任务三：归纳完整法则教师活动：在学生对规律有了一定感知和验证后，教师引导进行系统化归纳。“现在，证据越来越充分了。让我们把目光从符号回到数字本身。请大家再看这些算式，比如(4)×3=12，(4)×(3)=12，积的‘数字部分’（绝对值）和因数的‘数字部分’有什么关系？”引导学生发现“绝对值相乘”的关系。接着，“谁能把‘符号的规律’和‘绝对值的规律’合二为一，用一句完整、精炼的话来概括有理数乘法的法则？”鼓励多个学生尝试表述，教师在其基础上完善板书，最终呈现标准表述：“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0。”“特别强调，这里的‘两数’包含了所有情况：正正、正负、负正、负负。”学生活动：学生聚焦于算式的绝对值部分，发现积的绝对值等于因数绝对值的乘积。综合符号规律与绝对值规律，尝试用自己的语言概括法则，并倾听同伴的不同表述，在比较中优化。最终齐读或默记教师板书的完整法则。即时评价标准：1.能否独立发现绝对值相乘的规律。2.概括的法则是否完整、准确、简练。3.是否积极参与最终法则的表述与确认。形成知识、思维、方法清单： ★有理数乘法法则的完整表述：这是本节课需要建构的核心知识对象，包含符号法则和绝对值法则两个有机部分。“这个法则，就像有理数乘法的‘宪法’，所有计算都要遵循它。” ★归纳与抽象：经历从具体例子、几何验证到抽象出普遍文字（符号）法则的全过程，是数学思维能力的集中体现。 ▲数学语言的精确性：比较日常口语与数学语言的区别，体会数学表述需要无歧义、逻辑自洽。任务四：符号化表达与初步应用教师活动：法则归纳后，需进行符号化巩固与初步应用。教师书写形式化的表达式：若a>0,b>0,则ab>0；若a>0,b<0(或a<0,b>0)，则ab<0；若a<0,b<0,则ab>0；且|ab|=|a|·|b|。随后，出示一组直接应用法则的口算题，如：①6×(7)②(8)×(9)③(0.5)×4④0×(100)。“请大家‘先定符号，再算绝对值’，快速给出答案。我们比一比，谁用得最熟练！”快速巡视，抓取典型正确与错误答案。学生活动：学生理解符号化表达，并独立完成口算练习。应用法则时，在心中或草稿上明确步骤：先判断符号，再计算绝对值相乘。完成后与同桌交换检查，或根据教师提问报出答案。即时评价标准：1.应用法则的步骤是否清晰、规范。2.口算的准确性与速度。3.能否识别并纠正同伴的典型错误（如符号错误）。形成知识、思维、方法清单： ★法则的操作化步骤：“先定符号，再算绝对值”是运用有理数乘法法则进行计算的有效程序性策略，能降低错误率。 ▲符号化表示：用字母表达式概括法则，体现了数学的高度抽象性，为后续代数学习铺垫。 ★典型错误预警：此时暴露的错误多为符号判断失误，是进行针对性强调的最佳时机。“符号是有理数运算的‘方向盘’，一定要先握稳。”第三、当堂巩固训练 本环节设计分层练习，提供及时反馈。1.基础巩固层（全员必做）：计算：⑴(3)×9⑵(½)×(4)⑶7×(1)⑷(1)×(1)×(1)。“第⑷题有点意思，连续乘三个1，结果会怎样？它提醒我们，多个有理数相乘时，符号法则该如何推广呢？留个小悬念。”学生独立完成，教师投影展示答案，学生自批自改。2.综合应用层（多数学生挑战）：①海拔每升高100米，气温下降0.6℃。现测得山脚温度为5℃，求海拔2500米处的温度。②在数轴上，点A表示的数为2，点B与点A的距离是点A到原点距离的3倍，且位于原点左侧，求点B表示的数。“这两道题需要我们从文字或图形中‘翻译’出乘法模型，试试看！”学生尝试解决，教师请两位不同解法的学生上台板演并讲解。3.思维挑战层（学有余力选做）：已知|a|=5，|b|=2，且ab<0，求a+b的值。“这道题把绝对值、乘法的符号法则和加法综合起来了，看谁能全面考虑，找到所有可能。”教师巡视点拨，最后简要讲解分类思想。反馈机制：通过投影展示标准答案和解题格式；对于板演，组织学生进行“亮点与建议”的同伴互评；教师针对全班共性问题和挑战题的思维关键点进行集中评讲。第四、课堂小结 1.知识整合：“现在，请大家合上课本，回忆一下我们今天‘破案’的历程。你能否用一句话说出有理数乘法的法则？或者，画一个简单的流程图来表示计算步骤？”邀请学生分享，教师用思维导图形式在黑板上进行结构化总结：核心法则（符号、绝对值）→应用步骤→支撑模型（生活实例、数轴）。 2.方法提炼：“更重要的是，我们是如何得到这个法则的？经历了怎样的思维过程？”引导学生回顾“具体计算—观察规律—模型验证—归纳概括—符号表达—应用巩固”的探究路径，强调归纳法和数形结合思想的重要性。 3.作业布置与延伸：公布分层作业（见下文）。“今天的法则只解决了两个数相乘，那么三个、四个甚至更多有理数相乘，符号又该怎么定？还有，有了乘法，自然会想到除法，它们之间又有怎样的联系？这些是我们下节课要继续探索的。带着思考下课！”六、作业设计基础性作业（必做）：1.教科书对应章节的配套练习题（侧重于直接运用法则计算）。2.整理课堂笔记，用彩色笔标出有理数乘法法则及其应用步骤。3.列举两个生活中可用有理数乘法表示的情境，并写出算式。拓展性作业（建议完成）：4.计算：(10)×(0.1)×(0.5)×2，并总结多个非零有理数相乘时，积的符号如何确定。5.思考：一个有理数和它的相反数相乘，积有什么特点？一个有理数和它的倒数相乘呢？探究性/创造性作业（选做）：6.（数学史小探究）查阅资料，了解“负负得正”法则在数学发展史上被完全接受的过程，写一段150字左右的简介，在班级数学角分享。7.（数学创作）尝试创作一个简短的故事或绘制一组漫画，用生动有趣的方式解释“为什么负负得正”。七、本节知识清单及拓展 ★有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。这是运算的基石，必须理解其归纳过程并熟记。 ★法则的运算步骤：遵循“先定符号，再算绝对值”的流程。符号判定是易错点，需格外专注。“定符号是战略，算绝对值是战术。” ★“负负得正”的理解：可通过连续相反意义的操作（如方向连续反向）、数轴上点的连续反向运动等模型进行直观理解，克服直觉障碍。 ▲数轴模型：在数轴上，一个数a乘以正数b，意味着从原点（或某点）出发，沿a方向伸缩|b|倍；乘以负数，则意味着先反向，再伸缩。这是数形结合思想的典型应用。 ★多个有理数相乘的符号规律（预习提示）：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；有偶数个时，积为正。可视为对“同号得正，异号得负”的推广。 ▲与加法符号法则的对比：加法：同号相加取同号，异号相加看绝对值大小。乘法：符号判定只取决于同号或异号，与绝对值大小无关。这是防止混淆的关键对比点。 ★倒数概念的伏笔：乘积为1的两个有理数互为倒数。学习乘法后，即可引出此概念，为除法运算做准备。 ▲有理数乘法的运算律：满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律。这些运算律在有理数范围内依然成立，是简化复杂计算的依据。 ★有理数乘法与方向、速率：在物理运动等问题中，正负号常代表方向，乘法可用来处理具有方向的量的连续变化（如速度、力）。 ▲乘法的本质：在有理数范围内，乘法仍可视为“重复加法”的拓展（当乘数为正整数时），但更一般的理解是一种“缩放与定向”的变换。八、教学反思 （一）目标达成度分析：从当堂巩固训练和学生的课堂反馈来看，绝大多数学生能准确陈述法则并完成基础计算，表明知识技能目标基本达成。在能力与思维目标上，通过任务一至三的递进式探究，学生普遍经历了观察、猜想、验证的完整过程，小组讨论中能见到基于算式的合理论证，推理能力得到锻炼。然而，将法则灵活应用于稍复杂情境（如综合应用层第②题）时，部分学生表现出建模困难，这说明从数学规则到实际应用的迁移能力仍需在后续课时中持续强化。情感目标方面，课堂探究氛围较为浓厚，学生参与积极，尤其在数轴验证环节表现出好奇与兴奋。 （二）核心环节有效性评估：导入环节的情境与问题链成功激发了认知冲突，“当学生皱眉思考‘负负得正’时，我知道他们的思维已经启动了。”新授环节的四个任务构成了稳固的认知脚手架。任务二（数轴验证）是突破难点的关键，动态演示的直观性远胜于静态讲解，“看到学生随着动画演示频频点头，我明白‘反向运动’这个比喻击中了要害。”任