微积分计算机图形学数学题试题及真题

微积分计算机图形学数学题试题及真题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________试卷名称：微积分计算机图形学数学题试题及真题考核对象：计算机科学与技术专业本科二年级学生题型分值分布：-判断题（总共10题，每题2分）总分20分-单选题（总共10题，每题2分）总分20分-多选题（总共10题，每题2分）总分20分-案例分析（总共3题，每题6分）总分18分-论述题（总共2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.极限ε-δ定义中，δ必须小于ε。2.函数在某点可导必定在该点连续。3.数列{a_n}收敛于A，则其任意子列也收敛于A。4.双曲函数sinh(x)是奇函数。5.圆锥面的参数方程可以表示为球坐标系下的投影。6.贝塞尔曲线的度数随控制点数量线性增加。7.光栅化过程中，三角形背面不可见性判断使用z-buffer算法。8.分段线性插值可以无限次微分。9.椭圆抛物面的截面可以是抛物线或椭圆。10.GPU并行计算适用于所有类型的计算机图形学算法。二、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(x)=|x|在x=0处（）。A.可导B.左右导数存在但不相等C.连续但不可导D.不连续2.若f(x)在[a,b]上连续，则其在该区间上（）。A.必有最大值和最小值B.必有极值C.必有导数D.必有零点3.sinh(x)的导数是（）。A.cosh(x)B.-cosh(x)C.tanh(x)D.coth(x)4.下列哪个不是贝塞尔曲线的属性？（）A.几何不变性B.光滑性C.自相交性D.参数线性5.双线性插值适用于（）。A.三角形域B.圆形域C.椭圆域D.球面域6.光栅化中，背面剔除算法通常基于（）。A.法向量方向B.纹理坐标C.Z值排序D.顶点颜色7.圆柱面的参数方程为（）。A.(x,y)=（cosθ，sinθ）B.(x,y)=（rcosθ，rsinθ）C.(x,y)=（θcosθ，θsinθ）D.(x,y)=（cos²θ，sin²θ）8.求解方程x³-x-1=0在[1,2]区间内的根，牛顿迭代法初始值应选（）。A.0B.1C.1.5D.29.下列哪个曲面不是二次曲面？（）A.椭球面B.双曲抛物面C.椭圆锥面D.球面10.计算机图形学中，"背面剔除"的目的是（）。A.减少多边形数量B.避免无效渲染C.提高纹理精度D.增强光照效果三、多选题（每题2分，共20分）1.下列哪些函数在x→0时极限存在？（）A.sin(1/x)B.e^(-1/x²)C.|x|sin(1/x)D.1/x2.双曲函数的恒等式包括（）。A.cosh²(x)-sinh²(x)=1B.sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)C.tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)D.cosh(-x)=cosh(x)3.三角形光栅化的步骤包括（）。A.顶点排序B.扫描线算法C.背面剔除D.双线性插值4.贝塞尔曲线的度数n与控制点p_i的关系是（）。A.n=p_iB.n≥p_iC.n=p_i-1D.n=p_i+15.下列哪些曲面可以通过参数方程表示？（）A.椭圆抛物面B.双曲抛物面C.椭圆锥面D.抛物线6.数值计算中，误差来源包括（）。A.舍入误差B.截断误差C.测量误差D.算法误差7.双曲函数的积分公式包括（）。A.∫sinh(x)dx=cosh(x)+CB.∫cosh(x)dx=sinh(x)+CC.∫1/cosh(x)dx=arcosh(x)+CD.∫1/sinh(x)dx=ln|tanh(x)|+C8.光栅化中，Z-buffer算法的缺点是（）。A.无法处理遮挡关系B.内存消耗大C.无法处理透明度D.无法处理阴影9.圆柱面的参数方程中，参数θ的取值范围通常是（）。A.[0,2π]B.[-π,π]C.[0,π]D.[0,360°]10.计算机图形学中，"参数化"的目的是（）。A.简化曲面表示B.提高计算效率C.增强几何约束D.减少数据存储四、案例分析（每题6分，共18分）1.问题：给定三角形顶点V1(0,0,1),V2(1,0,1),V3(0,1,1)，求其在z=0平面上的投影坐标及双线性插值计算纹理坐标(u,v)，假设纹理映射为线性分布。要求：（1）计算投影坐标；（2）若纹理坐标u沿x轴线性变化，v沿y轴线性变化，求V1、V2、V3对应的(u,v)值。2.问题：已知函数f(x)=x^3-3x+1，证明其在x=1处取得极大值，并计算该极大值。要求：（1）求f'(x)并解f'(x)=0；（2）用二阶导数判断极值类型；（3）计算极大值。3.问题：设计一个参数方程表示的椭圆抛物面z=xy，求其在x=2,y=3时的法向量。要求：（1）写出参数方程；（2）计算偏导数∂z/∂x和∂z/∂y；（3）求法向量。五、论述题（每题11分，共22分）1.问题：论述贝塞尔曲线的几何性质及其在计算机图形学中的应用场景。要求：（1）说明贝塞尔曲线的几何不变性、凸包性等性质；（2）列举至少三种应用场景并简述原理。2.问题：结合极限ε-δ定义，解释函数连续性的概念，并举例说明不连续的几种类型。要求：（1）用ε-δ语言描述函数连续性；（2）分类说明跳跃不连续、可去不连续、无穷不连续的例子。---标准答案及解析一、判断题1.×（δ与ε无固定大小关系，δ≤ε即可）2.√（可导必连续，连续不一定可导）3.√（收敛数列的子列收敛性不变）4.√（sinh(-x)=-sinh(x)）5.×（圆锥面需用柱坐标参数化）6.×（度数等于控制点数减1）7.√（z-buffer算法通过深度缓存实现背面剔除）8.×（分段线性插值不可导）9.√（截面由截面方向决定）10.×（仅适用于并行计算友好的算法）二、单选题1.C2.A3.A4.C5.A6.A7.B8.C9.D10.B三、多选题1.B,C2.A,B,C,D3.A,B,C4.C5.A,B,C6.A,B,C,D7.A,B,C,D8.B,C9.A10.A,B,C四、案例分析1.解：（1）投影坐标：V1'(0,0),V2'(1,0),V3'(0,1)。（2）u沿x轴线性变化：V1'(0,0),V2'(1,0),V3'(0,1)；v沿y轴线性变化：V1'(0,0),V2'(1,0),V3'(0,1)。评分：（1）4分，（2）2分。2.解：（1）f'(x)=3x²-3，f'(1)=0；（2）f''(x)=6x，f''(1)=6>0，极大值；（3）f(1)=1。评分：（1）4分，（2）3分，（3）2分。3.解：（1）参数方程：x=θ,y=φ,z=θφ；（2）∂z/∂x=φ,∂z/∂y=θ；（3）法向量(3,2)。评分：（1）2分，（2）3分，（3）1分。五、论述题1.贝塞尔曲线性质与应用：性质：（4分）几何不变性（控制点移动不改变曲线形状）、凸包性（曲线在控制点凸包内）、变差减少性（曲线长度不超过控制点间距离和）。应用：（7分）①字体设计（Bézier曲线定义字形轮廓）；②曲线拟合（通过控制点生成平滑曲线）；③