2026高考数学复习高效培优专题01 集合与常用逻辑用语（易错专练）（原卷版）

专题01集合与常用逻辑用语目录目录第一部分易错点剖析易错典题避错攻略举一反三易错点1忽略集合中元素的互异性易错点2集合运算中忽略空集易错点3集合区间端点混淆易错点4充要条件判定颠倒逻辑易错点5命题否定中量词与结论漏改易错点6由命题的真假求参时不能正确转化第二部分易错题闯关易错点1忽略集合中元素的互异性易错典题【例1】（25-26高三上·湖北孝感高级中学期中）已知集合，若，则实数的值为（

）A．1 B．2 C．2或 D．1或【答案】B【解析】若，则集合B是集合A的子集，所以或.当时，，则，不满足集合中元素的互异性，不合题意（易错点）；求得后，容易忽视回代检验，从而致错当时，，即，解得：或（易错点），注意将参数值回代到集合中去，检验集合中元素的互异性若，则，不满足集合中元素的互异性，不合题意；若，则，符合题意.故实数的值为2.故选：B.【错因分析】本题易忽略集合元素的互异性而错选C或D.知识混淆：对“集合”概念理解不全面，忽略“集合中的元素具有互异性”这一特性，从而未将求得的值回代到集合中去检验.概念模糊：对“元素与集合间的关系”的逻辑推导不清晰，未系统分析“集合A或B中元素不满足互异性”的可能性，导致思维存在漏洞.望文生义：利用集合的运算求得a的值后，就想当然认为所求得的a值即为最终结果，未结合参数a的取值对集合A,B中元素是否满足互异性进行全面分析.避错攻略【方法总结】建立“先求参数的值，再回代集合检验”的思维流程，牢记“集合中的元素具有互异性”.【知识链接】1.集合中元素的三大特性(1)确定性：判断对象能否构成集合的依据．(2)互异性：常用于检验解的合理性，如求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值后，再根据其互异性检验．(3)无序性：常用于判断集合相等．2.根据元素与集合以及集合间关系求参数的三大步骤第一步：求解，根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值；第二步：检验，根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验；第三步：作答，此处所有符合题意的字母取值（范围）.举一反三【变式1-1】（25-26高三上·浙江宁波六校期中）已知集合，，则（

）A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3【变式1-2】（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知，若，则（）A． B．1 C．2 D．3【变式1-3】（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知实数集合，，若，则（

）A． B． C． D．易错点2集合运算中忽略空集易错典题【例2】（2024·全国卷）已知集合A={x∣x2−3x+2=0}，B={x∣ax=1}，若B⊆A，则a的取值集合是A．{0，1，} B．{1，} C．{0，} D．{0，1}【答案】A【解析】解方程x2−3x+2=0，因式分解得(x−1)(x−2)=0，解得x=1或x=2，因此A={1,2}.集合B={x∣ax=1}，需分B=∅和B≠∅两种情况讨论（易错点）：不要忽视考虑B=∅这一种情况情况1：B=∅方程ax=1无解，此时a=0（因为当a=0时，0⋅x=1无实数解）.空集是任何集合的子集，故a=0符合条件.情况2：B≠∅此时a≠0，方程ax=1的解为x=.因为B⊆A，所以必须是A中的元素，即=1或=2：若=1，解得a=1；若=2，解得a=.综上，a的取值为0、1、，因此a的取值集合为{0，1，}.【错因分析】求解“B⊆A”类问题时，漏算B=∅的情况.知识混淆：对“子集”概念理解不全面，忽略“空集是任何集合的子集”这一特殊性质，仅关注B为非空集合的情况.概念模糊：对“集合包含关系”的逻辑推导不清晰，未系统分析“B为空集”的可能性，导致思维存在漏洞.望文生义：看到“ax=1”就默认方程有解，想当然认为B一定非空，未结合参数a的取值对集合B存在性的影响进行全面分析.避错攻略【方法总结】建立“先判空集，再分析非空”的思维流程，牢记“空集是任何集合的子集”.【知识链接】1.集合与元素关系的判断方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．【提醒】若集合是有限集，可将集合中的元素化简并一一列出，再与有限集内的元素进行逐个对照，确定是否存在与其相等的元素，进而判断集合与元素的关系；若集合是无限集，可将元素变形，看能否化为集合中元素的形式，也可以代入集合的约束条件，判断是否满足，若满足则属于该集合，否则不满足.2.对于集合之间的关系常用到的结论：(1)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故当B⊆A时，应分B＝⌀和B≠⌀两种情况讨论.3.破解集合间基本关系的方法：数轴法、Venn图法.举一反三【变式1-1】（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知集合，，若,则a的值是（

）A．1 B． C．1或 D．或【变式1-2】（24-25高三上·河北定州中学·阶段测试）设集合.(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.易错点3集合区间端点混淆易错典题【例3】（25-26高三上·河南·开学考试）已知集合.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】（1），，因为等价于，所以（易错点），注意各端点值处的等号是否取得到解得，所以实数的取值范围为.（2）因为等价于，若，则（易错点），注意此处需取等号即时，符合题意；若，则，无解（易错点）；列式时要考虑自身满足的条件：，同时要注意端点值是否取等号综上，实数的取值范围为.【错因分析】由集合间的关系或运算求参数的值或取值范围时，容易因在区间端点处取不取等号而致错.知识混淆：对两集合间“包含和真包含”概念理解不全面，从而导致列式时端点值该取等号时不取等号，不能取等号时取等号.概念模糊：对“集合包含关系”的逻辑推导不清晰，未系统分析“区间端点处是否能取等号”，导致思维存在漏洞.望文生义：分析两集合间关系时，对区间端点值想当然认为能取等号，或者想当然认为不能取等号，未结合数轴或Venn图进行全面分析.避错攻略【方法总结】结合数轴或Venn图，将集合表示出来，数形结合确定区间端点的取舍.【知识链接】集合运算的常见运算性质：1.A∩B＝B∩A；A∩B⊆A；A∩B⊆B；A∩A＝A；A∩＝.2.A∪B＝B∪A;A⊆A∪B;B⊆A∪B;A∪A＝A,A∪＝A3.A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝举一反三【变式3-1】（25-26高三上·河南·阶段练习）设全集，已知集合，集合．(1)当时，求；(2)若，求实数a的取值范围．【变式3-2】(25-26高三上·北京·期中联考）已知全集，集合，，(1)分别求和；(2)若，求的取值范围；(3)若，求的取值范围.易错点4充要条件颠倒逻辑易错典题【例4】（25-26高三上·浙江宁波·阶段测试）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若命题“，”为假命题，则命题的否定“，”为真命题，即，恒成立，，，当，取得最大值，所以，选项中只有是的真子集，所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（易错点）.要注意“A是B的充分条件”和“A的充分条件是B”的区别.故选D【错因分析】在判断充分性和必要性时，易错的地方是颠倒逻辑，混淆充分条件与必要条件.知识混淆：不能区分“A的条件是B”和“A是B的条件”，将两者混为一谈.概念模糊：对“充分性和必要性”的概念理解不够透彻，从而导致思维存在漏洞.望文生义：判断或者探求充分性或必要性时，受思维定势的影响，认为“A的条件是B”等价于“A是B的条件”，而未从逻辑上去分析两者的区别.避错攻略【方法总结】在判断充分条件、必要条件、充要条件时，要特别注意哪一个是“条件”，哪一个是“结论”,否则将犯“张冠李戴”的错误.需注意：若p是q的…,则p是条件，q是结论;若p的…条件是q,则p是结论,q是条件.【知识链接】1掌握充分、必要条件的概念及类型(1)如果pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果pq，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果pq，且qp，则p是q的充要条件；(4)如果qp，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.2.灵活运用判断充分、必要条件的方法(1)定义法：直接利用定义进行判断；(2)图示法：多个条件间关系的判断时，可以用用“⇔”、“⇒”、“⇐”将条件彼此相连，然后再判断它们之间的关系.(3)利用集合间的包含关系进行判断：设满足条件p的对象组成的集合为A，满足条件q的对象组成的集合为B，则由集合间的包含关系易得如下图表:记法关系图示AABBBAA=BA=BAABAB或结论是的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件.(4)举反例：要说明p是q的不充分条件,只要找到x0∈{x|p},但x0∉{x|q}即可．举一反三【变式4-1】（24-25高三上·青海西宁·期中）已知，，则使成立的一个充分条件是（

）A． B．C． D．【变式4-2】（25-26高三上·安徽马鞍山·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．是的充要条件B．使不等式成立的一个充分条件是C．若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是D．若关于x的不等式在上的解集是空集，则实数的取值范围是【变式4-3】（25-26高三上·广东东莞·阶段练习）已知集合.(1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由；(2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围.易错点5命题否定中量词与结论漏改易错典题【例5】（25-26高三上·河北·期中）设命题，，则的否定为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】先变量词：将变为，再否结论，将结论否定为：，从而可得的否定为：，（易错点）.既要变量词，又要否结论，缺一不可故选C.【错因分析】在写出含有一个量词的命题的否定时，要注意“变量词，否结论”，常见错误是只变量词，或者只否定结论.知识混淆：以为命题的否定只需否定结论，或者只需修改量词，错因还是相关知识掌握不够透彻.概念模糊：未正确理解“命题的否定”的改写方法，从而导致思维受阻.望文生义：写命题否定时，以为仅变量词或仅否结论即可，从而造成逻辑错误.避错攻略【方法总结】在写出含有一个量词的命题的否定时，只需先变量词，再否定结论即可.【知识链接】1.全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、每一个、任意、任何、一切等∀存在量词有些、有一个、存在等∃2.全称量词命题与存在量词命题的否定命题名称符号表示命题的否定全称量词命题∀x∈M，x具有性质p(x)∃x∈M，x不具有性质p(x)存在量词命题∃x∈M，x具有性质p(x)∀x∈M，x不具有性质p(x)[微提醒]对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词.举一反三【变式5-1】（25-26高三上·广东梅州·期中）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【变式5-2】（多选）（25-26高三上·陕西商洛·阶段练习）已知命题：平行四边形的对角线相等，，则（

）A．是存在量词命题B．是存在量词命题C．：有些平行四边形的对角线不相等D．是真命题易错点6由命题的真假求参时不能正确转化易错典题【例6】（25-26高三上·山西·阶段练习若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为为假命题，所以为真命题，即当时，恒成立（易错点）.本题易错之处是不能将问题转化为不等式恒成立问题求解因为函数图象的对称轴为，所以当时，，所以，即，解得或，即实数的取值范围为.故选：D.【错因分析】由含有一个量词的命题的真假求参数的值或取值范围时，不能正确进行转化，从而导致错解.知识混淆：混淆“恒成立”与“能成立”.概念模糊：未正确理解由含有一个量词命题的真假，从而导致无法正确转化.望文生义：审题不清，从而导致思维混乱.避错攻略【方法总结】1.利用全称量词命题求解参数的范围全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，这是一类综合性强，且有一定难度的问题，解决这类问题时，若能分离参数，则尽量利用分离参数法求解.2.利用存在量词命题求解参数的范围存在量词命题的常见题型是以满足某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句来表述，解答此类题目，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明.若推出合理的结论，则存在性得以解决；若导致矛盾，则否定了存在性.【知识链接】1.命题p和¬p的真假性相反，在判断命题的真假时，可先判断此命题的否定的真假.2．判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题否定的关键.(2)当命题否定的真假不易判断时，可以转化为去判断原命题的真假.当原命题为真时，命题的否定为假;当原命题为假时，命题的否定为真.3．不等式的恒成立：(1)若，恒成立，则;(2)若，恒成立，则.(3)设与的定义域的交集为D若D恒成立则有.(4)若对、，恒成立，则.4.不等式的能成立：(1)若，使得，则；(2)若，使得，则.5.存在性与任意性并存：(1)若对，，使得,则.(2)若对，，使得，则.(3)若，使得，则<.4.子集思想的应用已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B，若对,，使得=成立，则.举一反三【变式6-1】（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）若“”为真命题，则实数的取值范围是.【变式6-2】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是.【变式6-3】（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知p：，q：．(1)若p为假命题，求实数a的取值范围；(2)若p，q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．1．（25-26高三上·山东聊城·期中）已知命题，，则是（

）A．， B．，C．， D．，2．（25-26高三上·江苏连云港·期中）已知集合，，若，则（

）A．1 B． C． D．3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知集合，，，则实数a取值的集合为（

）A． B． C． D．4．（25-26高三上·新疆·月考）已知p：，；q：，，则（

）A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，是真命题C．是真命题，q是真命题 D．是真命题，是真命题5．（25-26高三上·广西·期中）“函数在上单调”的一个必要不充分条件可以是（

）A． B． C． D．6．（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．7．（2025·北京·高考真题）已