4.3.2等比数列的前n项和公式课件(1)-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

米4.3.2等比数列的前n项和公式(1)米复习回顾1.等比数列的定义：2.等比数列的通项公式：①

an=a₁q"-1

②an=amq"-m(m,n∈N")3.等比中项：a,G,b为等比数列⇔

G²=ab(ab>0)4.

等比数列的主要性质：若

m+n=p+q

(m,n,p,q∈N),

则aman=

apa。.特别地，若m+n=2t

(m,n,t∈N*),

则有aman=

a2

.陛下赏小人几粒麦子就搞定.第一格放1粒麦子，以后每个格子里放

的麦粒数都是前一

个格子里放的的2倍，

直到第64个格子.情景导入相传古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者——宰相你想得到

什么样的

赏赐?OK!西萨

·班

·达依尔，于是，这位国王对宰相说：1

2

2²

2³

…

2⁶2

2632⁰+2¹+2²+2³+…+2⁶²+26³=实际上就是一个以1为首项，2为公比

的等比数列的前64项的求和问题情景导入根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言?故事可以提炼出一个什么数学问题?情景导入S₆4=2⁰+2¹+2²+2³+

…

…+2⁶²+2³①①×2得：2S₆4=

2¹+2²+2³+2⁴+……+23

+2⁶4

②由②-①

得：

S

₆4=264

1=18446744073709551615≈

1.84×1019假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨.所以当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒拿来，也满足不了他的要求.

2002年全世界小麦总产量约为4.56亿吨.2016年全世界小麦总产量约为7.5亿吨.错位相减法S₆4=2⁰+2¹+2²+2³+……+2⁶²+263

①①×2得：2S₆4=

2¹+2²+2³+2⁴+…+2³

+2⁶4

②由②-①得：

S₆4=264—1思考1①式两边为什么要乘以2?2是该等比数列的公比.思考2

类比上面求和的方法能否得到一般等比数列前n项和公式呢?错位相减法情景导入①-②得

:

S,—qS,=a₁—a₁q”,

即

S„(1-q)=a₁(1-q”).当q≠1

时，当q=1

时

，Sn=na₁.新知探究设等比数列{a}的首项为a₁,公比为q,则{a}的前n

项和为是否可以把等式两边同

除以(1-q)?Sn=a₁+a₂+a₃+…+an-1+an,

由

于an=a₁q”-¹.错位相减法①×①通项公式：

an=a₁q"

-“知三求二”公式中涉及a₁,q,n,an,Sn

五个量

(方程思想)注意：等比数列求和时应考虑q=1与q≠1两种情况.等比数列{an}的前n项和的公式：当q=1

时

，S,=

na₁新知获得当q≠1时，新知获得等比数列{an}的前n项和的公式：当

q≠1时

，2

加

1m

而则例7已知数列{an}是等比数列.(1)若

,求S₈;解

：

:

例题分析

等比数列的计算书P35例7已知数列{an}是等比数列.(2)若a₁=27,

,q<0,

求S₈;解：

q=27,例题分析又∵q<0,∴书P35例7已知数列{an}是等比数列.(3)

≤

,求n.

代入，

得整理，

解得，n=5.例题分析书P35解

：练习1.已知数列{an}是等比数列.(1)若a₁=3,q=2,n=6,

求Sn;(2)若a₁=-2.7,

,求Sn;解：(1)书P37(

3

)

解：当q≠1时

，当

,

满

足

条

件

。在解方程组时，经常用到两式相除达到整体消

元的目的，注意立方差、

平方差公式的使用

,q=1

或a,=6,

练

习1.已知数列{an}是等比数列

.q未知时，注意考虑q=1

与q≠1两种情况书P37解

得练

习∴a=3×2,或u

。=2×3”¹书P37求

a

和Sn.3.设等比数列{an}的前n项

和

为S,已知a₂=6,6a₁+a₃=30.解：由已知可得解

得练习

等比数列的对称设法

书P374.

已知三个数成等比数列，它们的和等于14,积等于64.求这个等比数列的首项和公比.解：设这三个数分别为

,a,aq,

则已知条件可得,

解得∴这个等比数列的首项和公比分别为2,2或8,例题分析

书P36例8已知等比数列{an}的首项为一1,前n项和为Sn,若

求公比q.解：若q=1,

则

,

∴q≠1.当q≠1,

由

得即新知获得等比数列前n项和的性质：等比数列{an},

其前n项的和为S,

则有1.性质1:

当

q≠1时

，练习

等比数列的性质应用

书P375.如果一个等比数列前5项的和等于10,前10项的和等于50,

那么这个数列的公比等于多少?解

：设这个等比数列的首项为a₁,

公比为q.当q=1

时，显然不合题意，∴q≠1.,两式相除，并化简整理得1+q⁵=5,∴q=54.例题分析

书P36例9已知等比数列{an}的公比q≠一

1,前n项和为Sn,

证明Sn,S₂n-Sn,S₃n-S₂n,成等比数列，并这个数列的公比.证明：当q=1

时，Sn=na₁,S₂n-Sn=na₁,S₃n-S₂n=na₁.∴S,S2n-S,S₃n-S₂n

成等比数列，公比为1.例9已知等比数列{an}的公比q≠-1,前n项和为S,证明Sn,S₂n-Sn,S₃n-S₂n,成等比数列，并这个数列的公比.当q≠1

时，例题分析P36书例题分析

书P36例9已知等比数列{an}的公比q≠一

1,前n项和为S,证明Sn,S₂n-Sn,S₃n-S₂n,成等比数列，并这个数列的公比.∴S,S₂n-S,S₃n-S₂n

成等比数列，公比为q".新知获得等比数列前n项和的性质：等比数列{an},

其前n项的和为S,

则有1.性质1:当q≠1时，2.性质2:

Sn,S₂n-Sn,S₃n-S2n,.….也是等比数列，公比为q".

(其中S,S₂n-Sn,S₃n—S₂n,

…

均不为0)解

：设这个等比数列前n

项

和

为S

还有其他解法吗?S₅,S₁₀-S₅,S₁5-S₁₀成等比数列，公比为q⁵

.∴q=34练习

等比数列的性质应用

书P375.如果一个等比数列前5项的和等于10,前10项的和等于50,

那么这个数列的公比等于多少?变式：如果一个等比数列前5项的和等于10,前10项的和等于50,

求这个数列的前15项的和.解：设这个等比数列前n项和为S,S₅,S₁₀-S₅,S₁5-S₁₀

成

等比

数

列

.即10,40,S₁5-50

成等比数列，公比为4.∴S₁₅-50=160,∴S₁5=210.练习

等比数列的性质应用

书P37新知获得等比数列前n项和的性质：等比数列{an},

其前n项的和为S,

则有1.性质1:

当q≠1时，2.性质2:

Sn,S₂n-Sn,S₃n-S2n

,.….也是等比数列，公比为q".

(其中S,S₂n-Sn,S₃n—S₂n,

…均不为0)3.性质3:

若项数为2n,

则

补充：一个等比数列共2n项，其和为-240,且奇数项和比偶数项和大80,则公比q=.

2

●练习

等比数列的性质应用

练P43新知获得等比数列前n项和的性质：等比数列{an},

其前n项的和为S,

则有4.性质4:

数列{an}是等比数列→Sn=

Aq"

-A(A≠0,q≠0,q≠1).练习

等比数列的性质应用

练P43补充：

数列{an}是公比为3的等比数列，其前n

项的和S,=3"+k,则

k=

-1

●课堂小结等比数列{an}的

前n项和的公式：当q=1

时

，Sn=na₁当q≠1时

，通项公式：

an=a₁q"-1“知三求二”公式中涉及a₁

,q,n,an,S,

五个量

(方程思想)注

意

：等比数列求和时应考虑q=1

与